Тангенциальная составляющая ускорения

[Munin]

EUgeneUS в сообщении #1359146 писал(а):

Преимущество этого взгляда в том, что он не "мой", а обще распространенный.

Это не преимущество. Проблема в том, что разные взгляды выгодны для разных задач. То, что требуется для алгебраической геометрии, не очень-то пригодно для классической механики, и наоборот. Вы взяли откуда-то определения, и настаиваете на них, не анализируя эту сторону дела: откуда вы их взяли, чего от них нужно в той области, где вы их стараетесь применить, и насколько они этому адекватны.

EUgeneUS в сообщении #1359146 писал(а):

Вы можете предоставить ссылку на какой-нибудь учебник, где сначала вводится тангенциальное ускорение, как проекция на касательную, а уже потом вводится сопутствующий базис?

Думаю, в каком-нибудь Ландсберге для средней школы можно найти понятия касательного и нормального ускорений вообще без рассуждений о базисах.

Повторяю, главная проблема ваших "определений" - это скалярность. На самом деле, и тангенциальное, и нормальное ускорение - это векторные величины, слагаемые полного вектора ускорения. Если у вас есть вектор, но нет базиса, это не значит, что вектор куда-то исчезает.

Например, рассмотрим гладкую кривую, до точки $\mathbf{r}(s=0)=0$ лежащую в плоскости $Oxy,$ а после неё - в плоскости $Oxz$; $(d\mathbf{r}/ds)(0)=\mathbf{i}.$ В нуле у неё базис Френе не существует, а вот касательное ускорение вполне может существовать и не терпеть никаких разрывов. Даже нормальное ускорение может не терпеть разрыва.

[realeugene]

Munin в сообщении #1359201 писал(а):

Думаю, в каком-нибудь Ландсберге для средней школы можно найти понятия касательного и нормального ускорений вообще без рассуждений о базисах.

Воистину, это так. Ландсберг векторно раскладывает вектор ускорения на две компоненты, касательную и нормальную. Касательная компонента и только она отвечает за изменение модуля скорости. Если модуль скорости не изменяется, касательное ускорение нулевое. Нормальная компонента, и только она, отвечает за искривление траектории. Если траектория прямая - то нормальное ускорение нулевое. Возможность разложить полное ускорение тела на две подобные компоненты, чтобы изменение модуля скорости и центр кривизны траектории рассчитывать независимо, и есть понятный школьникам физических смысл этих манипуляций. Во всех случаях, когда этот смысл сохраняется, можно рассуждать про тангенциальное и нормальное ускорения, даже, если они согласно строгим математическим определениям в рамках некоторой математической теории и не определены.

[EUgeneUS]

Munin в сообщении #1359201 писал(а):

Думаю, в каком-нибудь Ландсберге для средней школы можно найти понятия касательного и нормального ускорений вообще без рассуждений о базисах.

Заглянул туда. Действительно, Ландсберг не утруждает себя рассуждениями о базисе, впрочем как и введением понятий "касательные" и "нормальные" составляющие вектора, на которые он чего-то раскладывает.

Munin в сообщении #1359201 писал(а):

Повторяю, главная проблема ваших "определений" - это скалярность. На самом деле, и тангенциальное, и нормальное ускорение - это векторные величины, слагаемые полного вектора ускорения. Если у вас есть вектор, но нет базиса, это не значит, что вектор куда-то исчезает.

1. Это какой-то поклёп. С самого начала своего участия в этом топике кидаю камни в авторов учебника из стартового поста, что у них т.у. в виде скаляра. И тут в меня же такое обвинение.
2. Вектор, который не исчезает, в этих темах один - это собственно ускорение. Т.у. и н.у. - это один из способов его разложения, абстракция. Если не можем разложить на каком-то множестве меры ноль - ну и плевать (утрированно говоря). Вы же сами об этом писали, если мне память не изменяет.

Upd: переписал "блок" ниже.

