Корень vs. степень: область определения

[project15]

На сколько мне известно, определения в математике берут не "с потолка". Я исхожу из соображения, что в математике в рамках какого-либо раздела/теории пытаются минимизировать кол-во объектов, которые подлежат определению, выбрать основные и на таком "неперегруженном" языке сформулировать лаконичные и сильные (без тысячи ограничений для области применимости) теоремы.

Пусть имеется два схожих объекта - первый вылезает из всех щелей, а второй встречается гораздо реже. Требуется выбрать, какому из них дать определение. Конечно, можно определить оба, но зачем? Мы же минимизируем кол-во определений, верно? Если "редкий" объект вдруг встретился, то ничего нам не мешает "выразить" его через "частый". Естественно никто не запрещает поступить иначе - определить второй (редкий) объект и через него "выразить" первый. Но смысла в этом нету. Под словом "выразить" я подразумеваю идентифицировать, выделить среди остальных какой-либо объект в терминах другого(-их). Но "частота встречаемости" - не единственный критерий. Определяемый объект должен играть роль "строительного кирпичика", "элементарной единицы" теории. Эти критерии идут рука об руку - как правило, "простые" объекты чаще всего и встречаются. Третий критерий (который я уже обзорно отметил выше) - возможность формулировать сильные, общие теоремы, в которых фигурирует данный объект.

Теперь приступим к конкретным примерам в рамках поднятой мною темы. Рассмотрим два определения корня из числа (здесь и далее речь идет про действительные числа).


1. Корнем $n$-ой степени из положительного числа $a$ назовем положительное же число $b$, $n$-ая степень которого равна $a$. Обозначим корень $n$-ой степени значком радикала: $\sqrt[n]{a}$
При таком определении запись $\sqrt[3]{-8}$ не имеет смысла.

2. Корнем $n$-ой степени из неотрицательного числа $a$ назовем неотрицательное число $b$, $n$-ая степень которого равна $a$, если $n$ - четное натуральное число. Корнем $n$-ой степени из произвольного действительного числа $a$ назовем любое действительное число $b$, $n$-ая степень которого равна $a$, если $n$ - нечетное натуральное число (то, что такое число $b$ всегда существует и единственно при любом $n$ - теорема). При таком определении $\sqrt[3]{-8}$ $=$ $-2$.

На мой взгляд, первое определение "лучше" второго. Поясню. При первом определении корня сохраняются все привычные свойства корней.
$\sqrt[n]{ab}$ $=$ $\sqrt[n]{a}$ $\cdot$ $\sqrt[n]{b}$
$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ $=$ $\sqrt[n]{a}$ $:$ $\sqrt[n]{b}$
$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}$ $=$ $\sqrt[nk]{a}$
$\sqrt[n]{a^m}$ $=$ $\sqrt[nk]{a^{mk}}$
$\sqrt[n]{a^k}$ $=$ $(\sqrt[n]{a})^k$
Всеми этими свойствами можно пользоваться механически, не думая ни о четности/нечетности показателей/степеней, нуле в знаменателе, нуле в степени ноль и т.д.
Если же мы примем второе определение, то такой роскоши у нас уже не будет. Например:
$\sqrt[4]{(-2)^8}$ $\ne$ $(\sqrt[4]{(-2)})^8$ (и не говорите, что "тут же корень четной степени, а не нечетной", это неважно, т.к. когда придется работать не с 4 и 8, а с $m$ и $n$, вам придется проверять все комбинации четных/нечетных $m$ и $n$ и положительных/отрицательных подкоренных выражений, т.к. заранее ни $m$ ни $n$ могут быть вообще не известны).
$\sqrt[9]{(-2)^3}$ $\ne$ $\sqrt[9\cdot4]{(-2)^{3\cdot4}}$
И совсем очевидные примеры:
$\sqrt[4]{(-2)(-3)}$ $\ne$ $\sqrt[4]{-2}$ $\cdot$ $\sqrt[4]{-3}$ (комментарий относительно четности $n$ тот же).
$\sqrt[4]{\frac{-2}{-3}}$ $\ne$ $\sqrt[4]{-2}$ $:$ $\sqrt[4]{-3}$
Как видно, половина формул вообще не работает. Появляются выражения, не имеющие смысла. А я даже не затронул тему доказательства всех этих свойств. Пользуясь первым определением, вы воспроизведете все доказательства относительно легко. Но если вы будете использовать второе определение, вам потребуется гораздо больше времени, чтобы перебрать все возможные комбинации четных/нечетных $m$ и $n$ и положительных/отрицательных подкоренных выражений. И все ради чего? Чтобы функцию, обратную $f(x)$ $=$ $x^3$ называть $g(x)$ $=$ $\sqrt[3]{x}$? Я считаю, что тем самым "строительным кирпичиком" считается именно та ветка, которая находится в первом координатном угле. Вот ее и назовем $g(x)$ $=$ $\sqrt[3]{x}$, а всю функцию, обратную кубической параболе, зададим системой

