Помогите разобраться: откуда взялись свойства чисел

[RoadRunner]

Munin в сообщении #1385345 писал(а):

Дело в том, что здесь математический текст исходит не из позиции
"У нас есть числа, и мы должны как-то описать их свойства (по-вашему - постулировать)."
На самом деле, исходная позиция другая:
"У нас нет чисел (мы забыли, что знакомы с ними по школе), и мы должны их как-то построить."
Это построение идёт таким путём:
1. Возьмём какую-то абстрактную систему объектов, которая (потом) будет нашими числами.
2. Выдвинем к ней ряд требований. Тем самым, из всех возможных систем мы выберем некоторое множество.
3. В каждой конкретной системе эти требования будут безусловно выполняться как аксиомы. Исходя из них, мы можем найти какие-то новые факты - теоремы. Поскольку при доказательстве будут использоваться только ранее перечисленные аксиомы, то эти теоремы будут верны во всех системах, отобранных на шаге 2.
4. Зададимся вопросом: а сколько у нас всего возможных систем, отобранных на шаге 2? То есть, какую свободу движений оставили нам требования, которые мы зафиксировали? Тут есть, грубо говоря, три возможности:
- у нас может быть много систем (например, бесконечно много), которые подходят под выдвинутые требования - требования слишком слабы;
- у нас может быть ровно одна система, которая подходит под выдвинутые требования - они фиксируют её однозначно;
- у нас может не быть ни одной системы, которая бы подходила под выдвинутые требования - они излишне строги, и потому противоречивы. 5. На основании аксиом и теорем выясняется, что система, которая подходит под требования шага 2, единственна. Её мы и назовём числами. Что здесь скрыто за кулисами? Процесс подбора набора требований. С первого раза ведь наверняка не получилось бы так хорошо. Поэтому математики перебирали множество вариантов, и в конце концов, нашли такие требования, которые дают однозначно систему натуральных чисел $\mathbb{N},$ систему целых чисел $\mathbb{Z},$ систему рациональных чисел $\mathbb{Q},$ систему действительных (= вещественных) чисел $\mathbb{R}.$ Но про этот процесс подбора в учебниках не пишут, а дают сразу готовый вариант.

Все понятно, кроме вот этого:

Munin в сообщении #1385345 писал(а):

5. На основании аксиом и теорем выясняется, что система, которая подходит под требования шага 2, единственна.

На основании каких аксиом и теорем? Которые мы на шаге 3 ввели? Они, как я понимаю, имеют силу таковых только внутри системы, т.е. единственность такой системы ими доказать не получится.
Значит, каких-то других?

Munin в сообщении #1385345 писал(а):

Я вам уже говорил, что если эту часть не убирать, то:
- изложение станет не более ясным, а более мутным и запутанным, потому что путь к истине всегда извилист, а стройные здания возводятся в уродливых строительных лесах;
- изложение раздуется по объёму в 10-100 раз, и станет книгой не по математике, а по истории математики.

Я тут не имею ввиду необходимость изложения именно исторического развития, хотя оно, безусловно, в какой-то степени поможет в понимании. Я имею ввиду обоснование каждого шага в рассуждениях: что побудило вас "шагнуть" именно так, а не иначе. Не какого-то исторического персонажа в далеком прошлом, а именно вас. Если его (обоснования) нет хоть на каком-то шаге, то рассуждения уже не строгие и слушающие теряют нить.
При этом ваша мотивация рассуждений может совпадать с историческими, может не совпадать, можете использовать историческую хронологию для объяснения, можете не использовать. Это не важно. Важно объяснить зачем вы делаете каждый шаг рассуждений со своей точки зрения.

А не так: я щас приведу последовательность действий, и если они приведут к желаемому результату (тождеству, противоречию при доказательстве от противного и т.д.), значит их мотивация уже оправдана (результатом) и объяснять каждое из них в отдельности нет нужды. Типа как "победителей не судят"

На мой взгляд, если вы говорите, например, "введем такие-то объекты в рассмотрение" и не объясняете зачем, то это уже, имхо, логическая ошибка, к какому бы результату вы потом не пришли. Недоумевающие взгляды слушателей при этом наглядное тому подтверждение. Объяснение типа "потом, когда результат получу, будет понятно" - это вариант подгонки под ответ. Логика - вещь гибкая, и примеров, когда комбинация ошибочных рассуждений приводит к правильному результату, достаточно.