Munin в сообщении #1359201 писал(а):

Например, рассмотрим гладкую кривую, до точки $\mathbf{r}(s=0)=0$ лежащую в плоскости $Oxy,$ а после неё - в плоскости $Oxz$; $(d\mathbf{r}/ds)(0)=\mathbf{i}.$ В нуле у неё базис Френе не существует, а вот касательное ускорение вполне может существовать и не терпеть никаких разрывов. Даже нормальное ускорение может не терпеть разрыва.

Да, базис Френе корректно ввести не можем. Но вполне можем ввести касательный единичный вектор, а значит можем говорить о тангенциальном ускорении.
Нормальный единичный вектор не определен, и у него есть разрыв. Ну и что? Какую задачу это помешает решить?

Munin в сообщении #1359201 писал(а):

Вы взяли откуда-то определения, и настаиваете на них, не анализируя эту сторону дела: откуда вы их взяли, чего от них нужно в той области, где вы их стараетесь применить, и насколько они этому адекватны.

Откуда я их взял - привел аж три источника.

Munin в сообщении #1359201 писал(а):

Проблема в том, что разные взгляды выгодны для разных задач. То, что требуется для алгебраической геометрии, не очень-то пригодно для классической механики, и наоборот.

Приведите, пожалуйста, пример задачи, где взгляды на т.у. Ландсберга более выгодны, чем взгляды Иродова.
Кстати, вопрос "какое т.у. в нижней точке циклоиды?" - это не задача, которую нужно обязательно решить, а вопрос на понимание определений.

[realeugene]

EUgeneUS в сообщении #1359234 писал(а):

Действительно, Ландсберг не утруждает себя рассуждениями о базисе, впрочем как и введением понятий "касательные" и "нормальные" составляющие вектора, на которые он чего-то раскладывает.

Разумеется, Ландсберг писал свой учебник для школьников, которым необходимо натаскать свою физическую интуицию при решении простых задач, и которые ещё не знакомы с математическими тонкостями. Он очень успешно это сделал.

-- 06.12.2018, 13:50 --

EUgeneUS в сообщении #1359234 писал(а):

Кстати, вопрос "какое т.у. в нижней точке циклоиды?" - это не задача, которую нужно обязательно решить, а вопрос на понимание определений.

Так как ускорение в этой точке целиком и полностью отвечает за изменение скорости вдоль одной прямой, оно там тангенциальное.

Школьники знают, что движение точки всюду подобно движению по окружности или по прямой (т. е. окружности бесконечного радиуса). Внизу циклоиды движение подобно движению по прямой. Первокурсник может добавить, что оно там подобно движению по прямой с точностью до квадратичных членов по времени.

PS Вот тупить вредно. Это я себе.

[Munin]

realeugene в сообщении #1359219 писал(а):

Воистину, это так. Ландсберг векторно раскладывает вектор ускорения на две компоненты, касательную и нормальную.

Я писал наугад, и рад, что угадал.

EUgeneUS в сообщении #1359234 писал(а):

Кстати, вопрос "какое т.у. в нижней точке циклоиды?" - это не задача, которую нужно обязательно решить, а вопрос на понимание определений.

Тут есть тонкость. Одни люди, как слишком старательные ученики, воспринимают определения как нечто священное. Если они становятся преподавателями, то "вопросы на знание определений" - для них прекрасная возможность продемонстрировать свою верность святыне.

А другие люди доросли до понимания, что определения не с неба приходят, а формулируются другими людьми, с вполне практическими целями, должны решать какие-то задачи, быть удобными для использования. Они понимают, что определения могут быть в каких-то случаях разные, это не вгоняет их в шок и когнитивный диссонанс. "Вопрос на знание определений" иногда может быть корректным, когда определение одно и абсолютно общепринятое; может быть дрессировкой-издевательством, когда преподаватель спрашивает именно ту версию, которую давал лично он, и не потерпит никакого отклонения; и может быть совершенно некорректным, когда определения бывают разные, а "эталонной версии" не дано.

realeugene в сообщении #1359235 писал(а):

Так как ускорение в этой точке целиком и полностью отвечает за изменение скорости вдоль одной прямой, оно там тангенциальное.