$$\begin{cases} $\sqrt[3]{x}$,&\text{если $x>0$;}\\ 0,&\text{если $x=0$;}\\ -$\sqrt[3]{-x}$,&\text{если $x<0$.} \end{cases}$$

Я думаю, я смог на этом примере с корнями показать, что первое определение корня - тот самый "частый" объект, о котором я говорил вначале, а второе определение - "редкий" объект, который я выразил через "частый" (см. систему).
Резюмирую. Используя первое определение корня, мы имеем в распоряжении все основные свойства корней, можем их легко доказать и применять. Теряем ли мы в общности? Возможно, совсем чуть-чуть. Если в какой-то реальной задаче возникнет ситуация, когда предпочтительнее второе определение корня, то никаких проблем - берем и используем. Только свойства каждый раз применяем очень осторожно (с такой же осторожностью, как точно подметил Munin, вы умножаете обе части уравнения на знаменатель). Но в школьных учебниках и учебниках по анализу, на мой взгляд, предпочтительнее давать первое определение. Буду рад услышать от вас конструктивную критику и замечания предлагаемого мною подхода.

[Someone]

project15, зачем Вы по очередному кругу пошли? Вы всерьёз верите, что после вашего выступления на форуме все кинутся срочно переписывать школьные учебники?

[Munin]

project15 в сообщении #1372310 писал(а):

Если же мы примем второе определение, то такой роскоши у нас уже не будет. Например:
$\sqrt[4]{(-2)^8}$ $\ne$ $(\sqrt[4]{(-2)})^8$
$\sqrt[9]{(-2)^3}$ $\ne$ $\sqrt[9\cdot4]{(-2)^{3\cdot4}}$
И совсем очевидные примеры:
$\sqrt[4]{(-2)(-3)}$ $\ne$ $\sqrt[4]{-2}$ $\cdot$ $\sqrt[4]{-3}$
$\sqrt[4]{\frac{-2}{-3}}$ $\ne$ $\sqrt[4]{-2}$ $:$ $\sqrt[4]{-3}$
Как видно, половина формул вообще не работает.

А шо толку, если при вашем определении все эти примеры тоже не работают?

[project15]

Someone
Я на днях решил посмотреть в интернете, кто какие определения корней и степеней с дробным показателем использует. Я облазил с десяток сайтов, прочитал под сотню комментариев и увидел проблему - десятки людей пишут, что они не понимают, как работать с корнями и степенями. Типичный комментарий примерно такой: "определения я знаю, свойства помню, хочу их доказать - не могу, начинаю их применять - получаю ерунду, что со мной не так?" После у них возникают проблемы с логарифмами на уровне "механику процесса знаю, смысла не понимаю". Ну а затем и элементарные функции вызывают страх, ненависть и кучу вопросов. Я предлагаю ради этих людей потратить пару минут моего и вашего времени и написать подробный комментарий о том, как к этим вещам относиться и почему. Мне немного неприятно, что мое стремление подробно раскрыть вопрос вы называете "выступлением" и полагаете, будто я призываю всех бежать и переписывать учебники по математике. Я хочу услышать конструктивную критику моего подхода. Объясните в чем я не прав? Я не являюсь экспертом в вопросах преподавания и в вопросах, связанных с выбором определений в рамках математических теорий. Но это не отменяет тот факт, что все эти вопросы заслуживают внимания. Огромное кол-во людей по всему миру работают в этих направлениях, пишут книги и разрабатывают разные методики. Я привел крайне простой, примитивный пример с корнями. Я не вижу причин использовать общепринятое определение. Тут два варианта: либо определение и впрямь неудачное, либо я чего-то не понимаю. Я склоняюсь ко второму варианту. Мне с трудом верится, что такие очевидные школьные вопросы не проработаны до конца.

