2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Использование векторного произведения в физике
Сообщение10.01.2018, 16:37 
Аватара пользователя


31/08/17
30/01/19
1238
arseniiv в сообщении #1282961 писал(а):
Я уже переделал все псевдовекторы в бивекторы (что обозначил снятием жирности).

о чем надо было предупреждать явно

arseniiv в сообщении #1282961 писал(а):
Бивекторы образуют линейное пространство и сами по себе, над ними линейный оператор будет тензором второго ранга


это конечно, только этот оператор в исходном $\mathbb{R}^3$ будет аксиальным тензором, а ваш посыл от аксиальности избавляться

-- 10.01.2018, 17:41 --

arseniiv в сообщении #1282961 писал(а):
То, что «вообще» он будет тензором четвёртого, никакой intrinsic сложности не добавляет.

ну значит у нас разное представление о сложности

-- 10.01.2018, 17:59 --

Pphantom в сообщении #1282801 писал(а):
Это же фактически уравнения Эйлера (разве что их чаще пишут покомпонентно).

Есть нюансы. Уравнениями Элера обычно называют уравнения на проекции угловой скорости на оси системы координат связанной с телом. Уравнения, которые я выписал, верны в любой системе координат. При этом производная от угловой скорости в этих уравнениях может вычисляться либо относительно системы координат связанной с телом либо относительно инерциальной системы координат. Эти производные в данном случае просто совпадают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование векторного произведения в физике
Сообщение10.01.2018, 17:05 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
16330
Кронштадт
pogulyat_vyshel в сообщении #1282963 писал(а):
Есть нюансы. Уравнениями Элера обычно называют уравнения на проекции угловой скорости на оси системы координат связанной с телом. Уравнения, которые я выписал, верны в любой системе координат. При этом производная от угловой скорости в этих уравнениях может вычисляться либо относительно системы координат связанной с телом либо относительно инерциальной системы координат. Эти производные в данном случае просто совпадают.
Ну потому и появилось слово "фактически". :-) Хотя в качестве примера было бы, на мой взгляд, интереснее использовать именно настоящие уравнения Эйлера - СК, привязанной к главным осям инерции. Как-то кажется, что в этом случае "идейно правильная" замена векторного произведения приведет к сильному усложнению результата.

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование векторного произведения в физике
Сообщение10.01.2018, 17:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
23988
Уфа
pogulyat_vyshel в сообщении #1282963 писал(а):
это конечно, только этот оператор в исходном $\mathbb{R}^3$ будет аксиальным тензором, а ваш посыл от аксиальности избавляться
Если он исходно преобразует псевдовекторы в псевдовекторы, где же он аксиальный? Потом, важнее, вот возьмём конкретное выражение для оператора инерции системы из нескольких жёстко связанных друг с другом точек: $$\sum_i m_i(r_i^2 \mathbf1 - \mathbf r_i\otimes\mathbf r_i^\flat)$$ — где это вам аксиальный тензор? ($\mathbf 1$ — тождественный оператор.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование векторного произведения в физике
Сообщение10.01.2018, 17:38 
Аватара пользователя


31/08/17
30/01/19
1238
arseniiv в сообщении #1282974 писал(а):
Если он исходно преобразует псевдовекторы в псевдовекторы, где же он аксиальный? Потом, важнее, вот возьмём конкретное выражение для оператора инерции системы из нескольких жёстко связанных друг с другом точек: $$\sum_i m_i(r_i^2 \mathbf1 - \mathbf r_i\otimes\mathbf r_i^\flat)$$

Это стандартный оператор инерции, он истинный тензор. Но у вас оператор инерции другой, он определен на пространстве бивекторов, это тензор 4 ранга, ему можно поставить в соответствие тензор второго ранга, но это соответствие будет аксиальным. Подобно соотвествию между векторами и 2-формами
Короче я для себя сделал следующий вывод. То что переписать всю эту науку в терминах бивекторов можно это было ясно с самого начала. Вопрос в целесообразности. При том, что тут вместо векторов (пусть и аксиальных) возникают бивекторы, а вместо оператора инерции четырехвалентные тензоры, для меня это достаточное объяснение почему так не делают даже в очень пижонских курсах механики типа Марсдена. Вы со мной не согласны, в конце концов это вопрос вкуса и личного опыта.

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование векторного произведения в физике
Сообщение10.01.2018, 17:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
8554
Hogtown
pogulyat_vyshel в сообщении #1282983 писал(а):
Вопрос в целесообразности. При том, что тут вместо векторов (пусть и аксиальных) возникают бивекторы, а вместо оператора инерции четырехвалентные тензоры, для меня это достаточное объяснение почему так не делают даже в очень пижонских курсах механики типа Марсдена.

Мне кажется, что это pain without any gain. Можно, конечно, в аппендиксах,...

