Помогите разобраться: откуда взялись свойства чисел

[Someone]

Да, кстати, забыл сказать про вопрос из названия темы. Ответ тут, в некотором смысле, простой: эти свойства "взялись" из многовекового опыта работы с числами.

[Munin]

arseniiv
Ну это уже вынос мозга, мы так помешаем человеку продолжить читать учебник, а не поможем.

[gris]

(Оффтоп)

Цитата:

— Но откуда, однако, могли взяться свойства натуральных чисел в смысле того предрассудка, в котором теперь представляются? Вот вопрос. Ваше мнение?
— Как откуда могли взяться?
— То-есть мы знаем, например, что предрассудок о боге произошел от грома и молнии,— вдруг рванулась опять студентка, — Но откуда произошел предрассудок о натуральных числах? Откуда могли взяться сами числа?
— Я полагаю, что ответ на такой вопрос нескромен.
— Как так? - дернулась вперед студентка.
Но в учительской группе послышалось хихиканье, которому тотчас же отозвались с другого конца.

Фантазия на темы ФМД.

[george66]

Почитайте популярную книжку Фрейденталя "Математика в науке и вокруг нас"
http://lib1.org/_ads/B89CDBABEE783C25250A7F22630A2C44
особенно главу "До бесконечности". А потом более трудную книгу Лелон -Ферран
http://lib1.org/_ads/63083CF091F67C08732627208003E719
(первую главу, про действительные числа)

[svv]

(Оффтоп)

george66 в сообщении #1384619 писал(а):

Лелон -Ферран

Какие у французов красивые фамилии! Кстати, это можно по желанию считать одной двойной фамилией либо двумя разными: Жаклин Ферран вышла замуж за Пьера Лелона и стала Лелон-Ферран. А муж наверняка помогал ей в написании книги.

[vego]

Проскуряков "Числа и многочлены" - неплохая книжка на эту тему.
Есть еще Демидов "Основания арифметики" и Ларин - "Числовые системы".
А на английском у Тао все необходимое расписано с самого начала.

[RoadRunner]

gris в сообщении #1384501 писал(а):

А ещё обычно курсы начинаются с множеств. Представляете, что бы испытал первокурсник, если ему начать читать теорию множеств во всех подробностях?

Да по-моему примерно то же, что он испытывает, когда ему матанализ во всех подробностях в голову запихивают Только если раньше в школе все было очевидно, то теперь это уже не очевидно и надо непременно доказать.

gris в сообщении #1384501 писал(а):

Самые хорошие учебники по матанализу из категории "для втузов"

Не посоветуете кстати какие-нибудь?)

[gris]

Ну это был совет не для вас. Вы, я так понял, уже прошли этот этап, и даже на более высоком уровне, и хотите обстоятельно изучить предмет. У вас есть навыки работы с учебной литературой. Нет никаких сроков и ограничений. Так возьмите побольше учебников и уделите каждому часов по шесть. Собственно, вам нужны учебники не по матанализу, а по основаниям. И даже не учебники. Решайте побольше задач. Есть, правда, мнение, что человек, прикоснувшийся к Демидовичу, уже не сможет в полной мере овладеть истинной математикой. Будьте выше этого.
Я не решусь давать методические советы, но одно дело юноша, которому чисто самостоятельная работа противопоказана, а другое — зрелый человек. Юноша должен идти в соответствующее заведение и как основу употреблять всё, что ему предпишут, а вас привязывать к какому-то даже наилучшему учебнику грешно. Впрочем, на форуме очень много различных обоснованных и опробованных на опыте рекомендаций.
Но даже опытному методисту необходимо знать ваши обстоятельства, знания и умения по предмету, чтобы рекомендации были разумными.

Кстати, по учебнику для втузов. Без всякой иронии. Кудрявцев. Очень добротный, популярный и достаточно продвинутый трёхтомник.

[RoadRunner]

Munin в сообщении #1384530 писал(а):

Есть некоторое количество учебников с изложением мотивации. И книги по истории математики. Но всё-таки пока вам не стоит в них спешить. По той причине, что мотивация лежит впереди. Есть более сложные математические теории и понятия, которые хорошо ложатся на именно такую систему начальных понятий. Но вы этих сложных понятий пока не знаете, и если вам их просто назвать, это для вас будет пустой звук.

Например, система понятий для сложения (она называется алгебраической группой) встречается:
- в системах чисел (целые, действительные, комплексные), в том числе и для умножения (если убрать из этих систем 0);
- в алгебре векторов;
- в разнообразных системах преобразований: геометрические повороты вокруг точки, параллельные переносы; или например, действия над кубиком Рубика (там не выполняются "переместительное свойство", это случается довольно часто)...

Система понятий для сложения и умножения (она называется алгебраическим кольцом) встречается:
- опять же, в системах чисел;
- в системе десятичных дробей, или в системе двоичных дробей;
- в системе остатков от деления целых чисел на какое-то одно фиксированное целое число - такие остатки можно складывать и умножать, вычитать и иногда делить нацело;
- множество функций, если взять функции на одной и той же области определения, образует кольцо: их можно складывать и умножать.
При некоторых условиях (если всегда можно делить на любой элемент, не равный 0), кольцо называется полем.

