ВТФ и дискретная геометрия

[serval]

Пусть выполняется равенство $a^3+b^3=c^3$

Тогда выполняется и равенство $3(a+b)(c-a)(c-b)=(a+b-c)^3$ и при этом $t=\text{НОД}\ (c-a,b)$

откуда видно, что $(a+b-c)^3$ кратно $3$

Обозначим $c-a=rt,\ b=lt$ и после подстановки получим

$\displaystyle 3\ \frac{(a+b)(c-b)}{(c-a)^2}=\left(\displaystyle \frac{l}{r}-1\right)^3$ где $l$ и $r$ - взаимно простые и $l>r$

Можно ли получить из этого уравнения содержательные следствия?

[Someone]

serval в сообщении #1365801 писал(а):

Можно ли получить из этого уравнения содержательные следствия?

Не знаю. Вы это выражение придумали, Вы его и исследуйте.
Однако известно, что при взаимно простых $a,b,c$ либо $t=1$, либо $t=3^k$, где $k\geqslant 2$ (и тогда $c-a$ делится на $3^{3k-1}$ и не делится на бо́льшую степень тройки).

[serval]

Спасибо.
Вообще-то, я его получил Буду исследовать, но не хочется тратить время на изобретение велосипедов, поэтому и спрашиваю - вдруг подобные уравнения уже изучены.

Someone в сообщении #1365896 писал(а):

при взаимно простых $a,b,c$ либо $t=1$, либо $t=3^k$, где $k\geqslant 2$ (и тогда $c-a$ делится на $3^{3k-1}$ и не делится на бо́льшую степень тройки)

Это для кубов или для любой степени слагаемых $n>2$ ?

[Someone]

serval в сообщении #1365904 писал(а):

Это для кубов или для любой степени слагаемых $n>2$ ?

Для кубов. Для простого показателя $n$ НОД будет степенью $n$, но какие именно степени возможны, зависит от $n$ (я имею в виду элементарные методы доказательства). По поводу третьей степени я тут оставлял файл Fermat-3---.pdf.

[serval]

Спасибо, забрал.

Однако, суть в том, что если выполняется исходное уравнение $a^3+b^3=c^3$ то наибольший общий делитель должны иметь не числа $a,b,c$ а числа $b$ и $(c-a)$ .
Это хорошо видно в примитивных пифагоровых тройках:

$3^2+4^2=5^2,\ t=\text{НОД}\ (4,\ 5-3)=2$
$5^2+12^2=13^2,\ t=\text{НОД}\ (12,\ 13-5)=4$
$8^2+15^2=17^2,\ t=\text{НОД}\ (15,\ 17-8)=3$
и так далее.

То же самое должно выполняться для кубов - здесь $t$ имеет смысл числа шагов за которое разность объемов растущих пирамид примет значение $(a+rt)^3-(lt)^3=a^3$ (или что то же самое $c^3-b^3=a^3$) и это число должно быть натуральным.

Собственно, ВТФ сводится задаче о разности объёмов растущих $n$-мерных пирамид одна из которых начинает рост от нулевого объема, а вторая от начального объёма $a^n$ где требуется найти время через которое эта разность принимает исходное значение $a^n$. Тройка $a^n+b^n=c^n$ существует если это время является натуральным числом.
При $n=1$ скорости роста одинаковы и это время может принимать любое натуральное значение, при $n=2$ скорости роста уже различны и из этих соображений можно получить известное представление членов примитивной пифагоровой тройки $a=m^2-n^2,\ b=2mn,\ c=m^2+n^2$ а красивого продолжения на $n=3$ я пока не вижу.

[Someone]

serval в сообщении #1365994 писал(а):

наибольший общий делитель должны иметь не числа $a,b,c$ а числа $b$ и $(c-a)$

А я где-нибудь упоминал наибольший общий делитель $a$, $b$ и $c$? Я всего лишь упомянул стандартное предположение, что числа $a$, $b$ и $c$ (попарно) взаимно простые.

Someone в сообщении #1365896 писал(а):

Однако известно, что при взаимно простых $a,b,c$ либо $t=1$, либо $t=3^k$

Виноват, наврал. Могут быть и другие НОД, не только степени тройки. Перепутал с другим утверждением.