Munin в сообщении #1385345 писал(а):

Это ошибка. Чтобы не "плавать", нужно другое: много практиковаться в применении того аппарата, который вы изучаете. А "самые основы" приведут только к ещё большему плаванию. Не думайте, что вы первый с такими желаниями, это всё давно на практике опробовано и хорошо известно.

Мне тоже самое говорили, когда я лез в ассемблер, желая понять программирование на Си и других высокоуровневых языках: "Зачем тебе лезть в эти дебри: еще больше запутаешься". В результате сделав все-таки по-своему из человека, вынужденного списывать простейшую лабу по программированию, я превратился в человека, у кого это программирование теперь по факту первая профессия.

С тех пор к советам типа "не лезь под капот, сначала ездить научись" отношусь скептически. Без обид)

-- 02.04.2019, 09:43 --

vpb в сообщении #1385427 писал(а):

Складывается впечатление, что Вы хотите, с одной стороны, чтоб было изложение с упоминанием "опыта и практических нужд", а с другой стороны, чтобы "строго" доказывалось, что $1+1=2$, причем начиная с самого нуля. Но это несовместимые пожелания.

Доказать для меня (да я думаю и для большинства) синоним слова объяснить, т.е. из не очевидного сделать очевидным. Привязка к опыту, с этой задачей в большинстве случаев справляются лучше всего.

[Munin]

RoadRunner в сообщении #1385452 писал(а):

На основании каких аксиом и теорем? Которые мы на шаге 3 ввели? Они, как я понимаю, имеют силу таковых только внутри системы, т.е. единственность такой системы ими доказать не получится.
Значит, каких-то других?

Не только на основании аксиом шага 2. Тут как раз используются системы "оснований математики": аксиомы математической логики и теории множеств.

То есть, грубо говоря, любая система чисел, которую мы можем допустить, должна быть некоторым множеством с дополнительной структурой, которая тоже описывается множествами. И на шаге 4, мы обсуждаем, сколько можно сделать таких систем, реализуя их как конструкции из множеств.

Например, если мы зададим слишком слабый набор условий (допустим, просто аксиомы группы), то можно будет предъявить несколько различных множеств, которые этим условиям удовлетворяют. (И не изоморфных, то есть доказать отсутствие изоморфизма.) А если мы зададим противоречивый набор условий (например, потребуем существования двух различных двухсторонних единиц), то можно будет доказать, что такого множества вообще не существует. (В этом примере, два элемента множества должны быть одновременно различны и равны - противоречие.)

Во всём этом также используется мат. логика. Например, мы не допускаем ситуации, когда одновременно могут быть верны два противоположных утверждения.

RoadRunner в сообщении #1385452 писал(а):

Я тут не имею ввиду необходимость изложения именно исторического развития, хотя оно, безусловно, в какой-то степени поможет в понимании. Я имею ввиду обоснование каждого шага в рассуждениях: что побудило вас "шагнуть" именно так, а не иначе. Не какого-то исторического персонажа в далеком прошлом, а именно вас.

Чаще всего обоснование такое: я знаю, что в будущем мне это поможет. Именно от других исторических персонажей в далёком прошлом, по цепочке от учителя к учителю.

А. Савватеев это формулирует примерно таким образом:

"Математику разрешено предположить всё, что угодно. Никто не потребует обосновать предположение. Главное, чтобы в итоге математик добился успеха."

Иногда приводят какие-то мотивирующие примеры. Но не всегда. Я вам такие примеры привёл. Вам их недостаточно, чтобы продолжить читать Фихтенгольца? Ответьте однозначно, да или нет. Если "нет" - наверное, вам стоит бросить это дело вообще. (Тем более, что вы говорите, что "первое приближение" уже 14 лет назад прошли. Значит, для вас это не вопрос получения образования. Переживёте.)

RoadRunner в сообщении #1385452 писал(а):

Если его (обоснования) нет хоть на каком-то шаге, то рассуждения уже не строгие и слушающие теряют нить.

Ну, вам уже сказали, что ваши представления о математике расходятся с действительностью. Вы не в курсе, где в математике нужна строгость, а где - нет. Если слушающие теряют нить - что ж, хуже для них. Обычно математику читают или тем, кто в ней заинтересован в самой по себе, или чётко знают, что она всё равно понадобится им на практике, так что слушать всё равно придётся.

