Точное вакуумное решение уравнений ОТО для двух тел

[manul91]

monky99 в сообщении #1383206 писал(а):

Ну, математики говорят, что: Всякая симметричная матрица может быть приведена к диагональному виду, т.е. в некотором базисе соответствующий оператор представляется диагональной матрицей.

Это другое - это про матриц из констант.

А метрический тензор это матрица из функций над всех точек многообразия (на всякой 4-точки пространства-времени - "своя" разная матрица из констант для этой точки)

То о чем вы говорите - В ОТО это отвечает тому, что в любом "событии" (где $g_{ik}$ обращаются в соответных этому событию констант), метрический тензор можно диагонализовать в той же 4-точке - т.е. можно перейти к локально-сопутствующей ИСО (типа принцип Эйнштейна про лифта)

-- 20.03.2019, 22:51 --

monky99 в сообщении #1383206 писал(а):

Разумеется решения для этих двух случаем будут отличаться. Существенно то, что метрика не зависит от времени.

Не зависит от времени - но при наличии стержня (и соответно его натяжений противостоящих притягивания шаров, отчего метрика между них не может везде быть вакуумной).
А при его отсутствия - должна зависеть

[Geen]

monky99 в сообщении #1383181 писал(а):

Думаю, Ваша эрудиция существенно превышает мою в данном вопросе.

Ну что Вы! я вообще малоначитан и плохообразован.

monky99 в сообщении #1383181 писал(а):

Может знаете. Сколько точных решений известно на сегодняшний день для невращающихся не сферически симметричных тел?

Не знаю ни одного.

monky99 в сообщении #1383181 писал(а):

Поскольку метрический тензор это симметричная матрица, то существует преобразование координат, которое приводит её к диагональному виду. Вы с этим согласны?

В одной точке? - да.

[monky99]

Geen в сообщении #1383228 писал(а):

В одной точке? - да.

Но поскольку специальных требований к этой точке нет, то раз это можно сделать в одной точке, значит это можно сделать в любой точке.
В одной точке метрический тензор представляет собой набор чисел. Матрица преобразования, которая приводит метрический тензор к диагональному виду тоже набор чисел.
В другой точке это будут уже другие наборы. Т.е. если брать всё ПВ то и метрический тензор и матрица преобразования будут представлять собой наборы функций от координат. А если метрический тензор можно привести к диагональному виду в любой точке, то значит существует такой набор функций от координат, который приведёт к диагональному виду метрический тензор во всём ПВ.
Вы с этим согласны?

[Geen]

monky99 в сообщении #1383237 писал(а):

значит существует такой набор функций от координат, который приведёт к диагональному виду метрический тензор во всём ПВ.

Нет.

Geen в сообщении #1383146 писал(а):

"Преобразования" должны быть взаимнооднозначными функциями и иметь ненулевой детерминант.

Вы, кстати, проигнорировали этот пункт в прошлый раз...

[monky99]

Geen в сообщении #1383239 писал(а):

Вы, кстати, проигнорировали этот пункт...

Хочу уточнить, Вы считаете, что такого набора функций от координат не существует, или что он существует, но он не обязательно удовлетворяет требованиям к "хорошим" преобразованиям координат?

[Munin]

monky99 в сообщении #1383126 писал(а):

Можете. Ну и что из того? Ни вид метрики, ни векторы Киллинга, полученные исходя из неё ничего не говорят о том, каким образом произведена оцифровка ПВ.

Это вы ошибаетесь. Мы моментально обнаруживаем, что вы решили задачу не двух тел, а одного тела. Можем с некоторой точностью и обратные преобразования найти.

[Geen]

monky99 в сообщении #1383240 писал(а):

не обязательно удовлетворяет требованиям к "хорошим" преобразованиям координат?

Нет "хороших" преобразований или "плохих" - есть две карты со всеми соответствующими требованиями.

[monky99]

Munin в сообщении #1383242 писал(а):

Это вы ошибаетесь. Мы моментально обнаруживаем, что вы решили задачу не двух тел, а одного тела. Можем с некоторой точностью и обратные преобразования найти.

Может быть и ошибаюсь. Хотя пока я этого не вижу...
Кстати, может Вы знаете. Сколько точных решений известно на сегодняшний день для невращающихся не сферически симметричных тел?

-- 20.03.2019, 23:18 --

Geen в сообщении #1383246 писал(а):

Нет "хороших" преобразований или "плохих" - есть две карты со всеми соответствующими требованиями.

Так существует или не существует набор функций, который преобразовывает метрический тензор к диагональному виду во всём ПВ?

[Munin]

Надо полистать Living Reviews on Relativity.

-- 21.03.2019 00:29:20 --

monky99 в сообщении #1383247 писал(а):

Так существует или не существует набор функций, который преобразовывает метрический тензор к диагональному виду во всём ПВ?

Так это от метрики зависит. Решение Гёделя какое-нибудь.

[Guvertod]

monky99 в сообщении #1383247 писал(а):

Так существует или не существует набор функций, который преобразовывает метрический тензор к диагональному виду во всём ПВ?

Матрицу частных производных вы подберете. А нужно еще явно выписать функции новых координат, чего может не выйти из-за отсутствия решений у этих ДУ.