Вот эта идея мне нравится.

[EUgeneUS]

Munin в сообщении #1359278 писал(а):

Тут есть тонкость. Одни люди, как слишком старательные ученики, воспринимают определения как нечто священное. Если они становятся преподавателями, то "вопросы на знание определений" - для них прекрасная возможность продемонстрировать свою верность святыне.

Вопрос не в святости, а в знании и понимании. Вот такой банальный пример: если задана функция $f(x) = \frac{x^3}{x}$, то при $x=0$ у неё значение не определено, так как точка $x=0$ не входит в область определения. Любой школьник это должен знать и понимать. Если школьник отвечает, что $f(0)=0$, то получает двойку и не сдает ЕГЭ.

Продвинутый школьник, после того как сказал, что точка $x=0$ не входит в область определения, может добавить, что функцию можно определить в этой точке (при этом получится другая функция) и всё будет гладко, "чинно, благородно".

А если школьники определений не понимают, но становятся преподавателями, то получается такой сон разума, который мы видим в стартовом посте, где т.у. - скаляр.

[Eule_A]

Да... Должен заметить, что вас, господа наиболее стойкие спорщики, знатно затроллили... Вы уже седьмую страницу считаете чертей на кончике иглы. Если вы хотите обсуждать методические тонкости введения тангенциального ускорения, то есть вроде бы тема, открытая виновником царящего здесь торжества схоластики: «Кинематика точки на кривой». Если не жаль времени и сил и хотите играть на его поле, то там это и делайте, а не в ПРР(Ф). Про качество исходного пособия все вроде бы высказались и в целом сошлись. Про существование книг, в которых всё нормально, тоже сказали. О чём изначально шла речь и вовсе, наверное, все забыли. Не пора ли завершить переливание из пустого в порожнее? Пока атмосфера не накалилась?

[Munin]

EUgeneUS в сообщении #1359281 писал(а):

Вот такой банальный пример: если задана функция $f(x) = \frac{x^3}{x}$, то при $x=0$ у неё значение не определено, так как точка $x=0$ не входит в область определения.

Вот только в данном случае не такой пример.

[realeugene]

EUgeneUS в сообщении #1359281 писал(а):

$f(x) = \frac{x^3}{x}$,

Лучше рассмотреть более привычную функцию $f(x)=\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$, дополняемую обычно до аналитической во всех точках. Без такого дополнения она мало кому интересна и полезна.

[EUgeneUS]

realeugene в сообщении #1359357 писал(а):

Лучше рассмотреть более привычную функцию $f(x)=\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$, дополняемую обычно до аналитической во всех точках. Без такого дополнения она мало кому интересна и полезна.

После того, как Вы дополнили функцию во всех точках, у Вас же получилась какая-то другая функция? Не так ли?

Munin в сообщении #1359349 писал(а):

Вот только в данном случае не такой пример.

Это вполне прозрачная аналогия.

Т.у. - вектор, который от чего-то зависит.
Вы рассматриваете его, как (например) зависящий от радиус вектора: $\vec{a_\tau} = \vec{a_\tau}(\vec{r})$
Почему бы и нет?
В нижних точках циклоиды эта функция не определена (в силу описанных ранее причин).
Вы говорите, "а давайте её дополним в этих точках", тогда она станет всюду определенной, да еще и непрерывной.
Опять же, почему бы и нет?
Но такая дополненная функция уже не будет называться "тангенциальным ускорением", она будет совпадать с т.у. почти всюду, но не тождественна ему.

Что касается "физической интуиции", упоминавшейся выше.
Она нарабатывается решение задач, а не упрощенным изложением материала.
И говорит о том,
1. Что особые точки требуют особого внимания.
2. И вот такое еще говорит:

Walker_XXI в сообщении #1359039 писал(а):

Мне кажется, что такие случаи (базис стал тыквой) либо не представляют интереса с физической точки зрения, либо легко регуляризируются: переходим в ИСО, где скорость в данной точке не обращается в 0, и спокойно пользуемся любым из определений тангенциального ускорения.

