Периодичность функции

[IvanPhys]

Имеем функцию $f(x)=\cos(x)\cos(3x)$
Я попытался доказать ее периодичность, то есть придал ей вид $\cos(x)\cos(3x)=(\cos(2x)+\cos(4x))/2$
Функция через период имеет вид $\cos(x+T)\cos(3x+T)=(\cos(2x)+\cos(4x+2T))/2$
Следовательно $\cos(2x)+\cos(4x)=\cos(2)+\cos(4x+2T)$, значит
$\cos(4x+2T)-\cos(4x)=0$, пусть $ x\geqslant0$,
Возьмем $x=0$ следовательно $\cos(2T)=1$
$2T=\pi k, k\in\mathbb{Z}$, следовательно $T=(\pi k)/2;k\in\mathbb{Z}$, но период на графике $T=\pi$.
Где ошибка? И что стоит изучить, чтобы такого не произошло.

[Pphantom]

IvanPhys в сообщении #1381714 писал(а):

Возьмем $x=0$ следовательно $\cos(2T)=1$
$2T=\pi k, k\in\mathbb{Z}$,

Ой ли? $\cos\pi = -1$.

[IvanPhys]

Pphantom в сообщении #1381721 писал(а):

IvanPhys в сообщении #1381714 писал(а):

Возьмем $x=0$ следовательно $\cos(2T)=1$
$2T=\pi k, k\in\mathbb{Z}$,

Ой ли? $\cos\pi = -1$.

Ну правильно вроде будет $2T=\pm\pi k$ ?
Спасибо, но все равно, к правильному ответу это не приводит

[mihaild]

IvanPhys в сообщении #1381723 писал(а):

Ну правильно вроде будет $\cos(2T)=\pm1$ ?

А это откуда? У вас было уравнение, которому должно удовлетворять $T$:

IvanPhys в сообщении #1381714 писал(а):

$\cos(2T)=1$

Решите его.

[IvanPhys]

mihaild в сообщении #1381724 писал(а):

IvanPhys в сообщении #1381723 писал(а):

Ну правильно вроде будет $\cos(2T)=\pm1$ ?

А это откуда? У вас было уравнение, которому должно удовлетворять $T$:

IvanPhys в сообщении #1381714 писал(а):

$\cos(2T)=1$

Решите его.

$\cos(2T)=1$
$2T=0+2\pi k$
$T=\pi k$
Верно?

[Pphantom]

IvanPhys в сообщении #1381726 писал(а):

$T=\pi k$
Верно?

Теперь да.

[IvanPhys]

Pphantom в сообщении #1381730 писал(а):

IvanPhys в сообщении #1381726 писал(а):

$T=\pi k$
Верно?

Теперь да.

Спасибо большое!

[Igrickiy(senior)]

IvanPhys в сообщении #1381714 писал(а):

Функция через период имеет вид $\cos(x+T)\cos(3x+T)=(\cos(2x)+\cos(4x+2T))/2$
Следовательно $\cos(2x)+\cos(4x)=\cos(2)+\cos(4x+2T)$,

Откуда появилось выражение
$\cos(3x+T)$ ?
И ещё.

IvanPhys в сообщении #1381714 писал(а):

Возьмем $x=0$ следовательно $\cos(2T)=1$

Тогда всё сказанное после этого относится не к любой точке исходной функции, а лишь к точке $x=0$.
(Хотя период верный.)

[Pphantom]

Igrickiy(senior) в сообщении #1381744 писал(а):

Откуда появилось выражение

Кстати да. До этого места я не добрался...

[Igrickiy(senior)]

Лучше сказать иначе.
Откуда появилось, ясно. Понимает ли ТС, что он должен был добавить в этом косинусе период не к $3x$, a к $x$?

[wrest]

[Igrickiy(senior)]

wrest
К результату претензий нет.
Претензии только к ошибкам вывода.
В качестве дополнения вопрос к ТС.
Тем же методом найти период $\cos({\pi}x)$.

[bot]

Igrickiy(senior) в сообщении #1381744 писал(а):

Хотя период верный

А где он верный? Я пока ничего не видел, кроме $T=\pi k$, оставим за скобками вопрос, как это получено. Ну, наименьший положительный из них - это $\pi$, а почему нет ещё меньше?

[Igrickiy(senior)]

bot
Оставляя за скобками вопрос получения, Вас лично ответ $T=k\pi$ устраивает?

[Walker_XXI]

IvanPhys в сообщении #1381714 писал(а):

Я попытался доказать ее периодичность, то есть придал ей вид $\cos(x)\cos(3x)=(\cos(2x)+\cos(4x))/2$
Функция через период имеет вид $\cos(x+T)\cos(3x+T)=(\cos(2x)+\cos(4x+2T))/2$
Следовательно $\cos(2x)+\cos(4x)=\cos(2)+\cos(4x+2T)$, значит

Может я туплю, но этих преобразований совершенно не понимаю!
Начнём с того, что должно быть $\cos(3(x+T))$ вместо $\cos(3x+T)$ (это уже отметили).
Далее, почему во второй строчке в правой части в первом слагаемом период вообще отсутствует, а во втором - с множителем 2 вместо 4?
Почему в третьей строчке под косинусом осталась только $2$? Куда $x$ пропал (про период уж и не спрашиваю)?

Странно, что при таком подходе кто-то ещё надеется получить верный ответ.