Очередная шаурма с неопределенным интегралом

[Munin]

bot в сообщении #1375725 писал(а):

Вообще-то первообразная определяется для промежутка. Кому нужны не сшитые куски?

И P. S.

Конечно, не сшитые куски никому не нужны. Но это первая ласточка (может быть, даже нулевая) того явления в высших размерностях, когда нет несшитых кусков, а есть область с топологическими особенностями. Например, решая задачу

$$\operatorname{div}\vec{v}=0,\quad\operatorname{rot}\vec{v}=0,\qquad\vec{r}\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\},$$

мы имеем решение

$$\vec{v}=C\operatorname{grad}\varphi,\quad C\in\mathbb{R},$$

которое не только вполне "на одном куске", но и является довольно важным слагаемым для решения любых подобных задач на проколотой области. А если проколов несколько - то и слагаемых столько же.

[Free_Student]

bot в сообщении #1375725 писал(а):

Я бы сказал - для любого промежутка, не содержащего ноль.

Ну, я в исходном сообщении говорил о множестве E из определения, данного в первом томе (1973 г) Кудрявцевым - он в определении как раз и пишет о промежутке Е (отрезок, интервал или полуинтервал). Так что да, именно промежутка, не содержащего ноль.

[Sicker]

Munin в сообщении #1375772 писал(а):

Конечно, не сшитые куски никому не нужны. Но это первая ласточка (может быть, даже нулевая) того явления в высших размерностях, когда нет несшитых кусков, а есть область с топологическими особенностями. Например, решая задачу

$$\operatorname{div}\vec{v}=0,\quad\operatorname{rot}\vec{v}=0,\qquad\vec{r}\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\},$$

мы имеем решение

$$\vec{v}=C\operatorname{grad}\varphi,\quad C\in\mathbb{R},$$

которое не только вполне "на одном куске", но и является довольно важным слагаемым для решения любых подобных задач на проколотой области. А если проколов несколько - то и слагаемых столько же.

Дивергенция от градиента не равна нулю. Хотя вы наверное написали общий вид решения
Тогда может надо прибавлять константу? Ведь если я понял вашу идею, поле скоростей можно представить как градиент скалярной функции в области, не содержащей точку ноль. А если мы рассматриваем всю область, то нам надо ее разбить на связное множество, там ввести функцию градиента, и на границе сшить решения, просто прибавив константу. Верно?

[Munin]

Sicker в сообщении #1375844 писал(а):

Дивергенция от градиента не равна нулю.

$\varphi$ - угловая координата на плоскости, $\varphi=\arctg_2\dfrac{y}{x}.$ Думал, это очевидно.

Да, и разумеется, всё это с точностью до гармонического слагаемого, фиксируемого условиями на бесконечности. Приведено решение, для которого $v_n=0$ на любой окружности с центром в нуле. Всё остальное не связано именно с выколотой точкой.

[AlexeyM]

Хорошо, что увидел эту тему :) У Кудрявцева написано, что неопределённый интеграл - есть множество первообразных, т.е. $\int{f(x)}dx=\left\{F(x)+C\right\}$. Однако это определение приводит, в моём случае, к недопониманию. Например, $\int{x}dx=\left\{\frac{x^2}{2}+C_1\right\}$. Если равенство $\int\left(f_1(x)+f_2(x)\right)dx=\int{f_1(x)}dx+\int{f_2(x)}dx$ понимать как равенство между множествами, то с учётом $\int\left(x+x\right)dx=\int{x}dx+\int{x}dx$ и $\int{2x}dx=\left\{x^2+C_2\right\}$, получим:

$$ \left\{x^2+C_2\right\}=\left\{\frac{x^2}{2}+C_1\right\}\cup\left\{\frac{x^2}{2}+C_1\right\}=\left\{\frac{x^2}{2}+C_1\right\}. $$

Полученное равенство явно некорректно. С другой стороны, Фихтенгольц пишет, что равенства подобного типа (с интегралами в левой и правой частях) понимаются в том смысле, что разность между правой и левой частями есть постоянная, т.е., например, из равенства $\int{2x}dx=\int{2x}dx$ получим, что $\int{2x}dx-\int{2x}dx = C_0 $ . Однако если понимать интегралы как множества, то получим:

$$ \int{2x}dx-\int{2x}dx =\left\{x^2+C_1\right\}\backslash\left\{x^2+C_2\right\}=\emptyset $$

Таким образом, постоянная $C_0$ равна множеству, что является, как мне кажется, несколько странным. Кроме того, равенство такого вида:

$$ \int{e^x}\sin{x}dx=-e^x\cos{x}+e^x\sin{x}-\int{e^x}\sin{x}dx $$

в правой части содержит сумму множества и функции, что тоже немного странно - как же их формально сложить?

Подскажите, пожалуйста, как строго разобраться в этом понятии неопределённого интеграла?

