2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Использование векторного произведения в физике
Сообщение07.01.2018, 23:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
25086
Уфа

(Очередное ворчание)

Интересно, сколько ещё веков векторное произведение (и наивные определения псевдовекторов) будет использоваться в образовании и путать людей? Особенно по поводу вращения, где важна отнюдь не смена знака при отражении, а алгебра $\mathfrak{so}(n)$, образуемая бивекторами. Вот если бы у нас было 4-мерное пространство, псевдовекторы и векторное произведение бы так прочно не засели…

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему векторное произведение является ПРАВЫМ ?
Сообщение09.01.2018, 15:15 


12/10/15

174
Насколько я помню, векторное произведение имеет прямой физический смысл в электромагнитном взаимодействии - векторы электростатических сил перпендикулярны магнитным. А другие прямые физические применения векторного произведения где еще встречаются?

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему векторное произведение является ПРАВЫМ ?
Сообщение09.01.2018, 15:22 
Заслуженный участник


28/12/12
5902
valambar в сообщении #1282640 писал(а):
векторы электростатических сил перпендикулярны магнитным

В общем виде это утверждение неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему векторное произведение является ПРАВЫМ ?
Сообщение09.01.2018, 17:31 
Аватара пользователя


31/08/17
1482
arseniiv в сообщении #1282163 писал(а):
есно, сколько ещё веков векторное произведение (и наивные определения псевдовекторов) будет использоваться в образовании и путать людей? Особенно по поводу вращения, где важна отнюдь не смена знака при отражении, а алгебра $\mathfrak{so}(n)$, образуемая бивекторами. Вот если бы у нас было 4-мерное пространство, псевдовекторы и векторное произведение бы так прочно не засели…



а вы уравнения движения твердого тела напишите в этих терминах, и сразу разговор станет предметным

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему векторное произведение является ПРАВЫМ ?
Сообщение09.01.2018, 20:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
25086
Уфа
pogulyat_vyshel в сообщении #1282674 писал(а):
а вы уравнения движения твердого тела напишите в этих терминах, и сразу разговор станет предметным
Вы так говорите, как будто вывести это что-то труднореализуемое и более неестественное, чем с использованием векторного произведения. Векторное произведение определимо как звёздочка Ходжа от внешнего, вот так его везде и раскроем. После чего поснимаем с бывших псевдовекторов звёздочки и соответственно подкорректируем смешаные и двойные векторные произведения, в которые те входят.

Какие конкретные препятствия видите? Сообщите, и я с радостью прокомментирую. А вот выписывать всё здесь по одному мановению руки, извините, не стану.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему векторное произведение является ПРАВЫМ ?
Сообщение09.01.2018, 20:41 
Аватара пользователя


31/08/17
1482
arseniiv в сообщении #1282712 писал(а):
Какие конкретные препятствия видите?

Абсолютно ни каких не вижу. Вижу усложнение формализма в том, что вы предлагаете. Потому, хотя бы, что бивектор это двухвалентный тензор, а вектор (хоть и аксиальный) -- одновалентный. Угловая скорость, например, имеет прозрачный физический смысл, а что бы придать физический смысл соответствующему бивектору, все равно придется вводить угловую скорость.
arseniiv в сообщении #1282712 писал(а):
А вот выписывать всё здесь по одному мановению руки, извините, не стану.

Доказывать, преимущество ваших предложений перед стандартным формализмом это ваша задача. А если вы отказываетесь это делать "по одному мановению" то это значит, что вы просто занимаетесь болтовней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему векторное произведение является ПРАВЫМ ?
Сообщение09.01.2018, 21:32 
Заслуженный участник


