Использование векторного произведения в физике

[pogulyat_vyshel]

arseniiv в сообщении #1282961 писал(а):

Я уже переделал все псевдовекторы в бивекторы (что обозначил снятием жирности).

о чем надо было предупреждать явно

arseniiv в сообщении #1282961 писал(а):

Бивекторы образуют линейное пространство и сами по себе, над ними линейный оператор будет тензором второго ранга

это конечно, только этот оператор в исходном $\mathbb{R}^3$ будет аксиальным тензором, а ваш посыл от аксиальности избавляться

-- 10.01.2018, 17:41 --

arseniiv в сообщении #1282961 писал(а):

То, что «вообще» он будет тензором четвёртого, никакой intrinsic сложности не добавляет.

ну значит у нас разное представление о сложности

-- 10.01.2018, 17:59 --

Pphantom в сообщении #1282801 писал(а):

Это же фактически уравнения Эйлера (разве что их чаще пишут покомпонентно).

Есть нюансы. Уравнениями Элера обычно называют уравнения на проекции угловой скорости на оси системы координат связанной с телом. Уравнения, которые я выписал, верны в любой системе координат. При этом производная от угловой скорости в этих уравнениях может вычисляться либо относительно системы координат связанной с телом либо относительно инерциальной системы координат. Эти производные в данном случае просто совпадают.

[Pphantom]

pogulyat_vyshel в сообщении #1282963 писал(а):

Есть нюансы. Уравнениями Элера обычно называют уравнения на проекции угловой скорости на оси системы координат связанной с телом. Уравнения, которые я выписал, верны в любой системе координат. При этом производная от угловой скорости в этих уравнениях может вычисляться либо относительно системы координат связанной с телом либо относительно инерциальной системы координат. Эти производные в данном случае просто совпадают.

Ну потому и появилось слово "фактически". Хотя в качестве примера было бы, на мой взгляд, интереснее использовать именно настоящие уравнения Эйлера - СК, привязанной к главным осям инерции. Как-то кажется, что в этом случае "идейно правильная" замена векторного произведения приведет к сильному усложнению результата.

[arseniiv]

pogulyat_vyshel в сообщении #1282963 писал(а):

это конечно, только этот оператор в исходном $\mathbb{R}^3$ будет аксиальным тензором, а ваш посыл от аксиальности избавляться

Если он исходно преобразует псевдовекторы в псевдовекторы, где же он аксиальный? Потом, важнее, вот возьмём конкретное выражение для оператора инерции системы из нескольких жёстко связанных друг с другом точек:

$$\sum_i m_i(r_i^2 \mathbf1 - \mathbf r_i\otimes\mathbf r_i^\flat)$$

— где это вам аксиальный тензор? ($\mathbf 1$ — тождественный оператор.)

[pogulyat_vyshel]

arseniiv в сообщении #1282974 писал(а):

Если он исходно преобразует псевдовекторы в псевдовекторы, где же он аксиальный? Потом, важнее, вот возьмём конкретное выражение для оператора инерции системы из нескольких жёстко связанных друг с другом точек:

$$\sum_i m_i(r_i^2 \mathbf1 - \mathbf r_i\otimes\mathbf r_i^\flat)$$

Это стандартный оператор инерции, он истинный тензор. Но у вас оператор инерции другой, он определен на пространстве бивекторов, это тензор 4 ранга, ему можно поставить в соответствие тензор второго ранга, но это соответствие будет аксиальным. Подобно соотвествию между векторами и 2-формами
Короче я для себя сделал следующий вывод. То что переписать всю эту науку в терминах бивекторов можно это было ясно с самого начала. Вопрос в целесообразности. При том, что тут вместо векторов (пусть и аксиальных) возникают бивекторы, а вместо оператора инерции четырехвалентные тензоры, для меня это достаточное объяснение почему так не делают даже в очень пижонских курсах механики типа Марсдена. Вы со мной не согласны, в конце концов это вопрос вкуса и личного опыта.

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1282983 писал(а):

Вопрос в целесообразности. При том, что тут вместо векторов (пусть и аксиальных) возникают бивекторы, а вместо оператора инерции четырехвалентные тензоры, для меня это достаточное объяснение почему так не делают даже в очень пижонских курсах механики типа Марсдена.

Мне кажется, что это pain without any gain. Можно, конечно, в аппендиксах,...

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1282986 писал(а):

Мне кажется, что это pain without any gain. Можно, конечно, в аппендиксах,...

конечно

pogulyat_vyshel в сообщении #1282983 писал(а):

о это соответствие будет аксиальным.

