Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе

[Munin]

Sicker в сообщении #1358619 писал(а):

Просто вы сами неоднократно писали, что вам больше нравится работать с антисимметричными тензорами, чем с формами

Прекратите врать.

Мне привычней тензоры, чем формы, получается эффективней, но нравится - именно с формами. (Просто я понимаю, что не всё через формы выражается. Тензор Римана, например.)

arseniiv в сообщении #1358621 писал(а):

Давайте подумаем, чего мы ещё misha.physics не рассказали.

Я жду его ответа на накиданные "упражнения". Тут надо не скакать вперёд, а проработать простые вещи, но уж хорошо.

[misha.physics]

Munin,

Munin в сообщении #1358021 писал(а):

Для (26.5) есть такое обозначение - квадратные скобки вокруг нескольких индексов означают антисимметризацию по всем перестановкам этих индексов:

$$(\partial_{[i}F_{kl]}\equiv)\quad\dfrac{\partial}{\partial x^{[i}}F_{kl]}=0.$$

Я правильно понимаю, что обозначение $\partial_{[i}F_{kl]}$ означает $\partial_{[i}F_{kl]}=\frac{1}{6}(\partial_iF_{kl}+\partial_kF_{li}+\partial_lF_{ik}-\partial_lF_{ki}-\partial_kF_{il}-\partial_iF_{lk})$? Тогда если $\dfrac{\partial}{\partial x^{[i}}F_{kl]}=0$, то получим $\frac{2}{6}(\partial_iF_{kl}+\partial_kF_{li}+\partial_lF_{ik})=0$ и после умножения на тройку получим (26.5), как и должно быть.

Munin в сообщении #1358021 писал(а):

И тут оказывается, что

$$A_{[ikl]}=-\tfrac{1}{6}\varepsilon^{pikl}A_{ikl}.$$

Так как здесь равенство, то чтобы оно выполнялось оно должно равняться нулю, да? И если $A_{[ikl]}=\frac{1}{6}(A_{ikl}+A_{kli}+A_{lik}-A_{lki}-A_{kil}-A_{ilk})$, то это равно $\frac{1}{6}\varepsilon^{pikl}A_{ikl}$, если зафиксировать индекс $p$. Но это формально как-бы. Ведь слева у нас три свободные индексы $ikl$ а справа - один p. Мы в праве поставить здесь равенство? И если так, то зачем знак минус? Разве не будет

$$A_{[ikl]}=\frac{1}{6}\varepsilon^{pikl}A_{ikl}.$$

для любого $p$?

misha.physics в сообщении #1358356 писал(а):

Если мы в формуле связи тензора электромагнитного поля с потенциалом напишем множитель $\frac{1}{2}$, то это не должно вроде отразится на уравнениях Максвелла. Как получается, что физический результат не будет зависить от соглашений антисимметризации? Происходит что-то вроде сокращения левой и правой части уравнения на общий множитель, образно говоря? И на каком этапе?

Похоже я уже понял. У нас есть уравнения Максвелла как обобщения экспериментальных фактов, у нас есть скажем

$$\operatorname{div}{\vec{E}}=4\pi\rho,$$

мы договорились, что мы понимаем под $\vec{E}$, $\rho$ и операцией дивергенции. Теперь когда мы хочем получить эти уравнения в 4-формализме, то если мы в ходе примем какое-то соглашение относительно симметризации тензора $F_{ik}$ или ещё какое-то соглашение, то мы потом должны будем принять ещё какие-то соглашения чтобы у нас получились те уравнения Максвелла, которые должны получится, ведь они имеют вполне конкретный физический смысл. И если мы, например, договорились писать двойку при антисимметризации, то это двойка скажем вылезит в формулах связи между $E_x$ и $F_{01}$. Нам нужно будет принять соглашение чтобы выполнялось уравнение Максвелла. Я правильно понимаю?

Munin в сообщении #1358428 писал(а):

Ну, там не всё так тривиально.
$n=1$ - одномерная прямая:
$a\stackrel{*}{\to}b^i.$

Если $n=1$, то есть дуальность $A\to\varepsilon^pA$, но размерность пространства единица, значит $p$ принимает всего одно значение, пусть $p=1$ и $\varepsilon^1=1$, тогда получаем тривиально дуальность $A\to A$. Я это имел ввиду, или я неправильно понял?
Если $n=2$, то есть дуальность $A_i\to\varepsilon^{pi}A_i$, получаем тривиально $A_1=-A_2$.

Munin в сообщении #1358428 писал(а):

Замечали ли вы, например, что производная от скалярной функции одной переменной - на самом деле вектор?

Вы наверное о том, что градиент скалярного поля это вектор (точнее ковектор), да, понимаю.