Munin
Приведите пожалуйста пример. Я не понимаю, что вы имеете в виду.

[Munin]

project15 в сообщении #1372384 писал(а):

Приведите пожалуйста пример. Я не понимаю, что вы имеете в виду.

Да ровно ваши примеры и смотрите. В них правая часть не существует (во втором - левая), и поэтому равенство не выполняется.

[project15]

Munin

Цитата:

(и не говорите, что "тут же корень четной степени, а не нечетной", это неважно, т.к. когда придется работать не с 4 и 8, а с $m$ и $n$, вам придется проверять все комбинации четных/нечетных $m$ и $n$ и положительных/отрицательных подкоренных выражений, т.к. заранее ни $m$ ни $n$ могут быть вообще не известны).

Вот для того, чтобы не проверять всякий раз знак $a$ и $b$ в свойствах
$\sqrt[n]{ab}$ $=$ $\sqrt[n]{a}$ $\cdot$ $\sqrt[n]{b}$
$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ $=$ $\sqrt[n]{a}$ $:$ $\sqrt[n]{b}$
$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}$ $=$ $\sqrt[nk]{a}$
$\sqrt[n]{a^m}$ $=$ $\sqrt[nk]{a^{mk}}$
$\sqrt[n]{a^k}$ $=$ $(\sqrt[n]{a})^k$
я предлагаю вообще не рассматривать неположительные $a$ и $b$.
Я вижу 2 подхода, разница между которыми упирается в то, хотим мы или нет использовать эти свойства "со спокойной душой". Я хочу, поэтому исключаю из рассмотрения неположительные $a$ и $b$. Плюс такого подхода в том, что можно рассматривать произвольные положительные $a$ и $b$ и произвольные натуральные $m$ и $n$ с сохранением всех 5-ти свойств. Для конкретных чисел все легко при любом определении, но вот для произвольных уже нет. Все ради этого и сделано. Это же очень сильная возможность, а все остальные случаи можно выразить через определенный первым способом корень.
Имеет ли смысл выражение $\sqrt[4]{(-2)(-3)}$? Да, имеет. Можем ли мы к нему применять свойства? В школе говорят, что можем, только модули не забываем. А я говорю, что нет не можем, потому что оно не приведено к "хорошему" виду, когда $a$ и $b$ - положительные. Я смог донести свою мысль?

[warlock66613]

project15 в сообщении #1372432 писал(а):

хотим мы или нет использовать эти свойства "со спокойной душой". Я хочу

Хотеть-то вы может и хотите, но у вас не получается:

project15 в сообщении #1372432 писал(а):

Можем ли мы к нему применять свойства? <..> я говорю, что нет не можем

[Munin]

project15 в сообщении #1372432 писал(а):

Я смог донести свою мысль?

Да, проблема только в том, что мысль ошибочная.

[Someone]

project15, стандартно используемое понятие корня обычно вводится двумя определениями:
1) для целого $n\geqslant 2$ (арифметическим) корнем $n$-ой степени из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число $b$, что $b^n=a$; вводится обозначение $\sqrt{a}=b$ для $n=2$ и $\sqrt[n]{a}=b$ для $n>2$; для других значений $n$ понятие корня не определяется;
2) в случае нечётного $n\geqslant 3$ определение корня распространяется на отрицательные числа $a$ по формуле $\sqrt[n]{a}=-\sqrt[n]{-a}$; это определение сохраняет основное свойство корня: $\left(\sqrt[n]{a}\right)^n=a$.
Во всех случаях корень является единственным (кроме тех, когда он не определён).