а может и тензорным, черт его знает , считать лень

[arseniiv]

pogulyat_vyshel в сообщении #1282983 писал(а):

Но у вас оператор инерции другой, он определен на пространстве бивекторов, это тензор 4 ранга, ему можно поставить в соответствие тензор второго ранга, но это соответствие будет аксиальным. Подобно соотвествию между векторами и 2-формами

pogulyat_vyshel в сообщении #1282990 писал(а):

а может и тензорным, черт его знает , считать лень

Да, по логике там в двух местах применяется звёздочка Ходжа (избавление от лишних включений которой, и вместе с ними зависимости от фиксированной ориентации, и есть, в сущности, моя идея), но если под конец может получиться что-то типа $J\otimes J$ или $J\otimes\mathbf1 + \mathbf1\otimes J$, действительно, надо считать.

[SergeyGubanov]

pogulyat_vyshel в сообщении #1282763 писал(а):

$$J_O\boldsymbol{\dot\omega}+[\boldsymbol\omega,J_O\boldsymbol\omega]=\boldsymbol M_O.$$

arseniiv в сообщении #1282795 писал(а):

$$J_O\dot\omega + \star\omega\wedge\star(J_O\omega) = M_O.$$

Обе формулы не вполне корректны.

Рассмотрим следующее выражение (тоже не вполне корректное):

$$ \vec{v} = \vec{v}_c + [ \vec{\omega} \times \vec{r} ], $$

заметьте, его трудно записать через дифференциальные формы.

На самом деле $\omega$ вообще не имеет тензорных индексов $i$, $j$ и отвечает за вращение репера $\mathbf e_{(a)} = e_{(a)}^i \frac{\partial}{\partial x^i}$ и корепера $\mathbf e^{(a)} = e^{(a)}_i dx^i$ линейного реперного (кореперного) расслоения и, соответственно, имеет один реперный и один кореперный индексы $(a)$, $(b)$:

$$ \frac{d}{dt} \mathbf e_{(a)} - \mathbf e_{(b)} \, {\omega^{(b)}}_{(a)} = 0 $$

$$ \frac{d}{dt} \mathbf e^{(a)} + {\omega^{(a)}}_{(b)} \, \mathbf e^{(b)} = 0 $$

Символу $\vec{r}$ соответствует следующее выражение:

$$ \mathbf r = r^{(a)} \mathbf e_{(a)}, $$

это элемент линейного реперного расслоения и $(x^i, r^{(a)})$ используются при построении атласа расслоенных координат.

В случае вращающегося репера:

$$ \frac{d}{dt} \mathbf r = \left( \frac{d}{dt} r^{(a)} \right) \mathbf e_{(a)} + r^{(a)} \left( \frac{d}{dt} \mathbf e_{(a)} \right) = \mathbf v_c + \mathbf e_{(b)} \, {\omega^{(b)}}_{(a)} r^{(a)}. $$

[pogulyat_vyshel]

SergeyGubanov в сообщении #1368761 писал(а):

Обе формулы не вполне корректны.

Рассмотрим следующее выражение (тоже не вполне корректное):

$$ \vec{v} = \vec{v}_c + [ \vec{\omega} \times \vec{r} ], $$

заметьте, его трудно записать через дифференциальные формы.

На самом деле $\omega$ вообще не имеет тензорных индексов $i$, $j$ и отвечает за вращение репера $\mathbf e_{(a)} = e_{(a)}^i \frac{\partial}{\partial x^i}$ и корепера $\mathbf e^{(a)} = e^{(a)}_i dx^i$ линейного реперного (кореперного) расслоения и, соответственно, имеет один реперный и один кореперный индексы $(a)$, $(b)$:

$$ \frac{d}{dt} \mathbf e_{(a)} - \mathbf e_{(b)} \, {\omega^{(b)}}_{(a)} = 0 $$

Такое ощущение, что вы вычитали слово "расслоение реперов" и оно вам понравилось, и теперь вы считаете, что именно это и есть "на самом деле". А на самом деле в математике есть несколько языков, и что бы рассуждать о корректности надо понимать их все и связи между ними понимать. Чего в вашем случае не наблюдается.

[Утундрий]

arseniiv в сообщении #1282163 писал(а):

сколько ещё веков векторное произведение (и наивные определения псевдовекторов) будет использоваться в образовании и путать людей?

Раньше из умножения кватернионов выводилось векторное произведение, а сейчас проще идти наоборот. Я вот про кватернионы помню только "векторное минус скалярное", чего вполне хватает для вывода всего остального.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Да, для разборок с кватернионами может быть полезно, но там ориентация зафиксирована ($ij = k$, при отражении $k\mapsto -k$ умножение испортится) и никаких проблем, которые псевдовекторы-через-векторное-произведение несут, там не будет. Кроме того с самими кватернионами точно так же надо знать меру; если они используются как алгебра Клиффорда — для работы со штуками, порождаемыми скалярным произведением, и спинорами — то как минимум и иметь в виду, что отождествление векторов с мнимыми частями кватернионов неканоническое (в самой $C\ell(V)$ трёхмерного евклидова $V$ они занимают разные куски, и то, что их можно так совместить, вообще довольно замечательно).