Думаю, в каком-нибудь Ландсберге для средней школы можно найти понятия касательного и нормального ускорений вообще без рассуждений о базисах.
Заглянул туда. Действительно, Ландсберг не утруждает себя рассуждениями о базисе, впрочем как и введением понятий "касательные" и "нормальные" составляющие вектора, на которые он чего-то раскладывает.
Повторяю, главная проблема ваших "определений" - это скалярность. На самом деле, и тангенциальное, и нормальное ускорение - это векторные величины, слагаемые полного вектора ускорения. Если у вас есть вектор, но нет базиса, это не значит, что вектор куда-то исчезает.
1. Это какой-то поклёп. С самого начала своего участия в этом топике кидаю камни в авторов учебника из стартового поста, что у них т.у. в виде скаляра. И тут в меня же такое обвинение.
2. Вектор, который не исчезает, в этих темах один - это собственно ускорение. Т.у. и н.у. - это один из способов его разложения, абстракция. Если не можем разложить на каком-то множестве меры ноль - ну и плевать (утрированно говоря). Вы же сами об этом писали, если мне память не изменяет.
Upd: переписал "блок" ниже.
Например, рассмотрим гладкую кривую, до точки
лежащую в плоскости
а после неё - в плоскости
;
В нуле у неё базис Френе не существует, а вот касательное ускорение вполне может существовать и не терпеть никаких разрывов. Даже нормальное ускорение может не терпеть разрыва.
Да, базис Френе корректно ввести не можем. Но вполне можем ввести касательный единичный вектор, а значит можем говорить о тангенциальном ускорении.
Нормальный единичный вектор не определен, и у него есть разрыв. Ну и что? Какую задачу это помешает решить?
Вы взяли откуда-то определения, и настаиваете на них, не анализируя эту сторону дела: откуда вы их взяли, чего от них нужно в той области, где вы их стараетесь применить, и насколько они этому адекватны.
Откуда я их взял - привел аж три источника.
Проблема в том, что разные взгляды выгодны для разных задач. То, что требуется для алгебраической геометрии, не очень-то пригодно для классической механики, и наоборот.
Приведите, пожалуйста, пример задачи, где взгляды на т.у. Ландсберга более выгодны, чем взгляды Иродова.
Кстати, вопрос "какое т.у. в нижней точке циклоиды?" - это не задача, которую нужно обязательно решить, а вопрос на понимание определений.