Тангенциальная составляющая ускорения

[realeugene]

EUgeneUS в сообщении #1358736 писал(а):

realeugene
Ответьте, пожалуйста, на один вопрос. Вот в этом примере тангенциальное ускорение при $t=0$ определено?

Определено. Рецепт из учебника найти его не позволяет, но для вектора тангенциального ускорения эта точка оказывается точкой устранимого разрыва.

С другой стороны, это особая точка траектории, и если эта одномерная задача вложена в пространство большей размерности (как движение по прямой), то в этой точке не определено касательное направление к траектории и не определено направление тангенциального ускорения. Но, опять же, эта точка всё равно оказывается точкой устранимого разрыва вектора тангенциального ускорения.

[EUgeneUS]

realeugene в сообщении #1358747 писал(а):

Определено.

Всё зря....

В том виде, в котором пытаются ввести тангенциальное ускорение в этом учебнике (и как оно вводится, например, у Савельева), в точках, где $v=0$ тангенциальное ускорение не определено, потому что не определен базис, по которому раскладывается ускорение.

Если раскладывать ускорение по реперу Френе (как это происходит, например, у Иродова, только слова "репер Френе" не произносятся), то в некоторых случаях (не во всех), когда $v=0$, тангенциальное ускорение оказывается определенным. В том числе и в этом.

Всё это практически очевидно, если выводить чуть более аккуратно - не ленясь выписывать орты и откуда они берутся, что в первом варианте, что во втором.

[realeugene]

EUgeneUS в сообщении #1358763 писал(а):

В том виде, в котором пытаются ввести тангенциальное ускорение в этом учебнике (и как оно вводится, например, у Савельева), в точках, где $v=0$ тангенциальное ускорение не определено, потому что не определен базис, по которому раскладывается ускорение.

Вы пропустили мои слова про "устранимый разрыв". Ничто не мешает непрерывно доопределить тангенциальное ускорение в точке устранимого разрыва, как это обычно делается в физике.

[miflin]

EUgeneUS в сообщении #1358736 писал(а):

Вот в этом примере тангенциальное ускорение при $t=0$ определено?

pogulyat_vyshel в сообщении #1358266 писал(а):

$$a_\tau=\frac{d}{dt}|\boldsymbol v(t)|=a_0\frac{d}{dt}|t|.$$

Меня, дилетанта, в этом примере смутило (наверняка неправильно понял) то, что модуль вектора ($|v(t)|$) выражается через модуль числа $|t|$.
Или это несущественно?

[Walker_XXI]

(Оффтоп)

miflin в сообщении #1358768 писал(а):

Меня, дилетанта, в этом примере смутило (наверняка неправильно понял) то, что модуль вектора ($|v(t)|$) выражается через модуль числа $|t|$.
Или это несущественно?

Так модуль что вектора, что числа - неотрицательное число. Тем более в данном случае всё прозрачно.

[miflin]

Walker_XXI в сообщении #1358770 писал(а):

Так модуль что вектора, что числа - неотрицательное число.

Мне почему-то казалось, что отбросить минус у числа и вычислить длину вектора - это несколько разные вещи.
Положительность результата - это достаточное условие?

[Munin]

Предлагаю ещё, чтобы не прикрываться "устранимыми точками разрыва", обсудить тангенциальное и нормальное ускорения тела, которое вообще всё время неподвижно. О-о-очень содержательно должно получиться!

[reterty]

.....а еще вывести временную производную от ускорения (jerk) при равномерном движении по окружности.
Очень пользительно с точки зрения понимания треугольников подобия)

[DimaM]

На ту же тему:
рассмотрим движение точки на ободе равномерно катящегося колеса (она движется по циклоиде). В нижней точке циклоиды скорость равна нулю, а ускорение направлено вверх. Это ускорение - оно в данной точке нормальное или тангенциальное?

[realeugene]

DimaM в сообщении #1358786 писал(а):

рассмотрим движение точки на ободе равномерно катящегося колеса (она движется по циклоиде). В нижней точке циклоиды скорость равна нулю, а ускорение направлено вверх. Это ускорение - оно в данной точке нормальное или тангенциальное?

В системе отсчёта центра колеса - нормальное. В системе отсчёта Земли - тангенциальное. В остальных системах отсчёта ни то ни сё.

[Munin]

realeugene в сообщении #1358790 писал(а):

В системе отсчёта Земли - тангенциальное.

А если взять удлинённую или укороченную циклоиду, и устремить её к точной? :-)

[EUgeneUS]

Munin в сообщении #1358782 писал(а):

Предлагаю ещё, чтобы не прикрываться "устранимыми точками разрыва", обсудить тангенциальное и нормальное ускорения тела, которое вообще всё время неподвижно. О-о-очень содержательно должно получиться!

Обсуждение сводится к вопросу "Можно ли разложить нулевой вектор по несуществующему базису?"

realeugene в сообщении #1358790 писал(а):

В системе отсчёта центра колеса - нормальное.

Так как говорим про циклоиду, то очевидно, что в СО Земли, так как именно в этой СО траектория точки на ободе колеса - циклоида.

DimaM в сообщении #1358786 писал(а):

Это ускорение - оно в данной точке нормальное или тангенциальное?

Интересно, как Вы сами отвечаете, когда ученики спрашивают?

(мой ответ)

В нижней точке циклоиды разложение ускорения на тангенциальное и нормальное невозможно, так как не существует базис (ни "по Савельеву", ни "по Ирордову"), по которому собрались раскладывать.

[Munin]

EUgeneUS в сообщении #1358807 писал(а):

Обсуждение сводится к вопросу "Можно ли разложить нулевой вектор по несуществующему базису?"

Ну, это ваша интерпретация :-) Я всё жду, когда придёт лесник pogulyat_vyshel.

[realeugene]

Munin в сообщении #1358802 писал(а):

А если взять удлинённую или укороченную циклоиду, и устремить её к точной?

Всё будет отлично, но предел тангенциального ускорения при этом будем брать в пространстве обобщённых функций.

PS

(обобщённые вектора)

Кстати, а что такое вектор как функция времени с обобщёнными координатами? Просто поточечно его не повернёшь, разумеется, при смене базиса, так как в точках сингулярности определённые значения его координат не существуют. Тем не менее, такие обобщённые вектора должны быть как-то определимы строго.

Тем не менее, при замене глобального не зависящего от времени базиса в евклидовом пространстве можно требовать преобразование координат обобщённого вектора целиком по правилам преобразования координат векторов, так как линейные комбинации обобщённых функций являются обобщёнными функциями. А вот как это всё распространяется на риманову геометрию с отдельным касательным пространством в каждой точке не совсем понятно. Но тут и не нужно.

[Walker_XXI]

(miflin)

miflin в сообщении #1358777 писал(а):

Walker_XXI в сообщении #1358770 писал(а):

Так модуль что вектора, что числа - неотрицательное число.

Мне почему-то казалось, что отбросить минус у числа и вычислить длину вектора - это несколько разные вещи.
Положительность результата - это достаточное условие?

Для одномерного случая взятие модуля числа и есть определение длины соответствующего вектора. В рассматриваемом примере влоб вычислили длину: $\boldsymbol v(t)=a_0t\boldsymbol e,\quad a_0=\operatorname{const}>0 $, откуда $|\boldsymbol v(t)|=|a_0t\boldsymbol e|=a_0|t|$.