Три замечания.
а) Тот же результат можно получить, сформулировав отдельные определения для корней чётной и нечётной степени.
б) Если речь идёт не об учебной литературе для школьников, то автор имеет полное право определять корни как ему вздумается, предупредив об этом читателей (слушателей) и чётко сформулировав свои определения.
в) Переход к комплексным числам радикально меняет ситуацию с корнями и степенями; фактически приходится определять корни и степени заново.

Я понял, что у Вас возникают трудности при появлении отрицательных чисел, и Вы хотите их (отрицательные числа) запретить совсем. Это неразумный подход.
Во-первых, эти трудности не связаны с распространением определения корня нечётной степени на отрицательные числа. Как раз корнями нечётной степени можно манипулировать совершенно свободно.
Во-вторых, в случае корней чётной степени запретить появление отрицательных чисел совсем нельзя, потому что они лезут во все щели, из-за чего появляются формулы вида $\sqrt{a^2}=\lvert a\rvert$ и другие осложнения.

project15 в сообщении #1372384 писал(а):

Типичный комментарий примерно такой: "определения я знаю, свойства помню, хочу их доказать - не могу, начинаю их применять - получаю ерунду, что со мной не так?"

Что касается доказательств, то я не знаю, что тут за проблемы. Они все сводятся к проверке области определения и знаков значений, а также использованию определения корня и свойств степеней с натуральным показателем. В результате доказательство каждого свойства вполне тривиально.
Что касается вопроса "что со мной не так", то ответ, скорее всего, такой: не отработаны технические навыки, в частности, нет привычки постоянно контролировать области определения и знаки получающихся выражений. При том, что такой контроль необходим не только при работе с корнями, но и во многих других случаях, так что, скорее всего, у авторов этих жалоб проблем гораздо больше.

project15 в сообщении #1372432 писал(а):

Имеет ли смысл выражение $\sqrt[4]{(-2)(-3)}$? Да, имеет. Можем ли мы к нему применять свойства? В школе говорят, что можем, только модули не забываем. А я говорю, что нет не можем, потому что оно не приведено к "хорошему" виду, когда $a$ и $b$ - положительные. Я смог донести свою мысль?

Да. Вы хотите делать всё то же самое, что делается при существующих определениях, но хотите называть это другими словами. Фактическая ситуация не изменится, все трудности у школьников останутся теми же самыми, но корней нечётной степени из отрицательных чисел не будет, хотя они никому не мешают.

[warlock66613]

Вообще, слабые равенства - то есть такие, которые верны только при условии существования объектов, стоящих с обоих сторон, - встречаются в математике повсеместно (да хоть те же свойства предела вроде $\lim fg = \lim f \cdot \lim g$).

[project15]