[serval]

Общеизвестно представление примитивных пифагоровых троек $(a,b,c)$ парой чисел $(m,n)$:

$a=m^2-n^2,\ b=2mn,\ c=m^2+n^2$ которые могут быть вычислены по формулам $m=\displaystyle{\sqrt{\frac{c+a}{2}}},\ n=\displaystyle{\sqrt{\frac{c-a}{2}}}$ .

Получим это представление без использования радикалов.

Для этого решим следующую задачу.

Пусть в момент времени $t_0=0$ в положительном направлении оси $x$ начинают движение две точки: $l$ и $r$ .

В момент $t_0$ точка $l$ имеет координату $x_l=0$ и скорость $v_l$ , а точка $r$ - координату $x_r=a$ и скорость $v_r$, при этом $v_l>v_r$ (точка $l$ догоняет точку $r$).

Точки останавливаются в момент времени $t$ в который выполняется условие: $a^2+v_{l}^{2} t^2=(a+v_{r}t)^2$ .

Примем обозначения: $a=a,\ b=v_l t,\ c=a+v_r t$ .

Какой вид будут иметь величины $(a,b,c)$ в момент времени $t$ ?

Получим значение времени $t$ :

$a^2+v_{l}^{2} t^2=(a+v_{r}t)^2$

$a^2+v_{l}^{2} t^2=a^2+2a v_{r}t+v_{r}^{2}t^2$

$(v_{l}^{2}-v_{r}^{2})t=2a v_r$

$t=a \displaystyle \frac{2v_r}{v_{l}^{2}-v_{r}^{2}}$

Подставив полученное значение $t$ в формулы величин $b$ и $c$ найдём их выражения через величины $v_{l}$ и $v_{r}$ :

$b=a \displaystyle \frac{2v_{l}v_r}{v_{l}^{2}-v_{r}^{2}};\ \displaystyle \frac{b}{a}=\displaystyle \frac{2v_{l}v_r}{v_{l}^{2}-v_{r}^{2}}$

$c=a+a \displaystyle \frac{2v_{r}^{2}}{v_{l}^{2}-v_{r}^{2}};\ \displaystyle \frac{c}{a}=\displaystyle \frac{v_{l}^{2}+v_{r}^{2}}{v_{l}^{2}-v_{r}^{2}}$

откуда получим искомые представления тройки $(a,b,c)$ в явном виде:

$a=v_{l}^{2}-v_{r}^{2}\ ,\ b=2v_{l}v_r\ ,\ c=v_{l}^{2}+v_{r}^{2}$

что совпадает с общеизвестным представлением с точностью до обозначений $m=v_{l}\ ,\ n=v_{r}$ .

Для кубов, как и для любой степени $n$ , выражения для соответствующих $n$-троек должны получаться аналогично при выполнения соответствующего условия для времени остановки $t$ :

$a^n+v_{l}^{n} t^n=(a+v_{r}t)^n$

Постараюсь в ближайшее время получить выражения $(a,b,c)$ для $n=3$ .

[serval]

Навскидку, представления величин $b$ и $c$ для степени $n=3$ содержат слагаемые кратные $\sqrt{3}$ .

[serval]

Доказательство ВТФ для степени $n=3$

Принцип доказательства

Общеизвестно представление примитивных пифагоровых троек $(a,b,c)$ парами чисел $(m,n)$ .

Получим аналогичное представление кубических троек.

Числа $b$ и $c$ в полученном представлении не являются натуральными.

Ход доказательства

Алгоритм представление примитивных пифагоровых троек $(a,b,c)$ парами чисел $(m,n)$ был приведён выше, он состоит из двух шагов:

1. Найти значение $t$ из условия: $a^2 + v_l^2 t^2 = (a + v_r t)^2$

2. Подставив полученное значение $t$ в выражения $b=v_l t$ и $c=a+v_r t$ получить искомые представления в явном виде

Алгоритм представление кубических троек $(a,b,c)$ парами чисел $(m,n)$ аналогичен:

1. Найти значение $t$ из условия: $a^3 + v_l^3 t^3 = (a + v_r t)^3$

2. Подставив полученное значение $t$ в выражения $b=v_l t$ и $c=a+v_r t$ получить искомые представления в явном виде

Проведя необходимые вычисления, получим следующий вид кубической тройки $(a,b,c)$ :

$a=2(v_l^3-v_r^3)$

$b=v_l (3v_r^2 \pm \sqrt{3}\sqrt{r(4l^3-r^3)})$

$c=2(v_l^3-v_r^3)+v_r (3v_r^2 \pm \sqrt{3}\sqrt{r(4l^3-r^3)})$

Убедиться в верности указанных представлений можно непосредственной проверкой - подставив их кубы в условие ВТФ: $a^3+b^3=c^3$

Из полученных представлений величин $b$ и $c$ видно, что они содержат слагаемые кратные $\sqrt{3}$ , а значит не могут быть натуральными числами.