Система понятия для сложения между собой и умножения на числа - это другая система понятий, она называется в разных вариантах алгебраическим модулем или векторным пространством. Примеры:
- и снова, системы чисел;
- также векторным пространством является координатная плоскость и координатное пространство;
- можно взять на координатной плоскости только точки с обеими целыми координатами - "целочисленную решётку". Это тоже будет векторное пространство, если разрешить умножение на целые числа.
- множество функций, опять же на одной и той же области определения, образует векторное пространство.

Дальше вам встретятся и другие объекты похожих типов (комплексные числа, кватернионы, матрицы, тензоры, перестановки, операторы, и т.д.).

Спасибо за подробный ответ.
Мне бы все эти описанные вами понятия уложить в какую-то общую схему, систему. А так как любая система базируется на причинно-следственных связях, т.е. на мотивации: что из чего возникло и почему, я до нее и докапываюсь. Я ведь, как, думаю, и большинство, получил классическое кусочно-разрывное образование Т.е. кусочки знаний, которые сейчас пытаюсь склеить клеем под названием мотивация

Я так понял, что большинство из перечисленного, это предмет алгебры. А что-то - оснований математики, как, например, аксиоматика натуральных чисел (аксиомы Пеано). Поправьте, если ошибаюсь, потому что я пока смутно понимаю, чем алгебра отличается от оснований математики и анализа.

Munin в сообщении #1384530 писал(а):

-- 28.03.2019 14:06:13 --

RoadRunner в сообщении #1384476

писал(а):
В нем и проблема: мы про единицу постулировали только ее свойство $a\cdot1=a$. Формально, больше о ней инфы нет. Мы даже не можем утверждать, что 1+1=2.

Я на это наткнулся, когда пытался понять его (Фихтенгольца) доказательство свойства плотности рациональных чисел, а именно: что из $a>b$ следует $a>\frac{a+b}{2}>b$. Всплывает двойка, которую непонятно как соотносить с единицей, а стало быть и с a, и с b.
Видимо, тут пропущен момент (явно он проговаривается в аксиоматике натуральных чисел). Мы ввели элементы $0$ и $1,$ причём $0\ne 1.$ А дальше, проделывая разные действия с этими элементами, мы быстро натыкаемся на бесконечную серию новых элементов (то, что она бесконечная, где-то заложено в аксиомах):
$1+1, (1+1)+1, ((1+1)+1)+1,\ldots$ И для неё мы выбираем имена, которые записываются как привычные вам числа:
$2:=1+1, 3:=(1+1)+1, 4:=((1+1)+1)+1,\ldots$ Дальше можно доказывать теоремы, такого вида: $1+2=3, 2+2=4\ldots$ Но это в сторону от целей Фихтенгольца.

В общем, всегда, когда увидите $2,$ можете думать, что подразумевается $1+1.$

Да, так теперь понятно.

-- 29.03.2019, 09:13 --

gris в сообщении #1384702 писал(а):

Вы, я так понял, уже прошли этот этап, и даже на более высоком уровне, и хотите обстоятельно изучить предмет. У вас есть навыки работы с учебной литературой. Нет никаких сроков и ограничений. Так возьмите побольше учебников и уделите каждому часов по шесть. Собственно, вам нужны учебники не по матанализу, а по основаниям.

Я учебнику как правило уделяю месяцев по шесть , поэтому, сами понимаете, вынужден очень внимательно подходить к выбору литературы.
Есть просто опыт, как предмет может из разряда неподъемного почти моментально перейти в разряд простых и понятных, стоит только найти нормальную книгу. У меня это было с программированием на ассемблере.
С тех пор просто не могу себя заставить продираться через все подряд. Хотя в программировании, конечно, с выбором литературы, написанной человеческим языком, дела обстоят безусловно лучше.

Вот я щас как раз такие учебники и ищу. Пока на примете у меня:

Арнольд. Теоретическая арифметика.
Фрид. Элементарное введение в абстрактную алгебру
Феферман. Числовые системы

и еще как дополнение то, что посоветовали

george66 в сообщении #1384619 писал(а):

Почитайте популярную книжку Фрейденталя "Математика в науке и вокруг нас" http://lib1.org/_ads/B89CDBABEE783C25250A7F22630A2C44
особенно главу "До бесконечности". А потом более трудную книгу Лелон -Ферран http://lib1.org/_ads/63083CF091F67C08732627208003E719
(первую главу, про действительные числа)

Это, я так понял, по основаниям математики. Если есть какие-то комментарии, личное мнение по этим или другим книгам этой тематики, буду рад услышать.

-- 29.03.2019, 09:15 --

vego в сообщении #1384662 писал(а):

Проскуряков "Числа и многочлены" - неплохая книжка на эту тему.
Есть еще Демидов "Основания арифметики" и Ларин - "Числовые системы".
А на английском у Тао все необходимое расписано с самого начала.

