После того, как Вы дополнили функцию во всех точках, у Вас же получилась какая-то другая функция? Не так ли?
Это тонкий вопрос. А если ограничить функцию на каком-то подмножестве, это будет другая функция? А если взять другое целевое множество?
Есть разные варианты определений, и рубить сплеча не рекомендуется.
Вы рассматриваете его, как (например) зависящий от радиус вектора:
Почему бы и нет?
В математике "почему бы и нет" - достаточное основание, чтобы что-то делать. В физике зачастую не так. Например, ускорение естественнее рассматривать, как зависящее от времени, а введение других параметризаций всегда рисково:
(Чтобы стрелочка лучше позиционировалась над буквой, рекомендуется писать
\vec{a}_\tau.)
Что касается "физической интуиции", упоминавшейся выше. Она нарабатывается решение задач, а не упрощенным изложением материала.
Верно. Но искусственное усложнение материала тоже не приводит к хорошим результатам.
В физике практически все функции можно рассматривать как обобщённые, за редкими исключениями.
Тут стоит быть осторожней. Довольно часто от математических придирок в физике можно отмахнуться переходом к обобщённым функциям, обобщённым производным и соответствующим иным объектам (уравнениям, операторам и т. д.). Но от других придирок приходится отмахиваться другими способами. И в общем не показано, что всё это совместимо (не найден такой класс функций, который удовлетворяет всем физическим требованиям).
-- 07.12.2018 14:51:36 --то Вы не поняли, что я тут поднимаю.
Я тоже не понял. Видимо, вы как-то не стремитесь объяснить, а что же вы тут поднимаете, и зачем.