Точное вакуумное решение уравнений ОТО для двух тел

[monky99]

Geen в сообщении #1383064 писал(а):

Я такого "не решал". Но сферическая симметричность это свойство ПВ и оно не может зависеть от выбора СК.

Не спорю. Не зависит.

Geen в сообщении #1383061 писал(а):

Это мощный приём - в результате замены координат сферически-симметричное ПВ перестаёт быть сферически-симметричным...

Но сферически-симметричного ПВ не было. Было ПВ с осевой симметрией и СК в которой метрический тензор имеет диагональный вид.

[Geen]

monky99 в сообщении #1383065 писал(а):

Но сферически-симметричного ПВ не было.

В таком ПВ не может быть метрики Шварцшильда. Но именно с неё Вы начали...

[monky99]

Geen в сообщении #1383066 писал(а):

monky99 в сообщении #1383065 писал(а):

Но сферически-симметричного ПВ не было.

В таком ПВ не может быть метрики Шварцшильда. Но именно с неё Вы начали...

Почему Вы решили что в таком ПВ не может существовать СК вид которой совпадает с видом метрики Шварцшильда?
Но я начал не с метрики Шварцшильда. Напомню с чего именно я начал.

monky99 в сообщении #1383029 писал(а):

Если тела неподвижны друг относительно друга, то можно построить СК в которой метрика будет независима от времени. Метрический тензор представляет собой симметричную матрицу. Такую матрицу можно привести к диагональному виду. Т.е. существует преобразование координат которое приводит метрический тензор к диагональному виду. Метрика при этом останется независима от времени.

[Munin]

monky99 в сообщении #1383075 писал(а):

Почему Вы решили что в таком ПВ не может существовать СК вид которой совпадает с видом метрики Шварцшильда?

Потому что глядя на вид метрики Шварцшильда, мы можем обнаружить более мощную симметрию. Собственно, найти векторы Киллинга.

[monky99]

Munin в сообщении #1383078 писал(а):

Потому что глядя на вид метрики Шварцшильда, мы можем обнаружить более мощную симметрию. Собственно, найти векторы Киллинга.

Можете. Ну и что из того? Ни вид метрики, ни векторы Киллинга, полученные исходя из неё ничего не говорят о том, каким образом произведена оцифровка ПВ. Так что на вопрос Вы не ответили. (Я так думаю.) И стоит ли углубляться в дебри, если можно обойтись без этого?
Хорошо. Давайте займёмся оцифровкой ПВ. Т.е. будем строить СК.
Два тела неподвижны друг относительно друга и неподвижны относительно далёких звёзд. Ну и очень сильно удалены от других тяготеющих масс. (Пусть пока это не будет пустое пространство.) Первое предположение. Они всё время неподвижны друг относительно друга, т.е. не притягиваются друг к другу.
Расставляем в пространстве вокруг наших тел часы, неподвижные относительно них, по типу того, как это делал Шварцшильд и синхронизируем их по такой же процедуре как у него. Временную координату таким образом мы организовали. Теперь надо присвоить каждым часам три пространственные координаты.
Будем строить цилиндрическую СК с осью $z$ проходящую через центры тел.
Пока о виде метрического тензора мы можем сказать только то, что его компоненты не зависят от времени. Сделаем второе предположение. $g_t_{\rho}=g_t_{\varphi}=g_t_z=0$
Поскольку метрический тензор это симметричная матрица, то существует преобразование координат приводящее эту матрицу к диагональному виду. И преобразование врени при этом $t=T$ А чтобы этот метрический тензор был решением уравнений Эйнштейна, его компоненты в этой новой СК должны быть такими же функциями координат, как в метрике Шварцшильда. (Собственно говоря, уравнениям Эйнштейна глубоко наплевать на физический смысл координат, т.е. на процедуру оцифровки ПВ.)
Ну вот. Теперь у нас есть метрика во вспомогательной СК. И мы можем закончить строительство СК.
Сравнивая темп хода стандартных часов с координатными мы можем определить поверхности на которых $g_t_t$ постоянно и присвоить этим поверхностям значение координаты $R$.
Расчерчиваем эти поверхности меридианами и параллелями. (Параллели лежат в плоскостях перпендикулярных центральной оси.) Измеряя расстояние от центральной оси до параллели и зная $R$ присваиваем каждой параллели $\theta$. Подобным образом нумеруем и меридианы.
Мы построили эту самую вспомогательную СК, в которой метрика имеет вид такой же, как у метрики Шварцшильда.
А теперь преобразовываем её в искомую цилиндрическую.
$T=t$, $R=\frac {2R_1R_2}{R_1+R_2}$, $\theta = \arcsin(\frac {\rho}{R})$, $\varphi =\varphi$
Ну да, несколько нетрадиционный подход. Обычно сначала строят СК, а потом решают уравнения. А я подогнал СК под решение.