То есть никакой трагедии, в том что т.у. неопределено в каких-то точках не делается. Есть более одного метода с этим разобраться (как минимум три прозвучало: доопределить, если доопределяется; перейти в другую ИСО, где нет особенностей; просто забить, если ни на что не влияет).

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1359477 писал(а):

После того, как Вы дополнили функцию во всех точках, у Вас же получилась какая-то другая функция? Не так ли?

Для учебников физики эти тонкости, по-видимому, излишни.
Скажем, я ни разу не встречал замечания, будто угловая зависимость амплитуды при дифракции на щели (та самая $\sin x/x$) имеет какие-то особенности в нуле.

[realeugene]

EUgeneUS в сообщении #1359477 писал(а):

После того, как Вы дополнили функцию во всех точках, у Вас же получилась какая-то другая функция? Не так ли?

Вовсе нет, если рассматривать эту дробь как имя функции. Аналитическое продолжение часто не рассматривается как новая функция, если это не необходимо для конкретного рассматриваемого вопроса, ввиду единственности такого продолжения, когда оно существует, и тривиальности операции сужения области определения функции. Как пример - синус, который первоначально определяется только как тригонометрическая функция от действительного аргумента $\sin(x)$, а потом расширяется на всю комплексную плоскость до $\sin(z)$.

Кроме того, если копнуть чуть глубже, можно вспомнить, что сама эквивалентность функций в различных функциональных пространствах определяется по-разному. Вы пользуетесь только самым простым, "школьным" определением функций и их эквивалентности.

Это что касалось математики. В физике к подобным вольностям относятся гораздо проще. В физике практически все функции можно рассматривать как обобщённые, за редкими исключениями.

-- 07.12.2018, 11:07 --

EUgeneUS в сообщении #1359477 писал(а):

1. Что особые точки требуют особого внимания.

Пожалуйста, приведите пример, когда точки устранимого разрыва, на самом деле, требуют особого внимания в физике. Не согласно какому-то формальному определению, а чтобы задача не решалась без такого особого внимания.

[EUgeneUS]

realeugene в сообщении #1359484 писал(а):

Пожалуйста, приведите пример, когда точки устранимого разрыва, на самом деле, требуют особого внимания в физике.

А пока Вы не обратили особое внимание на особые точки, Вы не знаете, устранимый там разрыв или неустранимый.

realeugene в сообщении #1359484 писал(а):

Не согласно какому-то формальному определению, а чтобы задача не решалась без такого особого внимания.

Я не видел задачи, в которой нельзя было бы вообще забить на то, что в нижней точке циклоиды т.у. не определено. То есть в которой таки требуется доопределять т.у.

[realeugene]

EUgeneUS в сообщении #1359485 писал(а):

А пока Вы не обратили особое внимание на особые точки, Вы не знаете, устранимый там разрыв или неустранимый.

Сложно не обратить внимание на неустранимый разрыв. Его обычно видно.

EUgeneUS в сообщении #1359485 писал(а):

Я не видел задачи, в которой нельзя было бы вообще забить на то, что в нижней точке циклоиды т.у. не определено. То есть в которой таки требуется доопределять т.у.

Мой вопрос был уже не про циклоиду, а про физику вообще. Можете ли вы привести пример, подтверждающий неформальную важность поднимаемого вами вопроса, из какого угодно раздела физики? Где в физике важны устранимые разрывы?

[EUgeneUS]

realeugene в сообщении #1359486 писал(а):

Можете ли вы привести пример, подтверждающий неформальную важность поднимаемого вами вопроса, из какого угодно раздела физики? Где в физике важны устранимые разрывы?

Это один вопрос или два вопроса?
Если это один вопрос, то Вы не поняли, что я тут поднимаю.