Someone
Спасибо, за развернутый комментарий. Стандартные определения корней я знаю. И прямо сейчас попытаюсь проанализировать последнее свойство.
$\sqrt[n]{a^m}$ $=$ $(\sqrt[n]{a})^m$ выполняется, если:
- $n$ четное; $m$ четное; $a$ $\geqslant$ 0
- $n$ четное; $m$ нечетное; $a$ $\geqslant$ 0
- $n$ нечетное; $m$ четное; $a$ - любое
- $n$ нечетное; $m$ нечетное; $a$ - любое
не выполняется, если:
- $n$ четное; $m$ четное; $a$ $<$ 0
- $n$ четное; $m$ нечетное; $a$ $<$ 0
Приступим к доказательству свойства при $n$ четное; $m$ четное; $a$ $\geqslant$ 0
Докажем возможность замены левой части правой частью (т.е. слева направо).
Нужно доказать, что $(\sqrt[n]{a})^m$ является неотрицательным числом, $n$-ая степень которого равна $a^m$
$(\sqrt[n]{a})$ при четном $n$ и $a$ $\geqslant$ 0 является неотрицательным числом по определению, $(\sqrt[n]{a})^m$ является неотрицательным числом, как произведение $m$ неотрицательных чисел. Неотрицательность доказали. Теперь докажем, что $((\sqrt[n]{a})^m)^n$ $=$ $a^m$.
$((\sqrt[n]{a})^m)^n$ $=$ $((\sqrt[n]{a})^n)^m$ $=$ $a^m$. Здесь мы использовали свойство $(\sqrt[n]{a})^n$ $=$ $a$, которое наш гипотетический школьник должен был уже перед этим доказать (точнее говоря, здесь используется частный случай этого свойства для $n$ четное; $a$ $\geqslant$ 0)
Далее доказываем возможность замены правой части левой (т.е. справа налево)...(восстановите при необходимости)
Вуаля. Первый случай из четырех доказали. Двигаемся дальше...
И это только одно свойство (из 5).
Я правильно представляю себе, что должен сделать школьник, чтобы убедиться в справедливости всех свойств с корнями? Или я опять все не так понял?

[project15]

warlock66613

warlock66613 в сообщении #1372451 писал(а):

Вообще, слабые равенства - то есть такие, которые верны только при условии существования объектов, стоящих с обоих сторон, - встречаются в математике повсеместно (да хоть те же свойства предела вроде $\lim fg = \lim f \cdot \lim g$).

Возьмем $\sqrt[9]{(-2)^3}$ $\ne$ $\sqrt[9\cdot4]{(-2)^{3\cdot4}}$. С обеих сторон выражения существуют, но равенство тем не менее не достигается. Это не просто "слабое равенство", это "очень слабое равенство".

[Someone]

project15 в сообщении #1372462 писал(а):

$\sqrt[n]{a^m}$ $=$ $(\sqrt[n]{a})^m$ выполняется, если:
- $n$ четное; $m$ четное; $a$ $\geqslant$ 0
- $n$ четное; $m$ нечетное; $a$ $\geqslant$ 0
- $n$ нечетное; $m$ четное; $a$ - любое
- $n$ нечетное; $m$ нечетное; $a$ - любое
не выполняется, если:
- $n$ четное; $m$ четное; $a$ $<$ 0
- $n$ четное; $m$ нечетное; $a$ $<$ 0

Тихий ужас.

В равенстве $\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$ (Кстати, нафиг Вы в него столько знаков доллара насовали? Там нужны только два знака доллара.) при чётном $n$ и $a<0$ правая часть не определена, поэтому в условии должно быть оговорено, что либо $n$ нечётное, $a$ любое, либо $n$ чётное, $a\geqslant 0$. Так как корень единственный, по определению корня достаточно проверить, что $n$-ая степень правой части равна $a^m$. Используя свойства степеней с целыми показателями и определение корня, получаем

$$\left(\left(\sqrt[n]{a}\right)^m\right)^n=\left(\sqrt[n]{a}\right)^{mn}=\left(\left(\sqrt[n]{a}\right)^n\right)^m=a^m,$$

что и требовалось доказать.

project15 в сообщении #1372462 писал(а):

Здесь мы использовали свойство $(\sqrt[n]{a})^n$ $=$ $a$, которое наш гипотетический школьник должен был уже перед этим доказать

(Опять тьма лишних знаков доллара.) Доказывать это нужно только при нечётном $n$ и $a<0$ сразу после определения 2, поскольку в остальных случаях это просто определение корня; доказательство тривиальное: $\left(-\sqrt[n]{-a}\right)^n=-\left(\sqrt[n]{-a}\right)^n=-(-a)=a$. Кроме того, предварительно должны быть доказаны свойства неравенств для корней (используя свойства неравенств для степеней с натуральными показателями) и единственность корня (используя свойства неравенств). Доказательство существования корня, вообще говоря, не является школьной задачей.

project15 в сообщении #1372462 писал(а):

Далее доказываем возможность замены правой части левой (т.е. справа налево)...(восстановите при необходимости)

Нечего там восстанавливать, всё уже доказано (я говорю о своём доказательстве, а не о вашем).

project15 в сообщении #1372462 писал(а):

Первый случай из четырех доказали. Двигаемся дальше...