[Mikhail_K]

AlexeyM
Очевидно, знак $+$ между двумя множествами в данном случае не означает $\cup$, а знак $-$ не означает $\backslash$.
А что именно означает - догадайтесь. Очевидно, это должно как-то быть связано со сложением/вычитанием элементов этих множеств.
Такие "суммы" множеств (не в смысле объединения) встречаются и далеко не только здесь.

[AlexeyM]

Mikhail_K в сообщении #1376030 писал(а):

AlexeyM
Очевидно, знак $+$ между двумя множествами в данном случае не означает $\cup$, а знак $-$ не означает $\backslash$.
А что именно означает - догадайтесь. Очевидно, это должно как-то быть связано со сложением/вычитанием элементов этих множеств.
Такие "суммы" множеств (не в смысле объединения) встречаются и далеко не только здесь.

Ну, интуитивно я могу предположить, что при условии $\int{f_1(x)}dx=\left\{F_1(x)+C_1\right\}$ и $\int{f_2(x)}dx=\left\{F_2(x)+C_2\right\}$ запись $\int{f_1(x)}dx+\int{f_2(x)}dx$ означает множество функций $\left\{F_1(x)+F_2(x)+C\right\}$, т.е. сам знак "+" в отрыве от полной записи $\int{f_1(x)}dx+\int{f_2(x)}dx$ не значит ничего. Вся запись $\int{f_1(x)}dx+\int{f_2(x)}dx$ в целом означает новое множество, и знак "+" не является символом операции, а просто есть часть обозначения нового множества.

[Mikhail_K]

AlexeyM
Можно и так понимать.
А можно вот как: $A+B=\{a+b\,|\,a\in A,\,b\in B\}$; $A-B=\{a-b\,|\,a\in A,\,b\in B\}$.

[AlexeyM]

Mikhail_K, а как правильно? Есть ли учебник, в котором эти моменты рассматриваются строго, не оставляя подобного пространства для излишней "фантазии"?

[Munin]

Сумма по Минковскому.

[AlexeyM]

Munin, прочёл, спасибо. Т.е., насколько я понимаю, если у меня есть равенство вида $\int{f(x)}dx=g(x)-\int{f(x)}dx$, то формально понимать его нужно так:

$$ \begin{aligned} &\{F(x)+C_1\}=\{g(x)\}-\{F(x)+\bar{C}_2\};\\ &\{F(x)+C_1\}=\{g(x)-F(x)+C_2\}. \end{aligned} $$

Здесь $F(x)$ - некая первообразная функции $f(x)$. Константы я обозначил разными буквами, чтобы подчеркнуть их независимость друг от друга. Второе равенство есть равенство между множествами, т.е. любая функция, входящая в правую часть равенства, входит и в левую, и наоборот. Соответственно, для любой константы $C_1\in{R}$ существует значение константы $C_2\in{R}$, и для любого значения $C_2$ существует значение $C_1$, такое, что верно равенство:

$$ \begin{aligned} &F(x)+C_1=g(x)-F(x)+C_2;\\ &F(x)+\frac{C_1}{2}=\frac{g(x)}{2}+\frac{C_2}{2} \end{aligned} $$

Так как константы пробегают всё множество действительных чисел, то имеем равенство между множествами:

$$ \{F(x)+C_1^1 \}=\left\{\frac{g(x)}{2}+C_2^1 \right\} $$

Согласно определению интеграла, это значит, что $\int{f(x)}dx=\frac{g(x)}{2}+C$.

[ewert]

AlexeyM в сообщении #1376060 писал(а):

Константы я обозначил разными буквами, чтобы подчеркнуть их независимость друг от друга.

Напрасно. Потому что эти константы -- немые: $\{F(x)+C\}$ -- это лишь сокращённая запись для $\{F(x)+C\}_{\forall C=\mathrm{const}}$. Поэтому Вы вправе хоть помечать их индексами, хоть мягкий знак использовать, но выглядеть это будет как некоторое пижонство.

[Munin]

Бывают ситуации типа $\{F(x)+C_1+C_2 x\}_{\forall C_1,C_2=\mathrm{const}},$ где одной буквой всё равно не обойдёшься.

[ewert]

Ну это всем ежам понятно: если семейство двухпараметрическое, то параметров именно два. Но два однопараметрических семейства -- не то же самое, что одно двухпараметрическое. И обозначать параметры разными буквами если и имеет смысл, то лишь по стилистическим соображениям. Типа того, что частоту как параметр не слишком хорошо обозначать буквой $C$.

Кстати, запись $\{F(x)+C_1\frac{x^2}2+C_2x+C_3\}=\{F(x)+C_1+C_2x+C_3x^2\}$ вполне почтенна. И даже если опустить здесь фигурные скобки, то греха большого тоже не будет.