Тангенциальная составляющая ускорения

[realeugene]

DimaM в сообщении #1359018 писал(а):

Так если орты непрерывны, то получается в данном случае $y-$компонента ускорения. Она, естественно, непрерывна, но отождествлять ее с тангенциальным ускорением мне представляется незаконным.

В обощённом смысле непрерывен и вектор тангенциального ускорения. И в физическом смысле в окрестности этой особой точки тащат точку на ободе всё время вдоль прямой, по которой она там движется, вверх.

[DimaM]

realeugene в сообщении #1359023 писал(а):

И в физическом смысле в окрестности этой особой точки тащат точку на ободе всё время вдоль прямой, по которой она там движется, вверх.

Да, разумно. По размышлении, ситуация принципиально не отличается от ускорения в верхней точки траектории тела, брошенного вертикально вверх.

[EUgeneUS]

DimaM в сообщении #1359024 писал(а):

По размышлении, ситуация принципиально не отличается от ускорения в верхней точки траектории тела, брошенного вертикально вверх.

Различается принципиально.
Прямую, по которой дело движется вертикально вверх, можно естественно параметризовать, и использовать определение тангенциального ускорения "как в дифгеме", и тогда неопределенность в верхней точке естественным образом снимается.
В отличие от нижней точки циклоиды, где неопределенность остается.

-- 05.12.2018, 13:31 --

Walker_XXI

(Оффтоп)

Walker_XXI в сообщении #1359008 писал(а):

но так и не понял, а оно [разложение по несуществующему базису] нам нужно (с точки зрения физики и реальных приложений)?

Добавлю, дабы не было недоразумений. Один из моих тезисов в этой теме такой: ежели базис, по которому раскладываем вектор, превратился в тыкву, но и не надо раскладывать. Но не все с этим согласны, насколько понял.

[wrest]

Чем плох или "нефизичен" скачок ускорения? Вот висит груз на нитке. Ускорение ноль. Нитку перерезали. Ускорение скачком стало $g$ (или наоборот -- собственное ускорение было $g$ а стало ноль, тоже скачком).

[EUgeneUS]

wrest

(Оффтоп)

В примерах с грузом, брошенным вверх, и циклоидой нет никакого скачка ускорения.

При этом:
в примере с грузом, брошенным вверх, тангенциальное ускорение в верхней точке скачка не испытывает, но то ли определено, то ли не определено (в зависимости от того, как оно определяется - есть два варианта).
в примере с циклоидой в нижней точке тангенциальное ускорение, опять же скачка не испытывает, но не определено вне зависимости от того, как оно определяется.

Видимо, это всё вызывает когнитивные диссонансы и желание до-определить тангенциальное ускорение.

[Walker_XXI]

EUgeneUS в сообщении #1359030 писал(а):

Добавлю, дабы не было недоразумений. Один из моих тезисов в этой теме такой: ежели базис, по которому раскладываем вектор, превратился в тыкву, но и не надо раскладывать. Но не все с этим согласны, насколько понял.

Мне кажется, что такие случаи (базис стал тыквой) либо не представляют интереса с физической точки зрения, либо легко регуляризируются: переходим в ИСО, где скорость в данной точке не обращается в 0, и спокойно пользуемся любым из определений тангенциального ускорения.

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1359038 писал(а):

в примере с циклоидой в нижней точке тангенциальное ускорение, опять же скачка не испытывает, но не определено вне зависимости от того, как оно определяется.

Я имел в виду что вот как пишет ув. DimaM

DimaM в сообщении #1359010 писал(а):

Предел

$$\lim_{r \to 1}a_\tau=a_\tau(r=1)=\frac{\omega^2\sin\omega t}{2\sqrt{\sin^2\omega t/2}}.$$

Так это выражение при $\omega t\to 0$ слева стремится к $-1$, а при $\omega t\to 0$ справа - к $1$.

имеем существование двух разных, но конечных пределов с разных сторон. Именно это же и называется "скачок"? Да, в рассматриваемой точке функция неопределена, и испытывает разрыв типа "скачок". Но интеграл через этот скачок ничего не заметит.

