Точное вакуумное решение уравнений ОТО для двух тел

[monky99]

В пустом пространстве находятся два одинаковых сферически симметричных тела каждое массой $m$, неподвижных друг относительно друга. Пространственные координаты центров этих тел в СК $(t, \rho, \varphi, z)$ (цилиндрическая система координат, ось $z$ проходит через центры тел) следующие $(0, 0, z_1)$ и $(0, 0, z_2)$.
Ненулевые компоненты метрического тензора в этой СК следующие:

$g_t_t=-\frac{R_1 R_2}{M (R_1 + R_2) + R_1 R_2}$

$g_z_z=\frac{4 (4 R_1^3 R_2^3 + M (R_1 + R_2)^3 \rho ^2) (R_2^3 (z - z_1) + R_1^3 (z - z_2))^2 (M (R_1 + R_2) + R_1 R_2)}{(2 R_1 R_2 + (R_1 + R_2) \rho ) (2 R_1 R_2 - (R_1 + R_2) \rho ) (R_1 + R_2)^4 R_1^4 R_2^4}$

$g_\rho _\rho = [4 ((M (R_1 + R_2) + R_1 R_2) (R_1 + R_2)^2 R_1^4 R_2^4 + (R_1^2 - R_1 R_2 + R_2^2)^2 M (R_1 + R_2)^3 \rho ^4 - 2 (M (R_1 + R_2)^3 - (R_1^2 - 4 R_1 R_2 + R_2^2) R_1 R_2) (R_1^2 - R_1 R_2 + R_2^2) R_1^2 R_2^2 \rho ^2) (M (R_1 + R_2) + R_1 R_2)]/[(2 R_1 R_2 + (R_1 + R_2) \rho ) (2 R_1 R_2 - (R_1 + R_2) \rho ) (R_1 + R_2)^2 R_1^4 R_2^4] $


$g_\varphi _\varphi \frac{(M (R_1 + R_2) + R_1 R_2)^2 \rho ^2}{R_1^2 R_2^2}$

$g_z_\rho =g_\rho _z= -[4 (M (R_1 + R_2)^3 R_1^2 R_2^2 - 3 (R_1 - R_2)^2 R_1^3 R_2^3 - (R_1^2 - R_1 R_2 + R_2^2) M (R_1 + R_2)^3 \rho ^2) (R_2^3 (z - z_1) + R_1^3 (z - z_2)) (M (R_1 + R_2) + R_1 R_2) \rho ]/[(2 R_1 R_2 + (R_1 + R_2) \rho ) (2 R_1 R_2 - (R_1 + R_2) \rho ) (R_1 + R_2)^3 R_1^4 R_2^4]$

где
$M=2m$
$R_1=\sqrt {(z-z_1)^2+\rho ^2}$
$R_2=\sqrt {(z-z_2)^2+\rho ^2}$

Вобщем, так вот.

[Munin]

А почему здесь, а не в Annals of Mathematics? Или на худой конец, в arXiv.

[monky99]

Munin в сообщении #1382990 писал(а):

А почему здесь, а не в Annals of Mathematics? Или на худой конец, в arXiv.

Думаете стоит туда отправить?
Ну решил для начала послушать, что народ по этому поводу скажет... А дальше видно будет...

[Geen]

Это статичная метрика??

[monky99]

Geen в сообщении #1383003 писал(а):

Это статичная метрика??

Ни один из компонентов метрического тензора от времени не зависит.

[Geen]

И как такое возможно?...

[monky99]

Geen в сообщении #1383007 писал(а):

И как такое возможно?...

Если тела неподвижны друг относительно друга, т.е. измерение расстояния между ними постоянно дают один и тот же результат, то вполне можно построить такую систему координат, в которой эти два тела будут покоиться и в которой метрика будет независима от времени. Разве не так?

[Geen]

Построить можно, но ведь ещё нужно чтобы она вакуумная была...

[monky99]

Geen в сообщении #1383016 писал(а):

Построить можно, но ведь ещё нужно чтобы она вакуумная была...

Ничего не понял. Не могли бы Вы расшифровать свою мысль?

[Geen]

monky99 в сообщении #1383019 писал(а):

Geen в сообщении #1383016 писал(а):

Построить можно, но ведь ещё нужно чтобы она вакуумная была...

Ничего не понял. Не могли бы Вы расшифровать свою мысль?

