Интересная задача

[VOROBEY]

Интересная задача была на всеросийской олимпиаде,сможите решить?

Найти все значения a, при которых множество решений неравенства x2-2ax-3a і 0 содержит отрезок [3;6].

[Руст]

А где неравенство? Выделяйте жирным только формулы пожалуйста.

[bot]

Предполагаю два варианта $x^2-2ax-3a>0$ и $x^2-2ax-3a<0$, точнее 4 - ещё аналогичные с нестрогими неравенствами.
Рассмотрю случай $f(x)=x^2-2ax-3a>0$.
Если это так, то совершенно ничего интересного - рядовая задача из вступительных экзаменов. Всё прозрачно и сводится к решению очень простых неравенств.

Во первых, достаточно отрицательности дискриминанта - это даёт

$a^2+3a<0$.

Если $a^2+3a=0$, то либо $f(x)=x^2$ либо $f(x)=(x+3)^2$. Первый случай нас устраивает, а второй - нет.
Попутал плюс с минусом, исправляю: устраивают оба случая.

В случае $a^2+3a>0$ необходимо и достаточно, чтобы $f(3)>0, \ f(6)>0 \ $ (так как $f(x)>0$ для любого $x\in [3;6]$) и абсцисса вершины параболы лежала вне интервала $(3;6)$, то есть либо $a\le 3$ либо $a\ge 6$.
Лобовое решение, связанное с вычислением корней (в случае их существования) тоже не должен быть сложным.
А что действительно это было на всероссийской? Что то не верится.

[venja]

bot писал(а):

$x^2-2ax-3a>0$

Допустим, такой вариант (другие варианты аналогично). Тогда может быть можно попроще?

Для $x\in [3,6]$ и любых $a$ исходное неравенство эквивалентно следующему:
$\frac{x^2}{2x+3} > a$

Вопрос тот же: при каких $a$ это неравенство выполняется для всех $x\in [3,6]$ .

Осталось решить стандартную задачку: найти минимальное значение $a_0$ стоящей в левой части неравенства непрерывной функции на отрезке $ [3,6]$и выписать ответ: $(-\infty,a_0)$ .
P.S. bot, усердно учу матчасть, чтобы ночью не опозориться

[нг]

VOROBEY
На форуме принято записывать формулы, используя нотацию ($\TeX$; введение, справка).

Например, Ваша формула $x^2-2 a x-3 a <> 0$ становится куда более читаемой.

[ewert]

или $x^2-2ax-3a<0$, или $x^2-2ax-3a>0$, или $x^2-2ax-3a\neq 0$. Уж извините.

[нг]

Бог с ним. Пусть уж сам знак выберет. Я могу ещё пару-тройку предложить.