Ну и ни одно замечание, высказанное выше не отменяет то, что заявленная метрика выдерживает проверку прямой подстановкой. А значит можно организовать оцифровку ПВ на её основе и не привлекая вспомогательную СК. И не отменяет то, что преобразования координат, обратные приведенным выше приводят заявленную метрику к такому же виду, как метрика Шварцшильда.
Вобщем, существует решение уравнений ОТО, в котором два тела не притягиваются друг к другу. В принципе можно получить решение и для стационарной системы из более чем двух тел. И похоже Эйнштейн зря добавлял космологическую постоянную. Особых проблем со стационарной Вселенной похоже и так нет...

[Geen]

monky99 в сообщении #1383126 писал(а):

А теперь преобразовываем её в искомую цилиндрическую.
$T=t$, $R=\frac {2R_1R_2}{R_1+R_2}$, $\theta = \arcsin(\frac {\rho}{R})$, $\varphi =\varphi$

Кстати, это "плохие" преобразования....

-- 20.03.2019, 15:36 --

monky99 в сообщении #1383126 писал(а):

Ну вот. Теперь у нас есть метрика во вспомогательной СК. И мы можем закончить строительство СК.

Ну, тогда ещё надо показать, что эта метрика имеет хоть какое-то отношение к исходным телам, а не к сингулярности в начале координат.

-- 20.03.2019, 15:49 --

monky99 в сообщении #1383126 писал(а):

Сравнивая темп хода стандартных часов с координатными мы можем определить поверхности на которых $g_t_t$ постоянно и присвоить этим поверхностям значение координаты $R$.

Можем ли?

-- 20.03.2019, 15:53 --

monky99 в сообщении #1383126 писал(а):

Параллели лежат в плоскостях перпендикулярных центральной оси.

В каком смысле плоскости, и в каком смысле перпендикулярны?

monky99 в сообщении #1383126 писал(а):

Измеряя расстояние от центральной оси до параллели и зная $R$ присваиваем каждой параллели $\theta$.

А как мы расстояние измеряем?

[monky99]

Geen в сообщении #1383130 писал(а):

Можем ли?

А почему не можем? Если у нас в каждой точке пространства понатыкано часов (сильно утрированный взгляд на СК), а $g_t_t$ показывает во сколько раз стандартные часы идут медленнее координатных, то мы можем из всего множества стандартных часов отобрать те, которые отстают от координатных одинаковым образом. Эти отобранные часы как раз и образуют поверхность с одинаковым $g_t_t$ (у нас же в каждой точке пространства пара часов, одни стандартные, другие координатные )

Geen в сообщении #1383130 писал(а):

А как мы расстояние измеряем?

Стандартной рулеткой стандартным образом. Прикладываем её к линии на поверхности и смотрим какое число в нужной точке.

Geen в сообщении #1383130 писал(а):

В каком смысле плоскости, и в каком смысле перпендикулярны?

Для улучшения наглядности изложения я употребил неточное выражение. Это да. Но неужели Вы в самом деле не поняли, что я имел в виду?
А если выразиться точнее, то параллелью будет множество точек на поверхности с постоянным $g_t_t$, расстояние от которых до точки пересечения этой поверхности с центральной осью, измеренное вдоль кратчайшей линии, лежащей на этой поверхности, стандартной линейкой одинаково. Так лучше?

Geen в сообщении #1383130 писал(а):

Ну, тогда ещё надо показать, что эта метрика имеет хоть какое-то отношение к исходным телам, а не к сингулярности в начале координат.

Это Вы о чём?

Geen в сообщении #1383130 писал(а):

Кстати, это "плохие" преобразования....

В каком смысле "плохие"?

[Geen]

monky99 в сообщении #1383138 писал(а):

А почему не можем?

Например, получится неодносвязная и/или некомпактная "поверхность".

monky99 в сообщении #1383138 писал(а):

Стандартной рулеткой стандартным образом.

Не умею, особенно при наличии чёрных дыр, горизонтов и тому подобного.

monky99 в сообщении #1383138 писал(а):

Но неужели Вы в самом деле не поняли, что я имел в виду?

