Доказать, что функция принимает нулевое значение

[Ktina]

Пусть функция $f \colon\mathbb{R} \to\mathbb{R}$ такова, что для любой точки $x_0\in\mathbb{R}$ выполняется

$$\lim_{x \to x_0} f(x)=0.$$

Докажите, что существует $x_0\in\mathbb{R}$, такое что $f(x_0)=0.$

[Someone]

Решение на каком уровне предполагается?
Могу предложить следующий путь.
1) Показываем, что для каждого $\varepsilon>0$ и каждого $x_0\in\mathbb R$ существует такое $\delta(x_0,\varepsilon)>0$, что для всех $x\in(x_0-\delta(x_0,\varepsilon),x_0+\delta(x_0,\varepsilon))$, кроме, может быть, точки $x_0$, выполняется неравенство $\lvert f(x)<\varepsilon$, так что на всём указанном интервале существует не более одной точки, в которой $\lvert f(x)\rvert\geqslant\varepsilon$.
2) Берём $\varepsilon=\frac 1n$, где $n\in\mathbb N$. Множество всех интервалов вида $(x_0-\delta(x_0,\frac 1n),x_0+\delta(x_0,\frac 1n))$ является покрытием $\mathbb R$; так как $\mathbb R$ имеет счётную базу (например, множество интервалов с рациональными концами), из этого покрытия можно выбрать счётное подпокрытие, откуда следует, что множество $B_n=\{x\in\mathbb R:\lvert f(x)\rvert\geqslant\frac 1n\}$ не более, чем счётно.
3) Множество $B=\bigcup\limits_{n\in\mathbb N}B_n$ не более чем счётно и содержит все точки $x\in\mathbb R$, в которых $f(x)\neq 0$. Во всех же остальных точках функция равна $0$.

[g______d]

Someone в сообщении #1388659 писал(а):

что множество $B_n=\{x\in\mathbb R:\lvert f(x)\rvert\geqslant\frac 1n\}$ не более, чем счётно.

Если покороче, то у этого множества не может быть предельных точек, следовательно, оно дискретно и не более чем счётно.

[Someone]

Но это всё равно доказывается через счётность базы. Так или иначе.
Кстати, можно во втором пункте сразу от интервала $(x_0-\delta(x_0,\frac 1n),x_0+\delta(x_0,\frac 1n))$ переходить к меньшему интервалу с рациональными концами, содержащему точку $x_0$. Тогда у нас сразу будет получаться счётное семейство интервалов.

[Dan B-Yallay]

Хм. Сначала мелькнула было мысль использовать функцию Thomae и базис Гамеля, чтобы соорудить контрпример к утверждению в старттопике.
Видимо, не получится.

[Ktina]

Someone в сообщении #1388659 писал(а):

Решение на каком уровне предполагается?

Можно попробовать на разных. Мне известно студенческое. Если кто-то найдёт школьное - ещё лучше.

[wrest]

То есть множество ненулевых точек максимум счетное. А может оно быть не пустым с учетом условий (двусторонний предел в каждой точке равен нулю)?

[RIP]

Функция Римана (по ссылке Dan B-Yallay выше) как раз даёт пример.

[wrest]

RIP в сообщении #1388733 писал(а):

Функция Римана (по ссылке Dan B-Yallay выше) как раз даёт пример.

Простите мое невежество, но разве у этой функции предел в каждой точке один и тот же (ноль)?

[RIP]

wrest в сообщении #1388737 писал(а):

разве у этой функции предел в каждой точке один и тот же (ноль)?

Да.

(Оффтоп)

Собственно, доказательство непрерывности в иррациональных точках легко переделать. Если $x_0\in\mathbb{R}$, $\varepsilon>0$, то найдётся $\delta>0$, такое что в $\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)\setminus\left\{x_0\right\}$ нет рациональных точек со знаменателем $\leqslant1/\varepsilon$. Тогда из $0<\left\lvert x-x_0\right\rvert<\delta$ следует $0\leqslant f(x)<\varepsilon$.

[wrest]

RIP
Ахренеть. Хотел написать в тему "что вас удивило в математике" но не смог её найти. Я предельно удивлён.

[Ktina]

wrest в сообщении #1388748 писал(а):

Хотел написать в тему "что вас удивило в математике" но не смог её найти.

Не было такой пряжки, но была похожая:
topic43683.html

[Munin]

wrest в сообщении #1388728 писал(а):

То есть множество ненулевых точек максимум счетное. А может оно быть не пустым с учетом условий (двусторонний предел в каждой точке равен нулю)?

Возьмите функцию, равную нулю всюду, кроме $x=0,$ и равную единице в этой точке.

[wrest]

Munin в сообщении #1388946 писал(а):

Возьмите функцию, равную нулю всюду, кроме $x=0,$ и равную единице в этой точке.

Я не мог сообразить как для всех точек в окрестности (этой единицы) предел может оказаться равным нулю. Насчет самой единицы-то ясно -- вокруг одни нули. Теперь вроде понятно. Но всё равно удивительно.

[Munin]

Любая конкретная точка неподалёку от этой единицы находится от неё на ненулевом расстоянии. И можно взять $\delta$-окрестность с $\delta$ меньше этого расстояния, и в неё эта единица не будет уже попадать. (Объяснение не для вас, а вообще на всякий случай.)