2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Использование векторного произведения в физике
Сообщение10.01.2018, 16:37 
Аватара пользователя


31/08/17
30/01/19
1238
arseniiv в сообщении #1282961 писал(а):
Я уже переделал все псевдовекторы в бивекторы (что обозначил снятием жирности).

о чем надо было предупреждать явно

arseniiv в сообщении #1282961 писал(а):
Бивекторы образуют линейное пространство и сами по себе, над ними линейный оператор будет тензором второго ранга


это конечно, только этот оператор в исходном $\mathbb{R}^3$ будет аксиальным тензором, а ваш посыл от аксиальности избавляться

-- 10.01.2018, 17:41 --

arseniiv в сообщении #1282961 писал(а):
То, что «вообще» он будет тензором четвёртого, никакой intrinsic сложности не добавляет.

ну значит у нас разное представление о сложности

-- 10.01.2018, 17:59 --

Pphantom в сообщении #1282801 писал(а):
Это же фактически уравнения Эйлера (разве что их чаще пишут покомпонентно).

Есть нюансы. Уравнениями Элера обычно называют уравнения на проекции угловой скорости на оси системы координат связанной с телом. Уравнения, которые я выписал, верны в любой системе координат. При этом производная от угловой скорости в этих уравнениях может вычисляться либо относительно системы координат связанной с телом либо относительно инерциальной системы координат. Эти производные в данном случае просто совпадают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование векторного произведения в физике
Сообщение10.01.2018, 17:05 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
16330
Кронштадт
pogulyat_vyshel в сообщении #1282963 писал(а):
Есть нюансы. Уравнениями Элера обычно называют уравнения на проекции угловой скорости на оси системы координат связанной с телом. Уравнения, которые я выписал, верны в любой системе координат. При этом производная от угловой скорости в этих уравнениях может вычисляться либо относительно системы координат связанной с телом либо относительно инерциальной системы координат. Эти производные в данном случае просто совпадают.
Ну потому и появилось слово "фактически". :-) Хотя в качестве примера было бы, на мой взгляд, интереснее использовать именно настоящие уравнения Эйлера - СК, привязанной к главным осям инерции. Как-то кажется, что в этом случае "идейно правильная" замена векторного произведения приведет к сильному усложнению результата.

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование векторного произведения в физике
Сообщение10.01.2018, 17:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
23988
Уфа
pogulyat_vyshel в сообщении #1282963 писал(а):
это конечно, только этот оператор в исходном $\mathbb{R}^3$ будет аксиальным тензором, а ваш посыл от аксиальности избавляться
Если он исходно преобразует псевдовекторы в псевдовекторы, где же он аксиальный? Потом, важнее, вот возьмём конкретное выражение для оператора инерции системы из нескольких жёстко связанных друг с другом точек: $$\sum_i m_i(r_i^2 \mathbf1 - \mathbf r_i\otimes\mathbf r_i^\flat)$$ — где это вам аксиальный тензор? ($\mathbf 1$ — тождественный оператор.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование векторного произведения в физике
Сообщение10.01.2018, 17:38 
Аватара пользователя


31/08/17
30/01/19
1238
arseniiv в сообщении #1282974 писал(а):
Если он исходно преобразует псевдовекторы в псевдовекторы, где же он аксиальный? Потом, важнее, вот возьмём конкретное выражение для оператора инерции системы из нескольких жёстко связанных друг с другом точек: $$\sum_i m_i(r_i^2 \mathbf1 - \mathbf r_i\otimes\mathbf r_i^\flat)$$

Это стандартный оператор инерции, он истинный тензор. Но у вас оператор инерции другой, он определен на пространстве бивекторов, это тензор 4 ранга, ему можно поставить в соответствие тензор второго ранга, но это соответствие будет аксиальным. Подобно соотвествию между векторами и 2-формами
Короче я для себя сделал следующий вывод. То что переписать всю эту науку в терминах бивекторов можно это было ясно с самого начала. Вопрос в целесообразности. При том, что тут вместо векторов (пусть и аксиальных) возникают бивекторы, а вместо оператора инерции четырехвалентные тензоры, для меня это достаточное объяснение почему так не делают даже в очень пижонских курсах механики типа Марсдена. Вы со мной не согласны, в конце концов это вопрос вкуса и личного опыта.

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование векторного произведения в физике
Сообщение10.01.2018, 17:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
8554
Hogtown
pogulyat_vyshel в сообщении #1282983 писал(а):
Вопрос в целесообразности. При том, что тут вместо векторов (пусть и аксиальных) возникают бивекторы, а вместо оператора инерции четырехвалентные тензоры, для меня это достаточное объяснение почему так не делают даже в очень пижонских курсах механики типа Марсдена.

Мне кажется, что это pain without any gain. Можно, конечно, в аппендиксах,...