Мне кажется, Вы недооцениваете сложность задачи... Опять же, получил как-то, например, 10 зацепленных "кривых"...

monky99 в сообщении #1383138 писал(а):

Это Вы о чём?

Всё о том же - метрика Шварцшильда описывает сферически-симметричное ПВ. Сферическая симметрия является прямым следствием метрики.
Отсюда вывод - из Ваших построений следует, что единственно возможным статическим осесимметричным решением является обычная сферически-симметричная чёрная дыра (одна).

monky99 в сообщении #1383138 писал(а):

В каком смысле "плохие"?

"Преобразования" должны быть взаимнооднозначными функциями и иметь ненулевой детерминант.

[monky99]

Geen в сообщении #1383146 писал(а):

Например, получится неодносвязная и/или некомпактная "поверхность".

При уменьшении $R$ меньше некоторого значения эти поверхности действительно будут неодносвязными. Ну и что?

Geen в сообщении #1383146 писал(а):

Не умею, особенно при наличии чёрных дыр, горизонтов и тому подобного.

Я нигде не говорил, что тела, о которых идёт речь в условиях задачи, это чёрные дыры. Пусть это будут однозначно тела с радиусом большим шварцшильдовского для этой массы. Так что нет ни чёрных дыр, ни горизонтов, ни тому подобного.

Geen в сообщении #1383146 писал(а):

Всё о том же - метрика Шварцшильда описывает сферически-симметричное ПВ. Сферическая симметрия является прямым следствием метрики.

Почему Вы так решили?

[manul91]

monky99 в сообщении #1383126 писал(а):

Ни вид метрики, ни векторы Киллинга, полученные исходя из неё ничего не говорят о том, каким образом произведена оцифровка ПВ. Так что на вопрос Вы не ответили. (Я так думаю.)

Пространство-время имеющее "цилиндрическую" ассиметрию (по двум независимым пространственным направлениям) - никакими преобразованиями координат нельзя описать метрикой, у которой коеффициенты g зависят только из одной пространственной координаты.

Просто потому, что такая метрика (у которой коеффициенты g зависят только из одной пространственной координаты - типа Шварцшильда) - ассиметрична только по одному пространственному направлению (если зафиксировать эту единственную координату - например R у Шварцшильда .- получаем однородное 2+1 подпространство, в котором коеффициенты константы и метрика постоянна в любом событии вне зависимости от места или времени).

Такое очевидно не возможно для случае двух тел - который очевидно имеет "цилиндрической" ассиметрии.

Поэтому "получать цилиндрическую метрику двух тел, через преобразованием координат из Шварцшильда" - вообще бред - это объективно разные пространтсва-времена (многообразия), а не просто разные сетки координат над одном и том же многообразии.
Точно также, будет бредом пытаться получать метрику Шварцильда (для одного тела) каким-либо преобразованием координат изходя из метрики плоского пространства-времени (при отсутствии каких-либо тел).

Пространство-время с "цилиндрической" ассиметрией - в лучшем случае можно привести к метрике, в которой коеффициенты метрики являются функциями как минимум из двух пространственных координат - "продольную" и "радиальную" (даже если допустить что метрика статична, и они не зависят от времени. Таких "цилиндрических независящих от времени" метрик можно сконструировать сколь угодно наобум, чисто формально - но они не будут являться решением уравнений ОТО).

В этом смысле, ваша метрика из начальном сообщении "выглядит нормально" (если без ограничения общности выбрать $z_1=z_2$ а значит $R_1=R_2=R$ - то коеффициенты на первый взгляд зависят от двух координат $z,\rho$ и двух констант $m,R$ - что согласуется с "цилиндричной" ассиметрией, допущения статичности и двух констант, возникающих по смысле задачи).
Однако такая метрика не будет решением уравнений ОТО для двух тел (кроме если там у вас все сократится и выйдет плоское решение, или разновидность Шварцшильда - что не проверял - но тогда это отнюдь не решение задачи двух тел)

monky99 в сообщении #1383126 писал(а):

И стоит ли углубляться в дебри, если можно обойтись без этого?

Это не дебри, это вообще очевидно.

monky99 в сообщении #1383138 писал(а):

В каком смысле "плохие"?