Теорема доказана $\blacksquare$

P.S. Величина $t$ , играющая роль дискретного времени, имеет вид $t=\text{НОД}\ (b,c-a)$ , а величины $v_l$ и $v_r$ , играющие роль дискретных скоростей, - вид $v_l=\displaystyle \frac{b}{t}$ и $v_r=\displaystyle \frac{c-a}{t}$ соответственно.

-- Чт янв 24, 2019 14:44:02 --

Случаи ВТФ для степеней $n>3$ должны доказываться аналогично.

Принцип доказательства для любой степени $n$ основан на том, что число $k^n$ может быть представлено как объём $n$-мерной ортогональной пирамиды, который нелинейно растёт при линейном росте ребра длины $1k$ :

$k^1=\displaystyle \frac{1}{1!} (1k)$

$k^2=\displaystyle \frac{1}{2!} (1k)(2k)$

$k^3=\displaystyle \frac{1}{3!} (1k)(2k)(3k)$

и так далее

где $1k,\ 2k,\ 3k \ldots$ - длины взаимно ортогональных рёбер пирамиды.

[Someone]

serval в сообщении #1371398 писал(а):

Из полученных представлений величин $b$ и $c$ видно, что они содержат слагаемые кратные $\sqrt{3}$ , а значит не могут быть натуральными числами.

Почему не могут-то? Просто подкоренное выражение в $\sqrt{r(4l^3-r^3)}$ должно делиться на $3$ в нечётной степени.

[serval]

Опечатки всё же вкрались.

$\sqrt{r(4l^3-r^3)}$ следует читать как $\sqrt{v_r(4v_l^3-v_r^3)}$

Вы правы. Ясно, что указанное вами условие не должно выполняться, но почему - нужно искать.

[serval]

Уважаемый Someone, правильно ли я понимаю, что из указанного мной представления следует, что существование натуральной кубической тройки $(a,b,c)$ удовлетворяющей условию $a^3+b^3=c^3$ равносильно существованию другой натуральной тройки $(n,m,k)$ удовлетворяющей условию $n(4m^3-n^3)=3k^2$ ?

[Someone]

Похоже.

[serval]

Примитивные пифагоровы тройки $a^2+b^2=c^2$ бывают двух типов.

Первый тип: $a$ - нечётное, $b$ - чётное. Она представляется в виде: $a=l^2-r^2,\ b=2lr,\ c=l^2+r^2$ . Пример: $5^2+12^2=13^2$ , где $l=3,\ r=2$ .

Второй тип: $a$ - чётное, $b$ - нечётное. Она представляется в виде: $a=\displaystyle \frac{l^2-r^2}{2},\ b=lr,\ c=\displaystyle \frac{l^2+r^2}{2}$ . Пример: $8^2+15^2=17^2$ , где $l=5,\ r=3$ .

То есть, вид членов пифагоровой тройки зависит от соотношения чётностей её слагаемых.

В обоих случаях $t=\text {НОД}\ (c-a,\ b)$ имеет вид $t=\displaystyle \frac{2\ ar}{l^2-r^2}$ и принимает значения $t_1=2r$ и $t_2=r$ для первого и второго типов соответственно.

То есть, вид $t$ не зависит от соотношения чётностей слагаемых пифагоровой тройки.

[vasili]

Уважаемый serval! Проведенный Вами пример второго типа соответствует первому. Так если $l=4$, а $r = 1$, то $17 = 4^2 + 1^2 $, $15 = 4^2 - 1^2$ и $8 = 2\cdot 4\cdot 1$.
Кстати часть Пифагоровых троек обладают и таким свойством. Пусть $(a b c, 13) =1$, тогда
$c^2 - a b\equiv 0\mod 13$
или
$c^2 + a b\equiv 0\mod 13$.

Пример: $17^2 - 8\cdot15 = 169\equiv 0\mod13$