RoadRunner в сообщении #1385452 писал(а):

А не так: я щас приведу последовательность действий, и если они приведут к желаемому результату (тождеству, противоречию при доказательстве от противного и т.д.), значит их мотивация уже оправдана (результатом) и объяснять каждое из них в отдельности нет нужды. Типа как "победителей не судят" :-) На мой взгляд, если вы говорите, например, "введем такие-то объекты в рассмотрение" и не объясняете зачем, то это уже, имхо, логическая ошибка, к какому бы результату вы потом не пришли.

Ошибаетесь. Именно так и есть: "победителей не судят". Именно так и устроена математика. И логика. Вам это лучше всего сразу уяснить.

RoadRunner в сообщении #1385452 писал(а):

Объяснение типа "потом, когда результат получу, будет понятно" - это вариант подгонки под ответ. Логика - вещь гибкая, и примеров, когда комбинация ошибочных рассуждений приводит к правильному результату, достаточно.

Не-а. Как раз логика (и вся остальная математика) этого не позволяет. Этим она и привлекает всех практиков. И именно поэтому такие "выкрутасы" и становятся возможны.

RoadRunner в сообщении #1385452 писал(а):

Мне тоже самое говорили, когда я лез в ассемблер, желая понять программирование на Си и других высокоуровневых языках: "Зачем тебе лезть в эти дебри: еще больше запутаешься". В результате сделав все-таки по-своему из человека, вынужденного списывать простейшую лабу по программированию, я превратился в человека, у кого это программирование теперь по факту первая профессия.

Тут другая ситуация. Во-первых, для человека, "у которого программирование первая профессия", ассемблер действительно может быть необязателен. Хотя это плюс (но и то не всегда). Во-вторых, речь не о том, чтобы не лезть куда-то вообще, а о том, чтобы не лезть куда-то на самом первом этапе изучения. Когда вы будете хорошо знать системы чисел, алгебраические системы, мат. анализ, начала теории чисел, можно заняться и теорией множеств и мат. логикой. Это даже полезно. Но важно соблюдать порядок изучения и степень погружения в предмет, потому что глубинные сложности требуют некоторой подготовки в других областях. Вы сразу чётко сказали, где вы находитесь: в начале учебника Фихтенгольца. Исходя из этого, вам и дают советы. (Некоторые советы не очень соответствуют этому, ну это уже на совести советчиков.)

В общем, вам бы поменьше бунтовать против "не лезь", и побольше слушать советов "сначала". Советы вам дают не на пустом месте.

[RoadRunner]

ewert в сообщении #1385374 писал(а):

С какого конкретно нуля?

С нуля, не с нуля.. скажем так, чтобы было понятно и человеку со средним образованием, а не только математику с 40-летним стажем.

vpb в сообщении #1385427 писал(а):

Нет, я думаю тут у Вас есть пробелы в базовых знаниях и понимании. Поэтому кажется, что якобы у Фихтенгольца пробелы.

Конечно, пробелы! Кто бы спорил Тут ведь все относительно: объясняют с прорехами в рассуждениях, или у слушающего прорехи в познаниях, опыте.. И то и другое, как правило.

Понятно, что чем более скудный у человека опыт, тем сложнее ему объяснить. Тут я согласен с Munin: можно просто подождать, пока ученик "палкой не намахает" достаточно опыта, тогда и объяснять ничего не надо будет в один прекрасный момент - сам все поймет.

Есть только такой момент, что неизвестно, сколько для этого времени потребуется, исходя из конкретных способностей ученика.. может и жизни не хватить Ну, значит, неспособный ученик попался)) Так на Востоке принято обучать. Если у тебя что-то не получается, значит ты неправильно делаешь. Продолжай тупо делать за учителем, верь в его авторитет и дорастешь. Ну и дорастают, кто ж спорит. Условно один из тысячи правда, но дорастают

Либо условно более западный подход: не ждать, когда ученик своим возросшим опытом достигает таки высоты Олимпа, на котором учитель сидит, а спускать ему ниточку помощи, т.е. пытаться объяснить свои абстракции в понятиях пока еще скудного опыта ученика (популяризация науки). Благо это возможно, т.к. множество скудного опыта ученика есть подмножество большого опыта учителя При этом излагать сначала приходится от частного к общему (от частного скудного опыта ученика к общей абстракции учителя). Это сразу мотивирует ученика и он путь проходит гораздо быстрее. Ну и прошедших соответственно становится гораздо больше. Все-таки набирать опыт без собственной мотивации десятилетиями, двигаясь только на авторитете учителя по большому счету, проблематично, имхо. Да еще и без какой-либо гарантии на успех.