[monky99]

Munin в сообщении #1383251 писал(а):

Так это от метрики зависит. Решение Гёделя какое-нибудь.

Всякая симметричная матрица $A$ может быть приведена к диагональному виду, т.е. существует такая матрица $Y$, что $Y^TAY=\operatorname{diag}(\lambda_1… \lambda_n)$
А метрический тензор это всегда симметричная матрица. А раз он набор функций от координат, то существует такой набор функций, который соответвует вышеприведенному условию. Разве не так? И разве само существование этого набора зависит от вида метрики?

[Munin]

monky99 в сообщении #1383258 писал(а):

Всякая симметричная матрица $A$ может быть приведена к диагональному виду

Угу. В одной точке. Вы реально не понимаете проблемы?

Давайте так. Всякая симметрическая матрица может быть приведена не только к диагональному виду, но и к единичному. Следует ли отсюда, что любую метрику можно заединичить во всём пространстве, то есть любая метрика преобразованием координат приводится к плоскому пространству (в т. ч. без гравитационного поля)?

[manul91]

monky99 в сообщении #1383237 писал(а):

Но поскольку специальных требований к этой точке нет, то раз это можно сделать в одной точке, значит это можно сделать в любой точке.
В одной точке метрический тензор представляет собой набор чисел. Матрица преобразования, которая приводит метрический тензор к диагональному виду тоже набор чисел.
В другой точке это будут уже другие наборы. Т.е. если брать всё ПВ то и метрический тензор и матрица преобразования будут представлять собой наборы функций от координат.

Нет.

Преобразования координат - это всего четыре функции от координат (потому что координаты четыре).

А независимые внедиагональные компоненты произвольного четырехмерного метрического тензора общего вида - это шесть функций (12 делено на 2 из-за симметрии: если координаты обозначены буквами $t,x,y,z$ то это шесть разных функций из них: $g_{tx}(t,x,y,z), g_{ty}(t,x,y,z), g_{tz}(t,x,y,z), g_{xy}(t,x,y,z), g_{xz}(t,x,y,z), g_{yz}(t,x,y,z)$).

А подобрав только четыре преобразования координат - в общем случае нельзя тождественно одновременно обратить в нулю шести произвольных, наперед заданных функций от координат.

Для конкретной точке, где $t,x,y,z$ имеют конкретные значения и соответно $g_{tx}(t,x,y,z), g_{ty}(t,x,y,z), g_{tz}(t,x,y,z), g_{xy}(t,x,y,z), g_{xz}(t,x,y,z), g_{yz}(t,x,y,z)$ обращаются в константами - можно.
А во всем пространстве времени - нельзя (в общем случае; можно только в каких-то частных случаев специальных пространств-времен).

Вот если это было двухмерное пространство-время 1+1 $x,t$ (где у нас можно подбирать две функции преобразования координат - чтобы обратить тождественно в нуль единственной внедиагональной функции координат $g_{xt}(x,t)$) - то можно было бы.
А в четырехмерном - нельзя.

-- 21.03.2019, 07:12 --

Кстати.
Равенство нулю внедиагональной компоненты метрического тензора $g_{pq}(p,q,\nu,\zeta,....)$ в конкретной точке, имеет наглядный геометрический смысл - это означает, что линии двух координат $p$ и $q$ в данной точке взаимноортогональны.

Тоесть "обратить в нуль все внедиагональные компоненты $g_{ik}$ в конкретной точке" эквивалентно тому чтобы выбрать координат так, что все координатные линии были взаимноортогональными в этой точке (что очевидно всегда можно сделать для конкретной точке, и даже многими способами).

А "обратить в нуль все внедиагональные компоненты $g_{ik}$ тождественно, то есть везде" эквивалентно тому, чтобы выбрать координатную сетку так что все координатные линии были взаимноортогональными во всех точек многообразия (что не всегда можно сделать для многообразий размерности четыре и выше - с повышения размерности независимые внедиагональные функции метрического тензора растут быстрее, чем доступные преобразования координат).

[Munin]

manul91
Спасибо! А то я думал, только рассуждениями о разрешимости ДУ можно. Не догадался компоненты посчитать.

[monky99]

Munin в сообщении #1383078 писал(а):

Потому что глядя на вид метрики Шварцшильда, мы можем обнаружить более мощную симметрию. Собственно, найти векторы Киллинга.

Ладненько. Что такое вектор Киллинга.
Если компоненты метрики в некоторой СК не зависят от одной из координат, то любую кривую можно сместить путём координатного сдвига в направлении изменения только этой координаты и при этом её длина не изменится.
Вектор описывающий бесконечно малые "трансляции", сохраняющие длину, называется вектором Киллинга.
Итак, чтобы найти векторы Киллинга, достаточно, чтобы компоненты метрики не зависели хотя бы от одной координаты.
Метрика Шварцшильда в сферических координатах не зависит от двух координат.
Метрика для системы с осевой симметрией в циллиндрических координатах так же не зависит от двух координат.
И чем же эта более мощная симметрия отличается в двух этих случаях?
Самая мощная симметрия по идее должна быть для бесконечного стержня в циллиндрических координатах. Там метрика не зависит от трёх координат.