Вы писали:

monky99 в сообщении #1383126 писал(а):

А теперь преобразовываем её в искомую цилиндрическую.
$T=t$, $R=\frac {2R_1R_2}{R_1+R_2}$, $\theta = \arcsin(\frac {\rho}{R})$, $\varphi =\varphi$

Это никакие не преобразования координат.
Метрика должна иметь четыре координаты, а в этом "преобразовании" из Шварцшильда они у вас пять ($t, R_1, R_2, \rho, \varphi$)

[monky99]

Geen в сообщении #1383146 писал(а):

Всё о том же - метрика Шварцшильда описывает сферически-симметричное ПВ. Сферическая симметрия является прямым следствием метрики.
Отсюда вывод - из Ваших построений следует, что единственно возможным статическим осесимметричным решением является обычная сферически-симметричная чёрная дыра (одна).

Это интересный вопрос.
Думаю, Ваша эрудиция существенно превышает мою в данном вопросе. Может знаете. Сколько точных решений известно на сегодняшний день для невращающихся не сферически симметричных тел? Например, типа гантели.
Давайте возьмем эту самую гантель (два шара, соединенных стержнем) и порассуждаем. Для такого случая можно построить СК в которой метрика не будет зависеть от времени. Вы с этим согласны?
Поскольку метрический тензор это симметричная матрица, то существует преобразование координат, которое приводит её к диагональному виду. Вы с этим согласны?
Ответьте, пожалуйста, на эти вопросы, а потом продолжим рассуждать дальше.

[manul91]

monky99 в сообщении #1383181 писал(а):

Давайте возьмем эту самую гантель (два шара, соединенных стержнем) и порассуждаем. Для такого случая можно построить СК в которой метрика не будет зависеть от времени. Вы с этим согласны?

Хотя вопросы не ко мне:
- да, поскольку гантель "стабильна" то для гантели (по меньшей мере инерционной невращающейся) очевидно что должна быть метрика не зависящая от времени, которая являлась бы решением ОТО
- однако гантель - это вовсе то что "два шара без стержня" - наличие стержня (и его натяжение противодействующее притягивания шаров - а значит влияние на тензора материи и соответно метрического) - существенно для независимости решения от времени. Решение ОТО для двух "отдельных тел", "везде между тел" (на плоскости $z=0$) должно быть вакуумным - а "гантельное решение" (и другие подобные где тела связаны каким-нибудь образом для "стабилизации") - такими не являются

monky99 в сообщении #1383181 писал(а):

Поскольку метрический тензор это симметричная матрица, то существует преобразование координат, которое приводит её к диагональному виду. Вы с этим согласны?

Это вообще неверно.
У вращающегося сферически-симметричного тела (решениe Керра) метрика тоже симметричная матрица - но привести ее к диагональному виду не получится.

Возможность диагонализации следует из предположения статичности (точнее из того что при замене t на -t метрика должна оставаться той же самой) - тогда коеффициенты с $t$, а именно $g_{0i} (i \neq 0)$ при такой трансформации меняют знак - а значит должны быть нулевыми (поскольку при обращения знака должны оставаться одними и теми же).

[monky99]

manul91 в сообщении #1383180 писал(а):

Вы писали:

monky99 в сообщении #1383126 писал(а):

А теперь преобразовываем её в искомую цилиндрическую.
$T=t$, $R=\frac {2R_1R_2}{R_1+R_2}$, $\theta = \arcsin(\frac {\rho}{R})$, $\varphi =\varphi$

Это никакие не преобразования координат.
Метрика должна иметь четыре координаты, а в этом "преобразовании" из Шварцшильда они у вас пять ($t, R_1, R_2, \rho, \varphi$)

Сударь, а Вы стартовое сообщение читали? На вот это место внимание обратили?
"где
$M=2m$
$R_1=\sqrt {(z-z_1)^2+\rho ^2}$
$R_2=\sqrt {(z-z_2)^2+\rho ^2}$"

manul91 в сообщении #1383180 писал(а):

В этом смысле, ваша метрика из начальном сообщении "выглядит нормально" (если без ограничения общности выбрать $z_1=z_2$ а значит $R_1=R_2=R$ - то коеффициенты на первый взгляд зависят от двух координат $z,\rho$ и двух констант $m,R$ - что согласуется с "цилиндричной" ассиметрией, допущения статичности и двух констант, возникающих по смысле задачи).
Однако такая метрика не будет решением уравнений ОТО (кроме если там у вас все сократится и выйдет плоское решение, или разновидность Шварцшильда - что не проверял - но тогда это отнюдь не решение задачи двух тел)

Если $z_1=z_2$ то заявленная метрика просто является метрикой Шварцшильда в цилиндрических координатах.
А как быть с тем, что прямая подстановка говорит, что заявленная метрика является решением уравнений ОТО?

manul91 в сообщении #1383180 писал(а):

Просто потому, что такая метрика (у которой коеффициенты g зависят только из одной пространственной координаты - типа Шварцшильда) - ассиметрична только по одному пространственному направлению (если зафиксировать эту единственную координату - например R у Шварцшильда .- получаем однородное 2+1 подпространство, в котором коеффициенты константы и метрика постоянна в любом событии вне зависимости от места или времени).