Ладно, прошу прощения за оффтоп. Просто вижу, что моя позиция многим не совсем понятна. Хотел пояснить.

З.Ы. Спасибо всем, что развернутые объяснения даете, литературу советуете. Мне на этом все ж полегче самому дальше как-то двигаться

[Mikhail_K]

RoadRunner в сообщении #1385452 писал(а):

Я имею ввиду обоснование каждого шага в рассуждениях: что побудило вас "шагнуть" именно так, а не иначе. Не какого-то исторического персонажа в далеком прошлом, а именно вас. Если его (обоснования) нет хоть на каком-то шаге, то рассуждения уже не строгие и слушающие теряют нить.
При этом ваша мотивация рассуждений может совпадать с историческими, может не совпадать, можете использовать историческую хронологию для объяснения, можете не использовать. Это не важно. Важно объяснить зачем вы делаете каждый шаг рассуждений со своей точки зрения.

А не так: я щас приведу последовательность действий, и если они приведут к желаемому результату (тождеству, противоречию при доказательстве от противного и т.д.), значит их мотивация уже оправдана (результатом) и объяснять каждое из них в отдельности нет нужды. Типа как "победителей не судят"

На мой взгляд, если вы говорите, например, "введем такие-то объекты в рассмотрение" и не объясняете зачем, то это уже, имхо, логическая ошибка, к какому бы результату вы потом не пришли. Недоумевающие взгляды слушателей при этом наглядное тому подтверждение. Объяснение типа "потом, когда результат получу, будет понятно" - это вариант подгонки под ответ.

Вы не правы.
Логика и математика дают нам правила игры, по которым мы можем доказывать утверждения.
Рассуждения строгие, если каждый шаг в доказательстве удовлетворяет этим правилам игры.
Но автор доказательства не обязан объяснять, зачем сделан тот или иной шаг, строгость рассуждений от этого не пострадает. Более того, теоретически, у этого может и не быть вообще никаких разумных предпосылок. Например, человеку приснилось, что нужно сделать именно такой шаг, и тогда удастся завершить доказательство. Строгость доказательства от этого не пострадает.

Конечно, в большинстве случаев предпосылки для того, чтобы сделать именно такой шаг, а не другой - имеются. Хорошее упражнение - прочитав доказательство до конца, попытаться понять, почему оно было составлено именно так. Но надо помнить: 1) что эти предпосылки не имеют ничего общего со строгостью или логичностью рассуждений - наоборот, они могут быть сколь угодно нестрогими и интуитивными; 2) что они могут вообще отсутствовать, или у вас может не получиться в них разобраться, и это нормально; 3) и уж точно, с вопросами оснований математики это никак не связано.

RoadRunner в сообщении #1385452 писал(а):

Логика - вещь гибкая, и примеров, когда комбинация ошибочных рассуждений приводит к правильному результату, достаточно.

В том-то и дело, что не гибкая. Если каждый шаг в доказательстве логичен (соответствует "правилам игры"), пусть и не объяснено зачем он сделан, - то это строгие, верные рассуждения.
Понятно, что неверные рассуждения (не удовлетворяющие законам логики) могут привести к верному результату тоже, но это совсем другая ситуация.

[ewert]

RoadRunner в сообщении #1385452 писал(а):

На основании каких аксиом и теорем? Которые мы на шаге 3 ввели? Они, как я понимаю, имеют силу таковых только внутри системы, т.е. единственность такой системы ими доказать не получится.

Не получится, но не в силу их "внутренности" (точнее, не столько из-за этого). Тут два момента.

Во-первых, система аксиом почти никогда не задаёт некоторый единственный объект -- лишь класс объектов. Те же свойства рациональных чисел, которые так нудно и опрометчиво приводит Фихтенгольц (опрометчиво, т.к. он потом их, кажется, всё равно не использует как аксиомы) -- это т.наз. "аксиомы поля". Точнее, "упорядоченного архимедова поля". Но различных таких полей, вдобавок к рациональным числам, много.

Во-вторых, после добавления аксиомы полноты остаётся уже только один объект -- множество вещественных чисел (и это случай достаточно уникальный). Только надо правильно понимать, в каком смысле "один".

Любой аксиоматически построенный объект требует некоторой модели. Для вещественных чисел наиболее наглядная модель (условно приписываемая Вейерштрассу) -- это бесконечные десятичные дроби. Или модель Дедекинда -- сечения на множестве рациональных чисел; её очень любят давать в учебниках, т.к. она наиболее лаконична. Или ещё что-то.