А ху из Тао?

[vicvolf]

RoadRunner в сообщении #1384454 писал(а):

Самостоятельно изучаю мат. анализ по второму кругу (первый был в универе) по Фихтенгольцу.
Вопросы возникают уже в самом начале, при введении таких понятий как сумма, произведение.

Если самостоятельно изучать анализ по второму разу, то перед изучением анализа хорошо бы посмотреть основы (натуральные числа), алгебру (рациональные и действительные числа), а затем перейти к анализу. Тогда не будут возникать такие вопросы. У Вас есть такая возможность, которой нет у студентов. Последовательность курсов они выбирать не могут.

[Munin]

RoadRunner в сообщении #1384705 писал(а):

Спасибо за подробный ответ.
Мне бы все эти описанные вами понятия уложить в какую-то общую схему, систему. А так как любая система базируется на причинно-следственных связях, т.е. на мотивации: что из чего возникло и почему, я до нее и докапываюсь.

Я как раз хочу предупредить вас не сильно докапываться до того, "что из чего возникло и почему". Потому что обычно рассказывают некоторую упрощённую схему, более-менее логичную современную картину. А если докапываться, то станет ясно, что реальная история возникновения - страшная путаница и сумбур. Оттуда хочется сбежать в ясную современность. Ну и конечно, там намного больше деталей и нюансов, в этом можно утонуть на всю жизнь, оставив изучение самого предмета в стороне. Не советую.

RoadRunner в сообщении #1384705 писал(а):

Я так понял, что большинство из перечисленного, это предмет алгебры. А что-то - оснований математики, как, например, аксиоматика натуральных чисел (аксиомы Пеано). Поправьте, если ошибаюсь, потому что я пока смутно понимаю, чем алгебра отличается от оснований математики и анализа.

Да, то, что я перечислил, - это алгебра. По алгебре, я всё больше и больше склоняюсь к тому, что надо читать замечательную книжку
Кострикин. Введение в алгебру. В 3-х частях.
особенно первую часть Основы алгебры.

Чем отличается алгебра от анализа или от оснований математики - это все "понимают смутно". Это довольно неформальные различия, касающиеся и предмета изучения, и метода изучения, и способа мыслить о предмете. Опытный математик интуитивно чувствует их, но начинающий просто не знает достаточно примеров и не имеет длительного личного знакомства с этими разделами. Бывают пограничные случаи.

Алгебра и анализ - грубо говоря, начинаются в точке "ну уж что такое натуральные числа (а в анализе - даже действительные числа), мы знаем; посмотрим, что мы можем сделать ещё". Алгебра обобщает числа. Анализ строит из них конструкции, прежде всего - функции.
Основания математики - идут до этой точки: "а если я не знаю, что такое натуральные числа, как вы мне это объясните?". Примерно состоят из теории множеств и логики. На основе логики и теории множеств можно построить натуральные числа, и практически все остальные математические теории.

[eugensk]

Насчет областей математики, вот возможно хорошая иллюстрация:
https://pp.vk.me/c311616/v311616911/7ac1/AqCi16sdnqo.jpg
http://www.math.harvard.edu/courses/2018-2019.pdf

[Munin]

Хорошая, чтобы запутать.

[RoadRunner]

Munin в сообщении #1384744 писал(а):

Я как раз хочу предупредить вас не сильно докапываться до того, "что из чего возникло и почему". Потому что обычно рассказывают некоторую упрощённую схему, более-менее логичную современную картину. А если докапываться, то станет ясно, что реальная история возникновения - страшная путаница и сумбур. Оттуда хочется сбежать в ясную современность. Ну и конечно, там намного больше деталей и нюансов, в этом можно утонуть на всю жизнь, оставив изучение самого предмета в стороне. Не советую.

Я тут под докапыванием имею ввиду не сколько историю происхождения того или иного понятия, сколько ход мыслей, соображения и потребности, которые могли привести к именно такому определению этого понятия. Т.е. ответ на вопрос ЗАЧЕМ это, а не ЧТО это.

Есть же совет даже известный: не думайте о том, ЧТО вам говорят, думайте ЗАЧЕМ вам это говорят. Так только суть и можно понять. Я вот сколько слушал лекции, на второй вопрос практически никогда не мог ответить

-- 29.03.2019, 18:57 --

Munin в сообщении #1384744 писал(а):

Основания математики - идут до этой точки: "а если я не знаю, что такое натуральные числа, как вы мне это объясните?"

Звучит интересно, кстати
Можете что-нибудь порекомендовать по основаниям?

[mihaild]

Никто ни в какой момент не садился и не придумывал, например, понятие вещественных чисел с нуля. Оно формировалось во много этапов, с постепенным уточнением, переделками предыдущего и т.д.
Т.е. сначала им пользовались, толком не вводя. Потом постепенно начали закреплять реально нужные свойства в определениях.