2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 11  След.
 
 Точное вакуумное решение уравнений ОТО для двух тел
Сообщение19.03.2019, 22:16 


09/01/18
91
В пустом пространстве находятся два одинаковых сферически симметричных тела каждое массой $m$, неподвижных друг относительно друга. Пространственные координаты центров этих тел в СК $(t, \rho, \varphi, z)$ (цилиндрическая система координат, ось $z$ проходит через центры тел) следующие $(0, 0, z_1)$ и $(0, 0, z_2)$.
Ненулевые компоненты метрического тензора в этой СК следующие:

$g_t_t=-\frac{R_1 R_2}{M (R_1 + R_2) + R_1 R_2}$

$g_z_z=\frac{4 (4 R_1^3 R_2^3 + M (R_1 + R_2)^3 \rho ^2) (R_2^3 (z - z_1) + R_1^3 (z - z_2))^2 (M (R_1 + R_2) + R_1 R_2)}{(2 R_1 R_2 + (R_1 + R_2) \rho ) (2 R_1 R_2 - (R_1 + R_2) \rho ) (R_1 + R_2)^4 R_1^4 R_2^4}$

$g_\rho _\rho = [4 ((M (R_1 + R_2) + R_1 R_2) (R_1 + R_2)^2 R_1^4 R_2^4 + (R_1^2 - R_1 R_2 + R_2^2)^2 M (R_1 + R_2)^3 \rho ^4 - 2 (M (R_1 + R_2)^3 - (R_1^2 - 4 R_1 R_2 + R_2^2) R_1 R_2) (R_1^2 - R_1 R_2 + R_2^2) R_1^2 R_2^2 \rho ^2) (M (R_1 + R_2) + R_1 R_2)]/[(2 R_1 R_2 + (R_1 + R_2) \rho ) (2 R_1 R_2 - (R_1 + R_2) \rho ) (R_1 + R_2)^2 R_1^4 R_2^4]
$


$g_\varphi _\varphi \frac{(M (R_1 + R_2) + R_1 R_2)^2 \rho ^2}{R_1^2 R_2^2}$

$g_z_\rho =g_\rho _z=  -[4 (M (R_1 + R_2)^3 R_1^2 R_2^2 - 3 (R_1 - R_2)^2 R_1^3 R_2^3 - (R_1^2 - R_1 R_2 + R_2^2) M (R_1 + R_2)^3 \rho ^2) (R_2^3 (z - z_1) + R_1^3 (z - z_2)) (M (R_1 + R_2) + R_1 R_2) \rho ]/[(2 R_1 R_2 + (R_1 + R_2) \rho ) (2 R_1 R_2 - (R_1 + R_2) \rho ) (R_1 + R_2)^3 R_1^4 R_2^4]$

где
$M=2m$
$R_1=\sqrt {(z-z_1)^2+\rho ^2}$
$R_2=\sqrt {(z-z_2)^2+\rho ^2}$

Вобщем, так вот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точное вакуумное решение уравнений ОТО для двух тел
Сообщение19.03.2019, 22:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
А почему здесь, а не в Annals of Mathematics? Или на худой конец, в arXiv.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точное вакуумное решение уравнений ОТО для двух тел
Сообщение19.03.2019, 22:30 


09/01/18
91
Munin в сообщении #1382990 писал(а):
А почему здесь, а не в Annals of Mathematics? Или на худой конец, в arXiv.

Думаете стоит туда отправить?
Ну решил для начала послушать, что народ по этому поводу скажет... А дальше видно будет...

 Профиль  
                  
 
 Re: Точное вакуумное решение уравнений ОТО для двух тел
Сообщение19.03.2019, 23:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
3143
Это статичная метрика??

 Профиль  
                  
 
 Re: Точное вакуумное решение уравнений ОТО для двух тел
Сообщение19.03.2019, 23:30 


09/01/18
91
Geen в сообщении #1383003 писал(а):
Это статичная метрика??

Ни один из компонентов метрического тензора от времени не зависит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точное вакуумное решение уравнений ОТО для двух тел
Сообщение19.03.2019, 23:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
3143
И как такое возможно?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Точное вакуумное решение уравнений ОТО для двух тел
Сообщение19.03.2019, 23:55 


09/01/18
91
Geen в сообщении #1383007 писал(а):
И как такое возможно?...

Если тела неподвижны друг относительно друга, т.е. измерение расстояния между ними постоянно дают один и тот же результат, то вполне можно построить такую систему координат, в которой эти два тела будут покоиться и в которой метрика будет независима от времени. Разве не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Точное вакуумное решение уравнений ОТО для двух тел
Сообщение20.03.2019, 00:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
3143
Построить можно, но ведь ещё нужно чтобы она вакуумная была...

 Профиль  
                  
 
 Re: Точное вакуумное решение уравнений ОТО для двух тел
Сообщение20.03.2019, 00:23 


09/01/18
91
Geen в сообщении #1383016 писал(а):
Построить можно, но ведь ещё нужно чтобы она вакуумная была...

Ничего не понял. Не могли бы Вы расшифровать свою мысль?

 Профиль  
                  
 
 Re: Точное вакуумное решение уравнений ОТО для двух тел
Сообщение20.03.2019, 00:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
3143
monky99 в сообщении #1383019 писал(а):
Geen в сообщении #1383016 писал(а):
Построить можно, но ведь ещё нужно чтобы она вакуумная была...