Вы уверены, что тензор Риччи равен нулю для этой метрики?

[Munin]

Мысль простая: может ли Луна висеть над Землёй неподвижно? :-)

[monky99]

Geen в сообщении #1383020 писал(а):

Вы уверены, что тензор Риччи равен нулю для этой метрики?

Это можно проверить прямой подстановкой. Я это проделал.
Каким образом я получил эту метрику. Я рассуждал следующим образом. Если тела неподвижны друг относительно друга, то можно построить СК в которой метрика будет независима от времени. Метрический тензор представляет собой симметричную матрицу. Такую матрицу можно привести к диагональному виду. Т.е. существует преобразование координат которое приводит метрический тензор к диагональному виду. Метрика при этом останется независима от времени.
Следующая метрика
$ds^2=-\frac {1}{1+2M/R}dT^2+(1+2M/R)dR^2+(R+2M)^2d \theta ^2+(R+2M)^2 \sin^2( \theta )d \varphi ^2 $
является решением уравнений Эйнштейна.
Остаётся только выбрать подходящее преобразование координат, чтобы получить более понятную систему. Я выбрал следующие преобразования:
$T=t$, $R=\frac {2R_1R_2}{R_1+R_2}$, $\theta = \arcsin(\frac {\rho}{R})$, $\varphi =\varphi$
А поскольку метрика получена в результате преобразования координат, то она тоже является решением уравнений Эйнштейна. В той области пространства, где тензор энергии-импульса материи нулевой, разумеется.
Так что можно сказать, что уверен.

-- 20.03.2019, 00:13 --

Munin в сообщении #1383021 писал(а):

Мысль простая: может ли Луна висеть над Землёй неподвижно?

Зависит от системы координат, в которой мы это рассматриваем. (Разумеется если пренебречь отличиями орбиты Луны от круговой и тем фактом, что Луна отдаляется от Земли.)
Гораздо интереснее другой вопрос. А требует ли ОТО, чтобы Луна упала на Землю, если она не вращается вокруг Земли (в СК неподвижной относительно далёких звёзд).
Боюсь, что не требует...

[Geen]

monky99 в сообщении #1383029 писал(а):

А поскольку метрика получена в результате преобразования координат

Это мощный приём - в результате замены координат сферически-симметричное ПВ перестаёт быть сферически-симметричным...

monky99 в сообщении #1383029 писал(а):

А требует ли ОТО, чтобы Луна упала на Землю, если она не вращается вокруг Земли (в СК неподвижной относительно далёких звёзд).
Боюсь, что не требует...

Боюсь, что в данном случае "Луны" нет...

-- 20.03.2019, 10:53 --

monky99 в сообщении #1383029 писал(а):

Следующая метрика
$ds^2=-\frac {1}{1+2M/R}dT^2+(1+2M/R)dR^2+(R+2M)^2d \theta ^2+(R+2M)^2 \sin^2( \theta )d \varphi ^2 $
является решением уравнений Эйнштейна

Можно узнать откуда Вы взяли такое решение, и решением каких именно уравнений оно является?

[monky99]

Geen в сообщении #1383061 писал(а):

Можно узнать откуда Вы взяли такое решение, и решением каких именно уравнений оно является?

Метрика Шварцшильда:
$ds^2=-(1-2M/r)dT^2+\frac {1}{1-2M/r}dr^2+r^2d \theta ^2+r^2 \sin^2( \theta )d \varphi ^2 $
Преобразование координат $r=R+2M$ даёт указанную метрику. Надеюсь можно не писать уравнения решением которых является метрика Шварцшильда?

Geen в сообщении #1383061 писал(а):

Это мощный приём - в результате замены координат сферически-симметричное ПВ перестаёт быть сферически-симметричным...

В сферически-симметричном ПВ в сферической СК метрический тензор это диагонального вида матрица. Это да. Но почему Вы решили, что верно и обратное утверждение? Что диагонального вида метрический тензор определяет сферически-симметричное ПВ...

[Geen]

monky99 в сообщении #1383063 писал(а):

Преобразование координат $r=R+2M$ даёт указанную метрику.

Да, спасибо, протупил я тут.

-- 20.03.2019, 11:52 --

monky99 в сообщении #1383063 писал(а):

Но почему Вы решили, что верно и обратное утверждение?

Я такого "не решал". Но сферическая симметричность это свойство ПВ и оно не может зависеть от выбора СК.