2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 24, 25, 26, 27, 28  След.
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение28.06.2019, 18:41 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Мне на это указали и я поправился. И в последнем посте явно привел условие: НОД > 1.
НОД в указанном мной виде всегда существует и всегда > 1. И это не просто так. Почему - я объяснял. Но кто же вникает в объяснения?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение28.06.2019, 18:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17747
Москва

(serval)

serval в сообщении #1402063 писал(а):
Почему - я объяснял. Но кто же вникает в объяснения?
Нет в мире справедливости…

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение28.06.2019, 18:47 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь

(Оффтоп)

Справедливость нужна на суде, а здесь мы развлекаемся.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение28.06.2019, 19:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17747
Москва

(serval)

serval в сообщении #1402068 писал(а):
Справедливость нужна на суде
Вообще-то, считается, что в суде должен быть закон, а не справедливость.
Ладно, давайте не будем развивать эту тему. Просто меня раздражают неточные формулировки. Хотя я догадался, что Вас интересуют случаи, когда общий делитель больше $1$, но ваша формулировка была неточной. Считайте меня занудой.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение28.06.2019, 19:40 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь

(Оффтоп)

Я ни разу не посетовал на такое "занудство". Напротив, всегда благодарил за подобные указания. Они не раз помогали мне строго определить то, что кажется очевидным в силу привычности.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение29.06.2019, 14:12 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Условия существования примитивных пифагоровых и кубических троек.

Пусть

$t=\text{НОД}(c-a,b)\ ;\ c-a=rt\ ;\ b=lt$

$t>1\ ;\ a<b<c\ ;\ r<l\ ;\ a,b,c,r,l,t \in N$

Тогда условие существования примитивной пифагоровой тройки $a^2+b^2=c^2$ таково:

$l(a+b-c)=r(a+c-b)$

а условие существования примитивной кубической тройки $a^3+b^3=c^3$ таково:

$lb^2=r(a^2+ac+c^2)$

Интересно, что основания элементов кубической тройки сгруппировались относительно величин через которые они представлены:

$b=f(l)\ ;\ c-a=f(r)\ .$

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение03.07.2019, 11:43 


19/04/14
321
serval в сообщении #1402178 писал(а):
а условие существования примитивной кубической тройки $a^3+b^3=c^3$ таково:

$lb^2=r(a^2+ac+c^2)$

Уважаемый serval!
Вами в известное равенство $b^3=(c-a)(a^2+ac+c^2)$ введено сокращаемое $t$ $$\ \displaystyle \frac{b}{t}b^2=\ \displaystyle \frac{c-a}{t}(a^2+ac+c^2)$$ Все равно как сокращаемое свойство. Какие же новые свойства в результате мы получаем?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение03.07.2019, 22:37 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Уважаемый(ая?) binki!

$t$ - не любое натуральное число, а $\text{НОД}(c-a,b)\ .$

Чуть позже я покажу условия существования примитивных степенных троек в матричном виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение04.07.2019, 08:40 


19/04/14
321
serval в сообщении #1403054 писал(а):
$t$ - не любое натуральное число, а $\text{НОД}(c-a,b)\ .$

Чуть позже я покажу условия существования примитивных степенных троек в матричном виде.

Надо разобраться в элементарном. Известно, что $b$ составное из взаимно простых чисел $b=b_1b_2$. Следовательно, $\text{НОД}(c-a,b)\ =b_1$. Так как $b_1|(c-a)$ в любом случае ($3 | b_1$ или $3\not|\quad b_1$ ) . Какие новые свойства появляются после сокращения на $b_1$ ? Кроме того, что куб $b_1^3$ стал квадратом.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение10.07.2019, 11:00 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Уважаемый binki!

Это сокращение не добавляет новых свойств. Оно лишь явным образом:
1. указывает на то, что оставшиеся после сокращения на $t$ числа $l$ и $r$ являются взаимно простыми,
2. позволяет увидеть структуру сомножителя при $r$.

