На сколько мне известно, определения в математике берут не "с потолка". Я исхожу из соображения, что в математике в рамках какого-либо раздела/теории пытаются минимизировать кол-во объектов, которые подлежат определению, выбрать основные и на таком "неперегруженном" языке сформулировать лаконичные и сильные (без тысячи ограничений для области применимости) теоремы.
Пусть имеется два схожих объекта - первый вылезает из всех щелей, а второй встречается гораздо реже. Требуется выбрать, какому из них дать определение. Конечно, можно определить оба, но зачем? Мы же минимизируем кол-во определений, верно? Если "редкий" объект вдруг встретился, то ничего нам не мешает "выразить" его через "частый". Естественно никто не запрещает поступить иначе - определить второй (редкий) объект и через него "выразить" первый. Но смысла в этом нету. Под словом "выразить" я подразумеваю идентифицировать, выделить среди остальных какой-либо объект в терминах другого(-их). Но "частота встречаемости" - не единственный критерий. Определяемый объект должен играть роль "строительного кирпичика", "элементарной единицы" теории. Эти критерии идут рука об руку - как правило, "простые" объекты чаще всего и встречаются. Третий критерий (который я уже обзорно отметил выше) - возможность формулировать сильные, общие теоремы, в которых фигурирует данный объект.
Теперь приступим к конкретным примерам в рамках поднятой мною темы. Рассмотрим два определения корня из числа (здесь и далее речь идет про действительные числа).
1. Корнем
-ой степени из положительного числа
назовем положительное же число
,
-ая степень которого равна
. Обозначим корень
-ой степени значком радикала:
При таком определении запись
не имеет смысла.
2. Корнем
-ой степени из неотрицательного числа
назовем неотрицательное число
,
-ая степень которого равна
, если
- четное натуральное число. Корнем
-ой степени из произвольного действительного числа
назовем любое действительное число
,
-ая степень которого равна
, если
- нечетное натуральное число (то, что такое число
всегда существует и единственно при любом
- теорема). При таком определении
.
На мой взгляд, первое определение "лучше" второго. Поясню. При первом определении корня сохраняются все привычные свойства корней.
Всеми этими свойствами можно пользоваться механически, не думая ни о четности/нечетности показателей/степеней, нуле в знаменателе, нуле в степени ноль и т.д.
Если же мы примем второе определение, то такой роскоши у нас уже не будет. Например:
(и не говорите, что "тут же корень четной степени, а не нечетной", это неважно, т.к. когда придется работать не с 4 и 8, а с
и
, вам придется проверять все комбинации четных/нечетных
и
и положительных/отрицательных подкоренных выражений, т.к. заранее ни
ни
могут быть вообще не известны).
И совсем очевидные примеры:
(комментарий относительно четности
тот же).
Как видно, половина формул вообще не работает. Появляются выражения, не имеющие смысла. А я даже не затронул тему доказательства всех этих свойств. Пользуясь первым определением, вы воспроизведете все доказательства относительно легко. Но если вы будете использовать второе определение, вам потребуется гораздо больше времени, чтобы перебрать все возможные комбинации четных/нечетных
и
и положительных/отрицательных подкоренных выражений. И все ради чего? Чтобы функцию, обратную
называть
? Я считаю, что тем самым "строительным кирпичиком" считается именно та ветка, которая находится в первом координатном угле. Вот ее и назовем
, а всю функцию, обратную кубической параболе, зададим системой
Я думаю, я смог на этом примере с корнями показать, что первое определение корня - тот самый "частый" объект, о котором я говорил вначале, а второе определение - "редкий" объект, который я выразил через "частый" (см. систему).
Резюмирую. Используя первое определение корня, мы имеем в распоряжении все основные свойства корней, можем их легко доказать и применять. Теряем ли мы в общности? Возможно, совсем чуть-чуть. Если в какой-то реальной задаче возникнет ситуация, когда предпочтительнее второе определение корня, то никаких проблем - берем и используем. Только свойства каждый раз применяем очень осторожно (с такой же осторожностью, как точно подметил
Munin, вы умножаете обе части уравнения на знаменатель). Но в школьных учебниках и учебниках по анализу, на мой взгляд, предпочтительнее давать первое определение. Буду рад услышать от вас конструктивную критику и замечания предлагаемого мною подхода.