Munin в сообщении #1358486 писал(а):

А вот и нет! Это уравнение не независимо от двух мной выписанных. Вы можете сами из этих двух получить все остальные:

$$A_{ikl}=-A_{ilk}=A_{kli}=-A_{kil}=A_{lik}=-A_{lki}.$$

Интересно. Те два ваши уравнения говорят, что можно переставить 1 и 2 индексы и 2 и 3. Но при переходе от второго члена к третьему мы используем то, что можно переставить 1 и 3 индексы. Фактически, когда мы пишем $-A_{ilk}=A_{kli}$ и потом по цепочке говорим что $A_{ikl}=-A_{lki}$, то получается что мы для того чтобы доказать, что можно переставить местами 1 и 3 индексы в ходе этого доказательство это используем как факт. Или я неправильно понял?

Munin в сообщении #1358428 писал(а):

Да, это хорошо, что очевидно, как окончательный факт. Но вот как он возникает из соотношений антисимметрии (и что ещё возникает попутно) - хорошо бы разобраться.

Немного не понял вопроса. Возникает этот факт из того, что если у нас индексы будут одинаковы, то пользуясь свойствами антисимметрии мы сможем перейти от одной структуры индексов к другой с помощью перестановок. А если индексы будут различны, то мы не сможем здесь воспользоваться соотношениями атнисимметрии и в общем случае, 4 компоненты будут независимы. А в каком смысле что возникает попутно? Или вы имеете ввиду то, что зная эти 4 независимые компоненты, которые мы можем узнать из дуальности антисимметричного тензора третьего ранга 4-вектору, зная 4 компоненты последнего? Это я понимаю.

nya,

nya в сообщении #1358514 писал(а):

Имея $k$-вектор $\omega \in \bigwedge^k V$ и форму объема $\operatorname{det}$ на $V$, можно канонически построоить $n-k$-форму $\operatorname{det}(\omega \wedge ?) \in (\bigwedge^{n-k} V)^*$. Имея вдобавок к этому метрику $g$ на $V$, которая индуцирует изоморфизмы $\sharp : V^* \to V$ и $\sharp : (\wedge^k V)^* = \wedge^k V^* \to \wedge^k V$, мы можем построить соответствие $\star : \omega \mapsto \sharp \operatorname{det}(\omega \wedge ?)$ имеющее тип $\star : \bigwedge^k V \to \bigwedge^{n-k} V$. Как видно из определения, универсальное свойство этого соответствия в том, что $\operatorname{det} (\omega \wedge \star \omega) = 1$, это всё в сто раз проще и понятнее чем вычисления в каких-то антисимметризованных индексах.

Похоже, я тут половину слов и обозначений не знаю :(

Sicker,

Sicker в сообщении #1358576 писал(а):

Просто кому-то нравятся дифференциальные формы, а кому-то

А кому-то дифференциальные формы это новый непонятный пока мир :)

nya,

nya в сообщении #1358595 писал(а):

Формы гораздо более геометричны чем тензоры, в том смысле что их можно иллюстрировать как "ориентированные площадки"

Вот я до этого места и читал МТУ по ОТО. Понял, что застрял в этом месте. И ещё мне кажется, что зарубежные книги по математике как-то специфически объясняют математику в отличии от книг русскоязычных, обозначения какие-то неродные или что.

Munin,

Munin в сообщении #1358629 писал(а):

Я жду его ответа на накиданные "упражнения".

Я постараюсь ближайшем временем их проработать. Сначала хочу начать с перехода от (32,13) к (31.3). И как думаете, можно ли после этого мне взяться к решению своего первого вопроса темы о теореме Гаусса?

-- 03 дек 2018, 23:31 --

Кстати, спасибо вам за эти упражнения!

[Munin]

misha.physics в сообщении #1358640 писал(а):

Так как здесь равенство

Да, в этом примере я слишком вольно разошёлся. Разумеется, там не равенство. В равенстве "свободные" индексы справа и слева должны точно совпадать.

Знак минус - откуда-то из подсознания выполз. Можно и без него, может быть.

Прошу прощения, что пишу вам неаккуратнее, чем вы потом читаете.

misha.physics в сообщении #1358640 писал(а):

Похоже я уже понял. У нас есть уравнения Максвелла как обобщения экспериментальных фактов

Да, тут вы правильно всё поняли.

misha.physics в сообщении #1358640 писал(а):

Если $n=1$, то есть дуальность $A\to\varepsilon^pA$, но размерность пространства единица, значит $p$ принимает всего одно значение, пусть $p=1$ и $\varepsilon^1=1$, тогда получаем тривиально дуальность $A\to A$. Я это имел ввиду, или я неправильно понял?