Некуда дальше двигаться, приплыли уже. Моё доказательство работает во всех ваших случаях. (Как я говорил, свойства неравенств должны быть доказаны раньше.)

project15 в сообщении #1372468 писал(а):

$\sqrt[9]{(-2)^3}$ $\ne$ $\sqrt[9\cdot4]{(-2)^{3\cdot4}}$

Это — неправильно применённое правило сокращения показателей. Правильно оно применяется так:

$$\sqrt[nk]{a^{mk}}=\begin{cases}\sqrt[n]{a^m}\text{, если $k\geqslant 1$ нечётное,}\\ \sqrt[n]{\lvert a^m\rvert}\text{, если $k\geqslant 2$ чётное}\end{cases}$$

($n\geqslant 2$, $k\geqslant 1$ и $m$ — целые; если $m\leqslant 0$, то $a\neq 0$).

[project15]

Someone
Хорошо, согласен. Перебирать все варианты в данном доказательстве не обязательно. Равенство работает, если обе части определены. Ситуации, когда выгоднее употреблять "мое определение" возникнуть не может, т.к. "мое определение" требует, чтобы обе части были определены, а раз они определены, то можно использовать "стандартное определение", которое к тому же покрывает ситуации, которое "мое определение" не покрывает.
Вот это и есть та самая конструктивная критика, которую я ждал. Ваш аргумент я принимаю, пища для размышлений у меня теперь есть.

Someone в сообщении #1372497 писал(а):

Так как корень единственный, по определению корня достаточно проверить, что $n$-ая степень правой части равна $a^m$.

Это и есть доказательство в обратную сторону методом от противного, когда мы приходим к противоречию с единственностью корня.

Someone в сообщении #1372497 писал(а):

project15 в сообщении #1372468 писал(а):

$\sqrt[9]{(-2)^3}$ $\ne$ $\sqrt[9\cdot4]{(-2)^{3\cdot4}}$

Это — неправильно применённое правило сокращения показателей. Правильно оно применяется так:

$$\sqrt[nk]{a^{mk}}=\begin{cases}\sqrt[n]{a^m}\text{, если $k\geqslant 1$ нечётное,}\\ \sqrt[n]{\lvert a^m\rvert}\text{, если $k\geqslant 2$ чётное}\end{cases}$$

($n\geqslant 2$, $k\geqslant 1$ и $m$ — целые; если $m\leqslant 0$, то $a\neq 0$).

Вот здесь собака и зарыта.
Итог, каким я его вижу. "Мое определение" упрощает свойства корней (правило сокращения показателей становится строчкой, а не системой с условиями в скобках), их вывод и применение (не нужно думать об ОДЗ выражений, т.к. числа все положительные, обе части определены). Но сужает область применимости. Что важнее - вопрос выбора и вкусов. Какое определение использовать? Видимо, стандартное, т.к. оно всего лишь чуть-чуть посложнее, но более общее. Но затем я вспомнил, что корни - это "мостик" к степеням с дробными показателями. При моем подходе записи $a^{1/3}$ и $\sqrt[3]{a}$ "взаимозаменяемы", и корни становятся простым частным случаем степеней, а при общепринятом определении корня эти записи неэквивалентны (если мы считаем основания дробных степеней положительными, $\sqrt[3]{-8}$ существует, а $(-8)^{1/3}$ нет). Если 5 минут назад я был уверен, что лучше использовать общепринятое определение корней, то теперь опять начал сомневаться. Эквивалентность корней и дробных степеней, на мой взгляд, серьезное преимущество. В конце концов все сводится к вопросу - определять ли степени с отрицательным основанием и дробным несократимым нечетным показателем? Я думаю, что не стоит. А что думаете вы?

[StaticZero]

(Оффтоп)

А в М-разделе есть Пургаторий?