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование векторного произведения в физике
Сообщение10.01.2018, 18:11 
Аватара пользователя


31/08/17
30/01/19
1238
Red_Herring в сообщении #1282986 писал(а):
Мне кажется, что это pain without any gain. Можно, конечно, в аппендиксах,...

конечно
pogulyat_vyshel в сообщении #1282983 писал(а):
о это соответствие будет аксиальным.

а может и тензорным, черт его знает , считать лень

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование векторного произведения в физике
Сообщение10.01.2018, 18:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
23988
Уфа
pogulyat_vyshel в сообщении #1282983 писал(а):
Но у вас оператор инерции другой, он определен на пространстве бивекторов, это тензор 4 ранга, ему можно поставить в соответствие тензор второго ранга, но это соответствие будет аксиальным. Подобно соотвествию между векторами и 2-формами
pogulyat_vyshel в сообщении #1282990 писал(а):
а может и тензорным, черт его знает , считать лень
Да, по логике там в двух местах применяется звёздочка Ходжа (избавление от лишних включений которой, и вместе с ними зависимости от фиксированной ориентации, и есть, в сущности, моя идея), но если под конец может получиться что-то типа $J\otimes J$ или $J\otimes\mathbf1 + \mathbf1\otimes J$, действительно, надо считать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование векторного произведения в физике
Сообщение15.01.2019, 01:32 
Аватара пользователя


14/11/12
1241
Россия, Нижний Новгород
pogulyat_vyshel в сообщении #1282763 писал(а):
$$J_O\boldsymbol{\dot\omega}+[\boldsymbol\omega,J_O\boldsymbol\omega]=\boldsymbol M_O.$$
arseniiv в сообщении #1282795 писал(а):
$$J_O\dot\omega + \star\omega\wedge\star(J_O\omega) = M_O.$$
Обе формулы не вполне корректны.

Рассмотрим следующее выражение (тоже не вполне корректное):
$$
\vec{v} = \vec{v}_c + [ \vec{\omega} \times \vec{r} ],
$$ заметьте, его трудно записать через дифференциальные формы.

На самом деле $\omega$ вообще не имеет тензорных индексов $i$, $j$ и отвечает за вращение репера $\mathbf e_{(a)} = e_{(a)}^i \frac{\partial}{\partial x^i}$ и корепера $\mathbf e^{(a)} = e^{(a)}_i dx^i$ линейного реперного (кореперного) расслоения и, соответственно, имеет один реперный и один кореперный индексы $(a)$, $(b)$:$$
\frac{d}{dt} \mathbf e_{(a)} - \mathbf e_{(b)} \, {\omega^{(b)}}_{(a)} = 0
$$$$
\frac{d}{dt} \mathbf e^{(a)} + {\omega^{(a)}}_{(b)} \, \mathbf e^{(b)} = 0
$$Символу $\vec{r}$ соответствует следующее выражение:$$
\mathbf r = r^{(a)} \mathbf e_{(a)},
$$ это элемент линейного реперного расслоения и $(x^i, r^{(a)})$ используются при построении атласа расслоенных координат.

В случае вращающегося репера:$$
\frac{d}{dt} \mathbf r = \left( \frac{d}{dt} r^{(a)} \right) \mathbf e_{(a)} + r^{(a)} \left( \frac{d}{dt} \mathbf e_{(a)} \right)
= \mathbf v_c + \mathbf e_{(b)} \, {\omega^{(b)}}_{(a)} r^{(a)}.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование векторного произведения в физике
Сообщение15.01.2019, 13:01 
Аватара пользователя


31/08/17
30/01/19
1238
SergeyGubanov в сообщении #1368761 писал(а):
Обе формулы не вполне корректны.

Рассмотрим следующее выражение (тоже не вполне корректное):
$$
\vec{v} = \vec{v}_c + [ \vec{\omega} \times \vec{r} ],
$$ заметьте, его трудно записать через дифференциальные формы.

На самом деле $\omega$ вообще не имеет тензорных индексов $i$, $j$ и отвечает за вращение репера $\mathbf e_{(a)} = e_{(a)}^i \frac{\partial}{\partial x^i}$ и корепера $\mathbf e^{(a)} = e^{(a)}_i dx^i$ линейного реперного (кореперного) расслоения и, соответственно, имеет один реперный и один кореперный индексы $(a)$, $(b)$:$$
\frac{d}{dt} \mathbf e_{(a)} - \mathbf e_{(b)} \, {\omega^{(b)}}_{(a)} = 0
$$


Такое ощущение, что вы вычитали слово "расслоение реперов" и оно вам понравилось, и теперь вы считаете, что именно это и есть "на самом деле". А на самом деле в математике есть несколько языков, и что бы рассуждать о корректности надо понимать их все и связи между ними понимать. Чего в вашем случае не наблюдается.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group