Матричная структура степенных троек для различных степеней $n$ такова:

$n=1:\ l = r
\begin{vmatrix}
(c+a)^0 & 0\\
0 & 1\\
\end{vmatrix}
$

$n=2:\ lb = r
\begin{vmatrix}
(c+a)^1 & 0\\
0 & 1\\
\end{vmatrix}$

$n=3:\ lb^2 = r
\begin{vmatrix}
(c+a)^2 & ca\\
1 & 1\\
\end{vmatrix}$

$n=4:\ lb^3 = r
\begin{vmatrix}
(c+a)^3 & ca\\
2c+2a & 1\\
\end{vmatrix}$

$n=5:\ lb^4 = r
\begin{vmatrix}
(c+a)^4 & ca\\
3c^2+5ca+3a^2 & 1\\
\end{vmatrix}$

$n=6:\ lb^5 = r
\begin{vmatrix}
(c+a)^5 & ca\\
4c^3+9c^2a+9ca^2+4a^3 & 1\\
\end{vmatrix}$

и так далее.

Видно, что левый нижний элемент матрицы это часть соответствующей степени суммы $(c+a)^n$.

Обращает на себя внимание сходство (и принципиальное их отличие от последующих) матриц первых двух степеней - как раз тех, равенства для которых выполняются в натуральных числах.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение10.07.2019, 16:33 


19/04/14
321
Уважаемый serval!
Матричная запись более наглядна для некоторых соотношений по отношению с обычной алгебраической. Но зачем введены дополнительные r,l. Лишние два числа, а новых свойств не видно. Чем хуже такая запись?$$n=3;\quad\ b^3 =(c-a)
\begin{vmatrix}
(c+a)^2 & ca\\
1 & 1\\
\end{vmatrix}$$ Или такая $$n=3;\quad b^3=b_1^3b_2^3;\quad\ b_2^3 =
\begin{vmatrix}
(c+a)^2 & ca\\
1 & 1\\
\end{vmatrix}$$ .

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение10.07.2019, 16:57 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Уважаемый binki!

Первая из приведенных вами записей ничем не хуже, но если существует дополнительное условие на соотношение $a,b\ \text{и}\ c$ , то почему его не использовать и не сократить на $t$ сразу?

Вторая же запись неверна.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение10.07.2019, 20:13 


19/04/14
321
serval в сообщении #1404371 писал(а):
Вторая же запись неверна.

Запись для случая когда $ 3\not|\; b;\quad b_1^3=c-a$

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение13.07.2019, 10:37 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Сейчас меня интересует связь между выполнением равенства в натуральных числах для первой и второй степеней и одинаковой структурой их матриц.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение26.08.2019, 22:39 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Переформулирование задачи.

Кажется очевидным, что при доказательстве ВТФ задача состоит в изучении свойств операции сложения на множестве чисел $\{x^n\}$ : $a^n+b^n=c^n$ . Однако, её можно поставить иначе.

Пусть имеются матрицы

$\begin{equation*}
x =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
x & 1 & 0\\
\displaystyle \frac{1}{2}\ x\ (x-1) & x & 1
\end{pmatrix}
\end{equation*}$
и
$\begin{equation*}
P_2 =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{equation*}$

и векторы

$e_1=(1,0,0 \ldots)$

и
$\begin{equation*}
e^1 =
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
\vdots
\end{pmatrix}
\end{equation*}$

Тогда число вида $b^2$ может быть представлено как результат скалярного произведения

$b^2=e_1 \ P_2 \ b \ e^1$

а число вида $c^2-a^2$ как результат скалярного произведения

$c^2 - a^2=e_1 \ a^T \ P_2 \ a^{-1} \ c \ e^1$

Таким образом, условие существования пифагоровых троек равносильно равенству скалярных произведений

$e_1 \ P_2 \ b \ e^1=e_1 \ a^T \ P_2 \ a^{-1} \ c \ e^1$

( вообще, степенных троек, удовлетворяющих условию ВТФ: $e_1 \ P_n \ b \ e^1=e_1 \ a^T \ P_n \ a^{-1} \ c \ e^1$ )

То есть, задача сводится к изучению свойств скалярного произведения векторов специального вида.

Имеют ли матричные скобки $a^T,a^{-1}$ какой-нибудь стандартный смысл?
Как правильно записать эти скалярные произведения в тензорном виде?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 413 ]  На страницу Пред.  1 ... 24, 25, 26, 27, 28  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group