Вот я и спрашиваю - что в этом плохого и о чем сыр-бор тогда? И привожу пример: в момент $t=0$ отрезали нить на которой висел груз. В нуле (по времени) слева ускорение ноль (как ни определяй, а если тело некоторое конечное время покоится в СО, то его ускорение по любому базису в этой СО равно нулю). В нуле справа ускорение равно $g$, скачок же.

[EUgeneUS]

Walker_XXI в сообщении #1359039 писал(а):

Мне кажется, что такие случаи (базис стал тыквой) либо не представляют интереса с физической точки зрения, либо легко регуляризируются: переходим в ИСО, где скорость в данной точке не обращается в 0, и спокойно пользуемся любым из определений тангенциального ускорения.

Так я с этим не спорю. Напротив, вызывают удивление попытки воткнуть в тыкву спицы ("до-определить тангенциальное ускорение" в точках, где траектория нерегулярна).

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1359047 писал(а):

вызывают удивление попытки воткнуть в тыкву спицы ("до-определить тангенциальное ускорение" в точках, где траектория нерегулярна).

И как я понял, доопределить среднеарифметическим пределов справа и слева. Да, странное желание.

[EUgeneUS]

wrest в сообщении #1359052 писал(а):

И как я понял, доопределить среднеарифметическим пределов справа и слева.

Насколько понял, не совсем так.
Так как у вектора ускорения не единого разрыва (разрыв имеет разложение вектора ускорения по сопутствующему базису), а пределы справа и слева тангенциального ускорения ему и равны, то у кого-то возникает желание до-определить тангенциальное ускорение, воткнув в тыкву спицу $\vec{e_\tau} = \frac{\vec{a}}{a}$.
Зачем это нужно - вопрос не ко мне.

[realeugene]

wrest в сообщении #1359052 писал(а):

И как я понял, доопределить среднеарифметическим пределов справа и слева.

В случае устранимого разрыва доопределяют значением предела функции по бокам. Среднее арифметическое избыточно, так как эти пределы совпадают.

[Munin]

EUgeneUS в сообщении #1359009 писал(а):

А касательный единичный вектор не определен

А я про него что-нибудь спрашивал?

Теперь главный вопрос: спроецировать вектор на прямую можете? Не на ось, на прямую.

EUgeneUS в сообщении #1359009 писал(а):

Приведите, пожалуйста.

Кривая, у которой радиус кривизны $r\sim s^4.$

EUgeneUS в сообщении #1359009 писал(а):

Нужно чтобы

Кому нужно?

[EUgeneUS]

Munin в сообщении #1359073 писал(а):

А я про него что-нибудь спрашивал?

(речь была про касательный единичный вектор)
Извините, мы о чем разговариваем? О тангенциальном ускорении или о чем-то другом?
Для меня тангенциальное и нормальное ускорения - это компоненты ускорения в сопутствующем базисе.
Так они вводятся тут со ссылкой на (см Тайманов лекции по диф. геометрии), так они вводятся у Иродова, "Основные законы механики". И даже так они вводятся у Савельева, "Курс общей физики, том 1" - в том смысле, что Савельев сначала вводит единичные вектора сопутствующего базиса, и только потом говорит, что $\boldsymbol w_\tau$ направлен по касательной к траектории.

Munin в сообщении #1359073 писал(а):

Теперь главный вопрос: спроецировать вектор на прямую можете? Не на ось, на прямую.

Как писал выше - там нет одной касательной прямой, там две прямые, которые по недоразумению некоторому стечению обстоятельств совпали.
Можно воспользоваться определением касательной, как направленной прямой (см. например, "Высшая математика: Учеб. для вузов: В 3 т. / Я. С. Бугров, С. М. Никольский; Под ред. В. А. Садовничего. — 6-е изд., стереотип").
Тогда касательной не существует, а существуют правая и левая касательные с разными угловыми коэффициентами.

-- 05.12.2018, 18:51 --

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1359073 писал(а):

Кому нужно?