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование векторного произведения в физике
Сообщение10.01.2018, 18:11 
Аватара пользователя


31/08/17
30/01/19
1238
Red_Herring в сообщении #1282986 писал(а):
Мне кажется, что это pain without any gain. Можно, конечно, в аппендиксах,...

конечно
pogulyat_vyshel в сообщении #1282983 писал(а):
о это соответствие будет аксиальным.

а может и тензорным, черт его знает , считать лень

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование векторного произведения в физике
Сообщение10.01.2018, 18:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
23988
Уфа
pogulyat_vyshel в сообщении #1282983 писал(а):
Но у вас оператор инерции другой, он определен на пространстве бивекторов, это тензор 4 ранга, ему можно поставить в соответствие тензор второго ранга, но это соответствие будет аксиальным. Подобно соотвествию между векторами и 2-формами
pogulyat_vyshel в сообщении #1282990 писал(а):
а может и тензорным, черт его знает , считать лень
Да, по логике там в двух местах применяется звёздочка Ходжа (избавление от лишних включений которой, и вместе с ними зависимости от фиксированной ориентации, и есть, в сущности, моя идея), но если под конец может получиться что-то типа $J\otimes J$ или $J\otimes\mathbf1 + \mathbf1\otimes J$, действительно, надо считать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование векторного произведения в физике
Сообщение15.01.2019, 01:32 
Аватара пользователя


14/11/12
1241
Россия, Нижний Новгород
pogulyat_vyshel в сообщении #1282763 писал(а):
$$J_O\boldsymbol{\dot\omega}+[\boldsymbol\omega,J_O\boldsymbol\omega]=\boldsymbol M_O.$$
arseniiv в сообщении #1282795 писал(а):
$$J_O\dot\omega + \star\omega\wedge\star(J_O\omega) = M_O.$$
Обе формулы не вполне корректны.

Рассмотрим следующее выражение (тоже не вполне корректное):
$$
\vec{v} = \vec{v}_c + [ \vec{\omega} \times \vec{r} ],
$$ заметьте, его трудно записать через дифференциальные формы.

На самом деле $\omega$ вообще не имеет тензорных индексов $i$, $j$ и отвечает за вращение репера $\mathbf e_{(a)} = e_{(a)}^i \frac{\partial}{\partial x^i}$ и корепера $\mathbf e^{(a)} = e^{(a)}_i dx^i$ линейного реперного (кореперного) расслоения и, соответственно, имеет один реперный и один кореперный индексы $(a)$, $(b)$:$$
\frac{d}{dt} \mathbf e_{(a)} - \mathbf e_{(b)} \, {\omega^{(b)}}_{(a)} = 0
$$$$
\frac{d}{dt} \mathbf e^{(a)} + {\omega^{(a)}}_{(b)} \, \mathbf e^{(b)} = 0
$$Символу $\vec{r}$ соответствует следующее выражение:$$
\mathbf r = r^{(a)} \mathbf e_{(a)},
$$ это элемент линейного реперного расслоения и $(x^i, r^{(a)})$ используются при построении атласа расслоенных координат.

В случае вращающегося репера:$$
\frac{d}{dt} \mathbf r = \left( \frac{d}{dt} r^{(a)} \right) \mathbf e_{(a)} + r^{(a)} \left( \frac{d}{dt} \mathbf e_{(a)} \right)
= \mathbf v_c + \mathbf e_{(b)} \, {\omega^{(b)}}_{(a)} r^{(a)}.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование векторного произведения в физике
Сообщение15.01.2019, 13:01 
Аватара пользователя


31/08/17
30/01/19
1238
SergeyGubanov в сообщении #1368761 писал(а):
Обе формулы не вполне корректны.

Рассмотрим следующее выражение (тоже не вполне корректное):
$$
\vec{v} = \vec{v}_c + [ \vec{\omega} \times \vec{r} ],
$$ заметьте, его трудно записать через дифференциальные формы.

На самом деле $\omega$ вообще не имеет тензорных индексов $i$, $j$ и отвечает за вращение репера $\mathbf e_{(a)} = e_{(a)}^i \frac{\partial}{\partial x^i}$ и корепера $\mathbf e^{(a)} = e^{(a)}_i dx^i$ линейного реперного (кореперного) расслоения и, соответственно, имеет один реперный и один кореперный индексы $(a)$, $(b)$:$$
\frac{d}{dt} \mathbf e_{(a)} - \mathbf e_{(b)} \, {\omega^{(b)}}_{(a)} = 0
$$


Такое ощущение, что вы вычитали слово "расслоение реперов" и оно вам понравилось, и теперь вы считаете, что именно это и есть "на самом деле". А на самом деле в математике есть несколько языков, и что бы рассуждать о корректности надо понимать их все и связи между ними понимать. Чего в вашем случае не наблюдается.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: fred1996


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group