2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Периодичность функции
Сообщение13.03.2019, 23:54 
Имеем функцию $f(x)=\cos(x)\cos(3x)$
Я попытался доказать ее периодичность, то есть придал ей вид $\cos(x)\cos(3x)=(\cos(2x)+\cos(4x))/2$
Функция через период имеет вид $\cos(x+T)\cos(3x+T)=(\cos(2x)+\cos(4x+2T))/2$
Следовательно $\cos(2x)+\cos(4x)=\cos(2)+\cos(4x+2T)$, значит
$\cos(4x+2T)-\cos(4x)=0$, пусть $ x\geqslant0$,
Возьмем $x=0$ следовательно $\cos(2T)=1$
$2T=\pi k, k\in\mathbb{Z}$, следовательно $T=(\pi k)/2;k\in\mathbb{Z}$, но период на графике $T=\pi$.
Где ошибка? И что стоит изучить, чтобы такого не произошло.

 
 
 
 Re: Периодичность функции
Сообщение14.03.2019, 00:19 
IvanPhys в сообщении #1381714 писал(а):
Возьмем $x=0$ следовательно $\cos(2T)=1$
$2T=\pi k, k\in\mathbb{Z}$,
Ой ли? $\cos\pi = -1$.

 
 
 
 Re: Периодичность функции
Сообщение14.03.2019, 00:31 
Pphantom в сообщении #1381721 писал(а):
IvanPhys в сообщении #1381714 писал(а):
Возьмем $x=0$ следовательно $\cos(2T)=1$
$2T=\pi k, k\in\mathbb{Z}$,
Ой ли? $\cos\pi = -1$.


Ну правильно вроде будет $2T=\pm\pi k$ ?
Спасибо, но все равно, к правильному ответу это не приводит

 
 
 
 Re: Периодичность функции
Сообщение14.03.2019, 00:40 
Аватара пользователя
IvanPhys в сообщении #1381723 писал(а):
Ну правильно вроде будет $\cos(2T)=\pm1$ ?
А это откуда? У вас было уравнение, которому должно удовлетворять $T$:
IvanPhys в сообщении #1381714 писал(а):
$\cos(2T)=1$
Решите его.

 
 
 
 Re: Периодичность функции
Сообщение14.03.2019, 00:42 
mihaild в сообщении #1381724 писал(а):
IvanPhys в сообщении #1381723 писал(а):
Ну правильно вроде будет $\cos(2T)=\pm1$ ?
А это откуда? У вас было уравнение, которому должно удовлетворять $T$:
IvanPhys в сообщении #1381714 писал(а):
$\cos(2T)=1$
Решите его.


$\cos(2T)=1$
$2T=0+2\pi k$
$T=\pi k$
Верно?

 
 
 
 Re: Периодичность функции
Сообщение14.03.2019, 00:55 
IvanPhys в сообщении #1381726 писал(а):
$T=\pi k$
Верно?
Теперь да.

 
 
 
 Re: Периодичность функции
Сообщение14.03.2019, 01:01 
Pphantom в сообщении #1381730 писал(а):
IvanPhys в сообщении #1381726 писал(а):
$T=\pi k$
Верно?
Теперь да.

Спасибо большое! :D

 
 
 
 Re: Периодичность функции
Сообщение14.03.2019, 08:16 
Аватара пользователя
IvanPhys в сообщении #1381714 писал(а):
Функция через период имеет вид $\cos(x+T)\cos(3x+T)=(\cos(2x)+\cos(4x+2T))/2$
Следовательно $\cos(2x)+\cos(4x)=\cos(2)+\cos(4x+2T)$,

Откуда появилось выражение
$\cos(3x+T)$ ?
И ещё.
IvanPhys в сообщении #1381714 писал(а):
Возьмем $x=0$ следовательно $\cos(2T)=1$

Тогда всё сказанное после этого относится не к любой точке исходной функции, а лишь к точке $x=0$.
(Хотя период верный.)

 
 
 
 Re: Периодичность функции
Сообщение14.03.2019, 09:43 
Igrickiy(senior) в сообщении #1381744 писал(а):
Откуда появилось выражение
Кстати да. До этого места я не добрался...

 
 
 
 Re: Периодичность функции
Сообщение14.03.2019, 11:58 
Аватара пользователя
Лучше сказать иначе.
Откуда появилось, ясно. Понимает ли ТС, что он должен был добавить в этом косинусе период не к $3x$, a к $x$?

 
 
 
 Re: Периодичность функции
Сообщение14.03.2019, 12:21 
Изображение

 
 
 
 Re: Периодичность функции
Сообщение14.03.2019, 12:33 
Аватара пользователя
wrest
К результату претензий нет.
Претензии только к ошибкам вывода.
В качестве дополнения вопрос к ТС.
Тем же методом найти период $\cos({\pi}x)$.

 
 
 
 Re: Периодичность функции
Сообщение14.03.2019, 12:50 
Аватара пользователя
Igrickiy(senior) в сообщении #1381744 писал(а):
Хотя период верный

А где он верный? Я пока ничего не видел, кроме $T=\pi k$, оставим за скобками вопрос, как это получено. Ну, наименьший положительный из них - это $\pi$, а почему нет ещё меньше?

 
 
 
 Re: Периодичность функции
Сообщение14.03.2019, 13:02 
Аватара пользователя
bot
Оставляя за скобками вопрос получения, Вас лично ответ $T=k\pi$ устраивает?

 
 
 
 Re: Периодичность функции
Сообщение14.03.2019, 13:10 
IvanPhys в сообщении #1381714 писал(а):
Я попытался доказать ее периодичность, то есть придал ей вид $\cos(x)\cos(3x)=(\cos(2x)+\cos(4x))/2$
Функция через период имеет вид $\cos(x+T)\cos(3x+T)=(\cos(2x)+\cos(4x+2T))/2$
Следовательно $\cos(2x)+\cos(4x)=\cos(2)+\cos(4x+2T)$, значит

Может я туплю, но этих преобразований совершенно не понимаю!
Начнём с того, что должно быть $\cos(3(x+T))$ вместо $\cos(3x+T)$ (это уже отметили).
Далее, почему во второй строчке в правой части в первом слагаемом период вообще отсутствует, а во втором - с множителем 2 вместо 4?
Почему в третьей строчке под косинусом осталась только $2$? Куда $x$ пропал (про период уж и не спрашиваю)?

Странно, что при таком подходе кто-то ещё надеется получить верный ответ.

 
 
 [ Сообщений: 80 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group