Ничего не понял. Не могли бы Вы расшифровать свою мысль?

Вы уверены, что тензор Риччи равен нулю для этой метрики?

 Профиль  
                  
 
 Re: Точное вакуумное решение уравнений ОТО для двух тел
Сообщение20.03.2019, 00:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Мысль простая: может ли Луна висеть над Землёй неподвижно? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Точное вакуумное решение уравнений ОТО для двух тел
Сообщение20.03.2019, 01:05 


09/01/18
91
Geen в сообщении #1383020 писал(а):
Вы уверены, что тензор Риччи равен нулю для этой метрики?

Это можно проверить прямой подстановкой. Я это проделал.
Каким образом я получил эту метрику. Я рассуждал следующим образом. Если тела неподвижны друг относительно друга, то можно построить СК в которой метрика будет независима от времени. Метрический тензор представляет собой симметричную матрицу. Такую матрицу можно привести к диагональному виду. Т.е. существует преобразование координат которое приводит метрический тензор к диагональному виду. Метрика при этом останется независима от времени.
Следующая метрика
$ds^2=-\frac {1}{1+2M/R}dT^2+(1+2M/R)dR^2+(R+2M)^2d \theta ^2+(R+2M)^2 \sin^2( \theta )d \varphi ^2 $
является решением уравнений Эйнштейна.
Остаётся только выбрать подходящее преобразование координат, чтобы получить более понятную систему. Я выбрал следующие преобразования:
$T=t$, $R=\frac {2R_1R_2}{R_1+R_2}$, $\theta = \arcsin(\frac {\rho}{R})$, $\varphi =\varphi$
А поскольку метрика получена в результате преобразования координат, то она тоже является решением уравнений Эйнштейна. В той области пространства, где тензор энергии-импульса материи нулевой, разумеется.
Так что можно сказать, что уверен.

-- 20.03.2019, 00:13 --

Munin в сообщении #1383021 писал(а):
Мысль простая: может ли Луна висеть над Землёй неподвижно? :-)

Зависит от системы координат, в которой мы это рассматриваем. (Разумеется если пренебречь отличиями орбиты Луны от круговой и тем фактом, что Луна отдаляется от Земли.) :-)
Гораздо интереснее другой вопрос. А требует ли ОТО, чтобы Луна упала на Землю, если она не вращается вокруг Земли (в СК неподвижной относительно далёких звёзд).
Боюсь, что не требует...

 Профиль  
                  
 
 Re: Точное вакуумное решение уравнений ОТО для двух тел
Сообщение20.03.2019, 10:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
3143
monky99 в сообщении #1383029 писал(а):
А поскольку метрика получена в результате преобразования координат

Это мощный приём - в результате замены координат сферически-симметричное ПВ перестаёт быть сферически-симметричным...
monky99 в сообщении #1383029 писал(а):
А требует ли ОТО, чтобы Луна упала на Землю, если она не вращается вокруг Земли (в СК неподвижной относительно далёких звёзд).
Боюсь, что не требует...

Боюсь, что в данном случае "Луны" нет...

-- 20.03.2019, 10:53 --

monky99 в сообщении #1383029 писал(а):
Следующая метрика
$ds^2=-\frac {1}{1+2M/R}dT^2+(1+2M/R)dR^2+(R+2M)^2d \theta ^2+(R+2M)^2 \sin^2( \theta )d \varphi ^2 $
является решением уравнений Эйнштейна

Можно узнать откуда Вы взяли такое решение, и решением каких именно уравнений оно является?

 Профиль  
                  
 
 Re: Точное вакуумное решение уравнений ОТО для двух тел
Сообщение20.03.2019, 11:37 


09/01/18
91
Geen в сообщении #1383061 писал(а):
Можно узнать откуда Вы взяли такое решение, и решением каких именно уравнений оно является?

Метрика Шварцшильда:
$ds^2=-(1-2M/r)dT^2+\frac {1}{1-2M/r}dr^2+r^2d \theta ^2+r^2 \sin^2( \theta )d \varphi ^2 $
Преобразование координат $r=R+2M$ даёт указанную метрику. Надеюсь можно не писать уравнения решением которых является метрика Шварцшильда?
Geen в сообщении #1383061 писал(а):
Это мощный приём - в результате замены координат сферически-симметричное ПВ перестаёт быть сферически-симметричным...

В сферически-симметричном ПВ в сферической СК метрический тензор это диагонального вида матрица. Это да. Но почему Вы решили, что верно и обратное утверждение? Что диагонального вида метрический тензор определяет сферически-симметричное ПВ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Точное вакуумное решение уравнений ОТО для двух тел
Сообщение20.03.2019, 11:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
3143
monky99 в сообщении #1383063 писал(а):
Преобразование координат $r=R+2M$ даёт указанную метрику.

Да, спасибо, протупил я тут.

-- 20.03.2019, 11:52 --

monky99 в сообщении #1383063 писал(а):
Но почему Вы решили, что верно и обратное утверждение?

Я такого "не решал". Но сферическая симметричность это свойство ПВ и оно не может зависеть от выбора СК.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 165 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 11  След.

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group