Что касается геометрии Шварцшильда, то в сферических координатах в функциях которыми выражаются компоненты метрического тензора фигурируют две координаты $R$ и $\theta$. В изотропных координатах в этих функциях фигурируют 3 координаты.

[manul91]

Кстати, для двух тел одинаковой массы - по Ньютону - существует ситуация и СО в которой все будет статично (а именно вращающаяся вместе с тел СО - если они симметричным образом вращаются по окружности вокруг общего барицентра)
Однако по ОТО такого не получится, потому что система излучает и соответно нестабильна

-- 20.03.2019, 22:24 --

monky99 в сообщении #1383197 писал(а):

На вот это место внимание обратили?

Про это я сказал отдельно

monky99 в сообщении #1383197 писал(а):

Если $z_1=z_2$ то заявленная метрика просто является метрикой Шварцшильда в цилиндрических координатах.

Тоесть, при $z_1=z_2$ все сокращается - и зависимости от координатой $z$ исчезает; остается одна зависимость от $\rho$?
Тогда, очевидный вздор

monky99 в сообщении #1383197 писал(а):

А как быть с тем, что прямая подстановка говорит, что заявленная метрика является решением уравнений ОТО?

Если при $z_1=z_2$ у вас все сокращается и получается Шварцшильд - то что метрика является решением ОТО неудивительно.
Однако тогда это не метрика описывающая цилиндрически-ассиметричное пространство-время двух тел - а описывающая сферически-симметричное пространство-время одного тела - просто записанная неким заковыристым способом.

Видите ли, решение Шварцшильда можно всегда записать через новых координат, у которых коеффициенты метрики будут зависеть например от двух координат, и включить какую-нить константу R из потолка (например при переходе к новой координатой $q$, $q=r(1+\cos(\varphi)/R)$ - вправа сидят координаты шварцшильда и произвольная координата R).

Это не значит что новая метрика теперь описывает цилиндрически-ассиметрическое многообразие.
Она опять описывает то же самое сферически-симметричное многообразие что и оригинальная Шварцшильда, просто в экзотических координат ; ))
Заменой координат, физическая ситуация (и само многообразие, и его симметрии) не меняется

Тех метрик, которые описывают разные многообразия - преобразованиями координат привести друг к другу нельзя

Простейшая аналогия - пусть дано двухмерное многообразие - метрическое риманово пространство - плоскость с одним "вздутием" (кривизна везде нулевая кроме в области вздутия где отрицательна а потом положительна). Дано еще одно многообразие - опять плоскость, но с двумя вздутиями.
Вы можете брать для первой плоскости сколь угодно разных метрик и преобразовать их друг в друга через преобразованиями координат... Но преобразованиями координат из этих метрик нельзя получить ни одну метрику отвечающую второй плоскости

[monky99]

manul91 в сообщении #1383183 писал(а):

Хотя вопросы не ко мне:
- да, поскольку гантель "стабильна" то для гантели (по меньшей мере инерционной невращающейся) очевидно что должна быть метрика не зависящая от времени, которая являлась бы решением ОТО
- однако гантель - это вовсе то что "два шара без стержня"

Разумеется решения для этих двух случаем будут отличаться. Существенно то, что метрика не зависит от времени.

manul91 в сообщении #1383183 писал(а):

Это вообще неверно.
У вращающегося сферически-симметричного тела (решениe Керра) метрика тоже симметричная матрица - но привести ее к диагональному виду не получится.

Возможность диагонализации следует из предположения статичности (точнее из того что при замене t на -t метрика должна оставаться той же самой) - тогда коеффициенты с $t$, а именно $g_{0i} (i \neq 0)$ при такой трансформации меняют знак - а значит должны быть нулевыми (поскольку при обращения знака должны оставаться одними и теми же).

Ну, математики говорят, что: Всякая симметричная матрица может быть приведена к диагональному виду, т.е. в некотором базисе соответствующий оператор представляется диагональной матрицей.