Формально это -- разные множества. Но они изоморфны, т.е. между их элементами существует взаимно однозначное соответствие, сохраняющее арифметические операции и отношение порядка. А поскольку никаких других структур на них не определено, то их вполне можно отождествить.

Так вот, множество вещественных чисел единственно ровно в том смысле, что любое другое множество, удовлетворяющее этим аксиомам, ему изоморфно. Это, конечно, некоторая теорема; её доказательство сводится к установлению изоморфизма между любым таким множеством и какой-либо конкретной моделью.

С мотивировкой всего этого у Фихтенгольца действительно не слишком хорошо. Можете почитать, например, Кудрявцева, он в этом отношении существенно сознательнее. Или Ильина и Позняка -- там мотивация более развёрнута (хотя и с небольшим элементом жульничества).

[Someone]

RoadRunner в сообщении #1385452 писал(а):

Я тут не имею ввиду необходимость изложения именно исторического развития, хотя оно, безусловно, в какой-то степени поможет в понимании.

Наоборот, такой подход сильно навредит пониманию. Историческое развитие обычно является процессом весьма запутанным и противоречивым; "пионерские" работы тоже страдают непоследовательностью и запутанностью, это уже потом изложение подчищается и выглаживается.

RoadRunner в сообщении #1385452 писал(а):

Привязка к опыту, с этой задачей в большинстве случаев справляются лучше всего.

Someone в сообщении #1384596 писал(а):

Да, кстати, забыл сказать про вопрос из названия темы. Ответ тут, в некотором смысле, простой: эти свойства "взялись" из многовекового опыта работы с числами.

RoadRunner в сообщении #1385452 писал(а):

Мне тоже самое говорили, когда я лез в ассемблер, желая понять программирование на Си и других высокоуровневых языках: "Зачем тебе лезть в эти дебри: еще больше запутаешься".

Ну да, существует обычай пугать начинающих ассемблером. Лично я начинал изучение программирования с программирования в машинных кодах для ЭВМ М-20, записанных в восьмеричной системе счисления. Потом в качестве некоторого послабления разрешили использовать буквенные обозначения команд и адресов. А потом изучали программирование на языке Алгол-60.

RoadRunner в сообщении #1385458 писал(а):

С нуля, не с нуля.. скажем так, чтобы было понятно и человеку со средним образованием, а не только математику с 40-летним стажем.

Увиливаете от ответа. Видимо, сами не понимаете, чего хотите. Вы же требовали доказательства свойств чисел типа $a+b=b+a$. Поэтому повторяю вопрос:

Someone в сообщении #1385370 писал(а):

RoadRunner в сообщении #1385333 писал(а):

Если уж претендуешь на строгость (а это отличительная особенность математики, насколько я знаю), так доказывай все с нуля

Что значит — "с нуля"?

ewert в сообщении #1385374 писал(а):

С какого конкретно нуля?...

С какого "нуля" надо начать доказательство, чтобы Вы его сочли "строгим" и не потребовали доказательство и этого "нуля" тоже?

[vpb]

Someone в сообщении #1385488 писал(а):

Видимо, сами не понимаете, чего хотите.

Хм, ну это в лучшем случае... С вероятностью больше половины, ТС троллит.

-- 02.04.2019, 14:08 --

Если бы человек в самом деле хотел улучшить свое понимание матана, он бы уже в первом посте вел речь о сложении, а не о "понятии сложения". А то смахивает на "философию" весьма дурного пошибу.

[RoadRunner]

Someone в сообщении #1385488 писал(а):

С какого "нуля" надо начать доказательство, чтобы Вы его сочли "строгим" и не потребовали доказательство и этого "нуля" тоже?

Если в доказательстве не используются термины, понятия, заключения, не определенные перед этим, либо явно, либо по ссылке.

В частности,

RoadRunner в сообщении #1384476 писал(а):

Я на это наткнулся, когда пытался понять его (Фихтенгольца) доказательство свойства плотности рациональных чисел, а именно: что из $a>b$ следует $a>\frac{a+b}{2}>b$. Всплывает двойка, которую непонятно как соотносить с единицей, а стало быть и с a, и с b.

Здесь единица определена, а двойка - нет. Если бы он задал двойку аналогично единице через ее свойство или сослался бы на нее как на объект из множества натуральных чисел, вопросов бы не было.