01/06/15
937
С.-Петербург

(pogulyat_vyshel)

pogulyat_vyshel в сообщении #1282716 писал(а):
Угловая скорость, например, имеет прозрачный физический смысл, а что бы придать физический смысл соответствующему бивектору
Извините, что вмешиваюсь, но у Вас немного странное понимание прозрачности и физического смысла. Учащимся наоборот часто трудно понять, почему вращение и его угловую скорость надо ассоциировать с каким-то вектором (конструкция выглядит весьма искусственной). Ну, вдоль оси вращения - ещё ладно, но почему направление вращения должно указываться не в плоскости вращения, а "направлением" оси (да ещё и зависеть от выбора системы координат, хотя физическое вращение от выбора с.к. не зависит) - это загадка. У соответствующего бивектора физический смысл куда проще: один вектор задаёт центр вращения, другой - линейную скорость точки при вращении отн. центра (тут и с направлением вопросов нет). Как говорится, вся механика процесса перед глазами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему векторное произведение является ПРАВЫМ ?
Сообщение09.01.2018, 21:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
25086
Уфа
pogulyat_vyshel в сообщении #1282716 писал(а):
А если вы отказываетесь это делать "по одному мановению" то это значит, что вы просто занимаетесь болтовней.
Или я просто не хочу тратить время на выписывание/переписывание того, что и так всем понятно.

pogulyat_vyshel в сообщении #1282716 писал(а):
Угловая скорость, например, имеет прозрачный физический смысл, а что бы придать физический смысл соответствующему бивектору, все равно придется вводить угловую скорость.
Ну вот мы и приехали, называется. А вот представьте четырёхмерное евклидово пространство, у чего у вас там будет прозрачный физический смысл?

Разложимый бивектор — это элемент плоскости поворота, его ориентация совпадает с ориентацией вращения и величина задаёт величину поворота. Произвольный задаст комбинацию поворотов в ортогональных плоскостях (потому что существует сумма соответствующих разложимых, равная ему). В любой размерности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование векторного произведения в физике
Сообщение10.01.2018, 00:22 
Аватара пользователя


31/08/17
1482
Хорошо, я повторю вопрос, который уже задавал. Пусть у нас имеется твердое тело с неподвижной точкой $O$. Теорема об изменении кинетического момента имеет вид:
$$J_O\boldsymbol{\dot\omega}+[\boldsymbol\omega,J_O\boldsymbol\omega]=\boldsymbol M_O.$$
Напишите плз это уравнение в желательных вам терминах. Особо меня интересуют члены, содержащие оператор инерции $J_O$ т. e. скажем член $J_O\boldsymbol\omega$

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование векторного произведения в физике
Сообщение10.01.2018, 03:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
25086
Уфа
Спасибо за конкретику. Вот смотрю я на $J_O$ и осознаю, что к чему-то кроме псевдовекторов он традиционно-то и не применяется! Это значит, что если мы сразу будем считать, что это оператор на бивекторах, ничего вокруг него менять и не нужно. Остаётся векторное произведение псевдовектора на псевдовектор, которое можно заменить механически: было $\mathbf u\times\mathbf v = \mathbf w$ для псевдовекторов $\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w$, стало $\star u\times\star v = \star w$ для бивекторов $u,v,w$, и дальше $\star(\star u\wedge\star v) = \star w$ и $\star u\wedge\star v = w$. (Вообще, видимо, $A\times B$ в случае псевдовекторов $A,B$ должно бы переводиться как $\star^{-1}(A\wedge B)$, а не как $\star(A\wedge B)$, но по трёхмерному евклидову случаю никак нельзя знать, $\star$ или $\star^{-1}$! И это, я считаю, одна из проблем формул с $\times$ — в зависимости от того, сколько аргументов псевдовекторы, имеется в виду три вообще-то разных операции. Вывод формулы из первых принципов дал бы возможность знать точно, но вы не привели ссылок — а было бы неплохо, вместо угадайки можно было бы знать точно, как и в каком объёме переделывать.) Так что в результате имеем
$$J_O\dot\omega + \star\omega\wedge\star(J_O\omega) = M_O.$$ Пусть кто-нибудь проверит.

В компонентах $$(\star u\wedge\star v)_{kk'} = \frac12|\det g| u^{ij} v^{i'j'} (\varepsilon_{ijk} \varepsilon_{i'j'k'} - \varepsilon_{ijk'} \varepsilon_{i'j'k}),$$я тут ничего упростить не смог (чтобы найти какое-то более вменяемое выражение). Сама формула непростая (и вообще странная какая-то как и само векторное произведение двух псевдовекторов).