Да, но всё-таки при всей тривиальности иногда полезно (insightful) смотреть на эту тривиальность как на частный случай общих соотношений. Например, теорема Ньютона-Лейбница оказывается частным случаем обобщённой теоремы Стокса (также дающей теоремы Грина, Гаусса и Стокса "обычную").

misha.physics в сообщении #1358640 писал(а):

Если $n=2$, то есть дуальность $A_i\to\varepsilon^{pi}A_i$, получаем тривиально $A_1=-A_2$.

Тут вы поторопились. $A^*_1=-A_2,\quad A^*_2=A_1,$ так будет точнее.

misha.physics в сообщении #1358640 писал(а):

Или я неправильно понял?

Нет, неправильно. Я записал равенства не по порядку перестановок индексов. А вот найти этот порядок - ваша задача! :-)

misha.physics в сообщении #1358640 писал(а):

Возникает этот факт из того, что если у нас индексы будут одинаковы, то пользуясь свойствами антисимметрии мы сможем перейти от одной структуры индексов к другой с помощью перестановок.

Угу. Вопрос в том, как конкретно это сделать из предложенной мной системы соотношений.

misha.physics в сообщении #1358640 писал(а):

Сначала хочу начать с перехода от (32,13) к (31.3).

Думаю, это я поторопился. Давайте вот что обсудим. Допустим, у нас есть 3-мерная формула с интегралом, и 4-мерная формула с интегралом. Чтобы их сопоставить, нам надо разобраться, по чему мы должны интегрировать.

Каким 4-мерным фигурам соответствуют такие 3-мерные области интегрирования?
- линия
- замкнутая линия
- поверхность
- замкнутая поверхность
- объём

[Slav-27]

misha.physics в сообщении #1357988 писал(а):

Интересно, существуют ли какие-то учебники по физики для математиков (хотя я не могу найти веские причины, по которым математикам нужна физика, математика в моем понимании является наукой самодостаточной вроде замкнутой системы). Где математика как-бы выносится на передний план, а из физики берутся только экспериментальные данные, которые входят в качестве "аксиом". Т. е. в таком случае, физика для математиков была бы математикой, в которой есть аксиомы, связанные с экспериментами.

Существуют. По квантовой механике ещё есть Hall. Quantum theory for mathematicians, хороший, читается легче Тахтаджяна ну и вообще несколько про другое. Про квантовые поля есть много книг именно как вы хотите, принимают физически разумные аксиомы и пытаются что-то математически разумное построить, но получается не очень хорошо. Если интересует ОТО, попробуйте посмотреть недлинный текст Penrose. Techniques of differential topology in relativity про причинность и сингулярности. Хокинг, Эллис. Крупномасшабная структура пространства-времени и Уолд. Общая теория относительности (Wald. General relativity) хотя и предназначены для физиков, но написаны на современном математическом языке, в отличие от ЛЛ-2, Вайнберга и (при всех достоинствах) Мизнера-Торна-Уилера. Сарданашвили читал начало 1-го тома, по-моему, оно неудачное, можно сильно проще написать, как мне кажется. Вообще про математику для физиков и физику для математиков последнее время пишут много хороших книг, в основном по-английски. Где-то в окрестности 60-х -- 70-х годов был некоторый пик непонимания между математиками и физиками, вплоть до того, что некоторые вещи математики и физики открывали в разное время независимо друг от друга (уравнения Янга -- Миллса, к примеру). Последнее время эта ситуация, кажется, постепенно исправляется благодаря усилиям многих людей, которые поняли, что это нехорошо.

misha.physics в сообщении #1357988 писал(а):

я не могу найти веские причины, по которым математикам нужна физика, математика в моем понимании является наукой самодостаточной вроде замкнутой системы

Ваше понимание совершенно неверно. Из физики в математику идут идеи. Огромная и интересная часть математики 20-го (и не только) века произошла из физики.

-- 04.12.2018, 02:59 --

Munin в сообщении #1358629 писал(а):

Мне привычней тензоры, чем формы, получается эффективней, но нравится - именно с формами. (Просто я понимаю, что не всё через формы выражается. Тензор Римана, например.)

Разницы тензорами и дифференциальными формами вообще ведь нет (в том смысле что одно -- подмножество другого), а обсуждаются здесь просто разные обозначения одного и того же. Кстати, тензор Римана -- вполне себе 2-форма со значениями в алгебре Ли $so(1,3)$. И страшное выражение через символы Кристоффеля (смотрите ЛЛ-2, параграф "Тензор кривизны", там, где он впервые появлятся, у меня это формула 91.4) при таком подходе записывается в виде $R=d\Gamma + \Gamma \wedge \Gamma$.