Ещё раз извините, это был ответ не Вам, а ответ на Ваш вопрос содержится в вопросе, на который я отвечал.

-- 05.12.2018, 18:51 --

Munin в сообщении #1359073 писал(а):

Кривая, у которой радиус кривизны $r\sim s^4.$

спасибо

[Munin]

EUgeneUS в сообщении #1359095 писал(а):

(речь была про касательный единичный вектор)

Нет, про него речь не была. Вы на него всё время пытаетесь свернуть, а пытаюсь донести до вас, что не надо. Но пожалуй, брошу.

EUgeneUS в сообщении #1359095 писал(а):

Как писал выше - там нет одной касательной прямой, там две прямые, которые по недоразумению некоторому стечению обстоятельств совпали.

Это, конечно, крутое иезуитство.

Я уверен в одном: вы не приведёте пример ситуации, когда ваш взгляд имеет преимущества.

EUgeneUS в сообщении #1359095 писал(а):

Ещё раз извините, это был ответ не Вам, а ответ на Ваш вопрос содержится в вопросе, на который я отвечал.

Я перечитал и понял так: нужно лично вам, чтобы у вас не было когнитивного диссонанса, который вы сами себе навязали...

[EUgeneUS]

Munin в сообщении #1359134 писал(а):

Нет, про него речь не была. Вы на него всё время пытаетесь свернуть, а пытаюсь донести до вас, что не надо.

(Оффтоп)

Вы спросили

Munin в сообщении #1359004 писал(а):

Хорошо. Касательную прямую к нижней точке циклоиды провести можете?

Я ответил

EUgeneUS в сообщении #1359009 писал(а):

Там две касательных.
Если они не ориентированные, то они совпадают.

и уточнил

EUgeneUS в сообщении #1359009 писал(а):

А касательный единичный вектор не определен, ни как $\frac{d \boldsymbol r}{ds}$, ни как $\frac{\boldsymbol v}{v}$

Вы спросили

Munin в сообщении #1359073 писал(а):

А я про него что-нибудь спрашивал?

Я ответил (и уточнил в скобках о чем речь в данной ветке дискуссии)

EUgeneUS в сообщении #1359095 писал(а):

(речь была про касательный единичный вектор)
Извините, мы о чем разговариваем? О тангенциальном ускорении или о чем-то другом?
Для меня тангенциальное и нормальное ускорения - это компоненты ускорения в сопутствующем базисе.

Вы утверждаете:

Munin в сообщении #1359134 писал(а):

Нет, про него речь не была.

Мне сколько цитат сверху нужно приводить, чтобы таких недопониманий не возникало?

Munin в сообщении #1359134 писал(а):

Это, конечно, крутое иезуитство.

Вот ещё от иезуитов:

Цитата:

Существуют и другие типы особенностей, например каспы: кривая, определённая уравнением {\displaystyle x^{2}=y^{3}} x^2=y^3 имеет касп в начале координат. Можно было бы сказать, что ось x касается кривой в этой точке, однако для этого пришлось бы изменить определение касательной. Более корректно, эта кривая имеет «двойную касательную» в начале координат.

Какое именно определение касательной имеется тут в виду, нужно еще разобраться, но тем не менее, такое мнение существует.

Munin в сообщении #1359134 писал(а):

Я уверен в одном: вы не приведёте пример ситуации, когда ваш взгляд имеет преимущества.

Преимущество этого взгляда в том, что он не "мой", а обще распространенный. Поэтому какие-то другие взгляды должны предоставить какие-то особые преимущества.
Вы можете предоставить ссылку на какой-нибудь учебник, где сначала вводится тангенциальное ускорение, как проекция на касательную, а уже потом вводится сопутствующий базис? Не могу утверждать, что таких нет - один из них мы имели (не)удовольствие лицезреть в стартовом посте этой темы, там вообще про сопутствующий базис ни слова, а тангенциальное ускорение определяется, как скаляр. Было бы интересно посмотреть на другие, аналогичные.