[Someone]

RoadRunner в сообщении #1385504 писал(а):

Если в доказательстве не используются термины, понятия, заключения, не определенные перед этим, либо явно, либо по ссылке.

Увиливаете от ответа. Пожалуйста, конкретнее.

-- Вт апр 02, 2019 15:49:42 --

vpb в сообщении #1385492 писал(а):

С вероятностью больше половины, ТС троллит.

Гораздо больше. Если он ничего конкретного не скажет, придётся жаловаться модератору.

RoadRunner в сообщении #1385504 писал(а):

Здесь единица определена, а двойка - нет. Если бы он задал двойку аналогично единице через ее свойство или сослался бы на нее как на объект из множества натуральных чисел, вопросов бы не было.

При этом прикидывается идиотом.

[ewert]

RoadRunner в сообщении #1385504 писал(а):

RoadRunner в сообщении #1384476 писал(а):

Я на это наткнулся, когда пытался понять его (Фихтенгольца) доказательство свойства плотности рациональных чисел, а именно: что из $a>b$ следует $a>\frac{a+b}{2}>b$. Всплывает двойка, которую непонятно как соотносить с единицей, а стало быть и с a, и с b.

Здесь единица определена, а двойка - нет. Если бы он задал двойку аналогично единице через ее свойство или сослался бы на нее как на объект из множества натуральных чисел, вопросов бы не было.

Что Вы привязались именно к этой несчастной двойке? Когда он в самом что ни на есть первом абзаце упоминает корень из двух. Так что натуральные числа (как и сами рациональные) предполагаются уже известными.

Лучше пропустите мимо ушей глаз всё, что Фихтенгольц пишет про рациональные числа -- этот фрагмент у него крайне неудачен. Во-первых, он намекает на некую систему аксиом, но стесняется их так обозвать, поэтому действительно непонятно, зачем ему эти подмигивания понадобились. Во-вторых, это у него и не система; в частности, пресловутое "основное свойство" I.3 -- никакая не аксиома.

[eugensk]

RoadRunner

2 это 1+1, по определению. Всё, проблема решена?

[Igrickiy(senior)]

RoadRunner
Уважаемый ТС!
Внимательно слежу за обсуждением без участия в нём.
Пока у меня остался вопрос, на который хотелось бы получить Ваш конкретный ответ.
Вы не могли бы сформулировать, что лично Вы понимаете под доказательством какого-либо утверждения. Без понимания этого затруднительно формулировать умозаключения так, чтобы они стали для Вас убедительными. Хотя, откровенно говоря, совершенно не обязательно ставить своей задачей убедить Вас в чём-либо.

[RoadRunner]

Someone в сообщении #1385510 писал(а):

Увиливаете от ответа. Пожалуйста, конкретнее.

Тут только один тролль после этого.

Если бы Вы действительно хотели поконкретнее, а не выводили меня на эмоции, то указали бы, что именно конкретизировать, что Вам не ясно. Поспорить, поцеплять - это не ко мне, мне это без надобности.

Мое общение с Вами окончено.

[vpb]

ewert в сообщении #1385511 писал(а):

всё, что Фихтенгольц пишет про рациональные числа -- этот фрагмент у него крайне неудачен.

Нет, нормален, имхо. Благонамеренный человек извлечет оттуда немало, по крайней мере инвентаризирует то, что знает о рациональных числах.

[Someone]

RoadRunner в сообщении #1385518 писал(а):

Если бы Вы действительно хотели поконкретнее, а не выводили меня на эмоции, то указали бы, что именно конкретизировать, что Вам не ясно.

Someone в сообщении #1385488 писал(а):

С какого "нуля" надо начать доказательство, чтобы Вы его сочли "строгим" и не потребовали доказательство и этого "нуля" тоже?

Сформулируйте точно: вот эти утверждения о числах принимаем как не требующие доказательства (предъявляете полный список), а все прочие доказываем. Мы уже видели, что все свойства чисел Вы желаете доказывать. Исходя из чего Вы их хотите доказывать? Или Вы их хотите доказать, не используя вообще ничего?

RoadRunner в сообщении #1385518 писал(а):

Мое общение с Вами окончено.

Разумеется-разумеется. Иначе и быть не может. Хотя по правилам форума Вы обязаны отвечать на вопросы заслуженных участников, а этот вопрос Вам задал не только я.

Кстати, тема явно имеет дискуссионный характер, хотя дискуссия не о математике, а о её преподавании.