Предвижу два ответа: «ну и посмотрите, что короче» по поводу $\star\omega\wedge\star(J_O\omega)$ против $\boldsymbol\omega\times J_O\boldsymbol\omega$, но это не аргумент, и «где же определение нового $J_O$?», и оно будет попозже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование векторного произведения в физике
Сообщение10.01.2018, 03:37 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
17968
Кронштадт
arseniiv в сообщении #1282795 писал(а):
Вывод формулы из первых принципов дал бы возможность знать точно, но вы не привели ссылок
Это же фактически уравнения Эйлера (разве что их чаще пишут покомпонентно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование векторного произведения в физике
Сообщение10.01.2018, 09:27 
Аватара пользователя


31/08/17
1482
arseniiv в сообщении #1282795 писал(а):
Вот смотрю я на $J_O$ и осознаю, что к чему-то кроме псевдовекторов он традиционно-то и не применяется! Это значит, что если мы сразу будем считать, что это оператор на бивекторах, ничего вокруг него менять и не нужно.


Оператор переводящий бивекторы в бивекторы это тензор 4 ранга т.е. был тензор второго ранга стал тензор 4 ранга. В чем состоит упрощение?
arseniiv в сообщении #1282795 писал(а):
в результате имеем
$$J_O\dot\omega + \star\omega\wedge\star(J_O\omega) = M_O.$$

$\star\omega$ это тензор 2 ранга, внешнее произведение тензоров второго ранга это тензор 4 ранга. В левой части формулы тензор 2 ранга $J_O\dot\omega$ складывается с тензором 4 ранга $\star\omega\wedge\star(J_O\omega) $
Что-то тут не сходится, то ли вы еще одну звезду забыли привесить то ли что
arseniiv в сообщении #1282795 писал(а):
но это не аргумент

аргумент и еще какой

-- 10.01.2018, 10:44 --

Ой как это я сразу не заметил, кососимметрический тензор 4 ранга в $\mathbb{R}^3$ это тождественный ноль: $\star\omega\wedge\star(J_O\omega)\equiv 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование векторного произведения в физике
Сообщение10.01.2018, 14:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70091
pogulyat_vyshel в сообщении #1282824 писал(а):
$\star\omega$ это тензор 2 ранга

По какому учебнику вы берёте определение $\star$?

Потому что не хочется вас подозревать в элементарном невладении аппаратом, и в такой мотивации неприятия позиции оппонентов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование векторного произведения в физике
Сообщение10.01.2018, 15:25 


27/08/16
5371

(Оффтоп)

Затаившийся охотник выскочил из засады, чтобы уложить слона.

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование векторного произведения в физике
Сообщение10.01.2018, 16:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
25086
Уфа
pogulyat_vyshel в сообщении #1282824 писал(а):
$\star\omega$ это тензор 2 ранга
$(3-2)$-го ранга. Я уже переделал все псевдовекторы в бивекторы (что обозначил снятием жирности).

pogulyat_vyshel в сообщении #1282824 писал(а):
Оператор переводящий бивекторы в бивекторы это тензор 4 ранга т.е. был тензор второго ранга стал тензор 4 ранга. В чем состоит упрощение?
Бивекторы образуют линейное пространство и сами по себе, над ними линейный оператор будет тензором второго ранга. То, что «вообще» он будет тензором четвёртого, никакой intrinsic сложности не добавляет.

Вообще я постараюсь накопить желание и освоить соответствущую часть литературы
Pphantom в сообщении #1282801 писал(а):
Это же фактически уравнения Эйлера (разве что их чаще пишут покомпонентно).
и нарисовать уравнение нормально, а не угадайкой по трёхмерному, но пока не накопилось. Буду признателен, если кто-то это сделает за меня. Пока мне точно не нравится, как туда входит звёздочка Ходжа, тут по-хорошему ещё остаётся показывать независимость от выбора ориентации.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group