-- 04.12.2018, 03:13 --

misha.physics в сообщении #1358640 писал(а):

Похоже, я тут половину слов и обозначений не знаю :(

Я бы сказал так. Имея дифференциальную $k$-форму $\omega$ (= антисимметрический по всем индексам тензор $\omega_{i_1...i_k}$), можно поднять у ней все индексы с помощью метрики и получить кососимметрический $k$-вектор $\omega^\sharp$ (= контравариантный антисимметрический по всем индексам тензор $g^{i_1j_1}...g^{i_kj_k}\omega_{j_1...j_k}$), а потом подставить его в $n$-форму объёма в качестве первых $k$ аргументов (свернуть этот вектор с формой объёма $\sqrt{|g|}\varepsilon_{i_1...i_n}$ по первым $k$ индексам). Получится некоторая $(n-k)$-форма $\star \omega$ (останутся $n-k$ несвернутых нижних индексов, по которым тензор антисимметричен). Это и будет то, что вы называете "дуальный тензор", а nya будет называть звёздочкой Ходжа от формы $\omega$ -- с точностью до знака, за которым надо было внимательно следить.

[Munin]

А сам $\Gamma,$ получается, 1-форма? А где почитать ОТО в таком изложении? Хокинг-Эллис далеко ещё не то.

[arseniiv]

О, присоединяюсь. Про тензор Римана было внезапно.

[Slav-27]

Munin в сообщении #1358671 писал(а):

А сам $\Gamma,$ получается, 1-форма?

Только локально.

Munin в сообщении #1358671 писал(а):

А где почитать ОТО в таком изложении?

Вполне возможно, что и нигде, зачем оно там. В физической литературе нечто очень близкое называется "тетрады", но пишут про них обычно так, что ничего не поймёшь.

[vpb]

misha.physics
Вы пишете, что хотите что-то читать научное, только не можете собраться. Это, наверное, потому, что у Вас нет в поле зрения хорошей книжки, которая была бы посильной и (тем самым) увлекла бы Вас. Хочу Вам предложить две книжки про тензоры. Они сложнее, чем то, что Вы до сих пор читали, однако, если Вам Будак-Фомин нормально пошел, есть надежда, что и несколько более высокий уровень Вы тоже освоите.

Жил такой большой математик и педагог, Н.В.Ефимов. Он написал несколько известных хороших книжек. Последней была небольшая книжка Введение в теорию внешних форм. Там очень подробно написано про внешнюю алгебру, дифференциальные формы и их интегрирование. Изложение очень аккуратное и последовательное, что называется, "дружественное к читателю". Всё весьма разжёвано. Надо оговориться, что я не могу дать голову на отсечение, что в этой книжке всё хорошо (он её писал будучи уже, что называется, в годах, но априори в общем доверяю репутации (в моих глазах) Ефимова как педагога).

Есть еще одна книжка. T. Yokonuma, Tensor spaces and exterior algebra. Там с самого начала объясняется, очень подробно, "абстрактная" точка зрения на тензоры, что такое тензорное произведение и т.д. Но эта книга весьма
абстрактно-математична. К тому же она на иностранном языке. Впрочем, последнего не надо пугаться, ибо translated from Japan by T.Yokonuma. Проще говоря, он сам же её и перевел на английский, в силу чего и язык там весьма простой.

Но главное, и математичность, и английский язык у Йоконумы компенсируются крайней разжёванностью. По сравнению с Кострикин-Маниным там всё длиннее раза в три, а в начале так и вообще раз в пять. С моей точки зрения, из
существующих книжек по тензорам эта вообще лучшая. Я ссылку на нее когда-то увидел в одной статье, скачал, и она мне чрезвычайно понравилась, так что я ее уже не раз рекомендовал разным людям.

Такие вещи, как подъем/спуск индексов, а также звезда Ходжа, ни в Ефимове, ни в Йоконуме не объясняются, но если содержание этих книжек понять, то и с указанными вещами проблем не будет (они на самом деле просты).

-- 04.12.2018, 03:57 --

(подъем, спуск, и Ходж)

Напишу уж прямо тут. Пусть у нас есть пространство $V$, и на нем невырожденная билинейная форма $g$, для простоты симметрическая. Тогда мы можем, используя эту форму, отождествить $V$ с сопряженным пространством $V^\ast$ (вектор $v\in V$ соответствует линейной функции $l=l_v$, определяемой правилом $l_v(x)=g(v,x)$). Это стандартный факт из учебников (например, Кострикин, т.2, гл.3, пар.1, теорема 9).

Задача. Пусть $V$ --- двумерное пространство с базисом $(e_1,e_2)$, $V^\ast$ --- двойственное пространство, $(e^1, e^2)$ --- двойственный базис к $(e_1,e_2)$, и на $V$ есть форма $g$ с матрицей $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ (т.е. $g(e_1,e_1)=1$, и т.д.). Дан вектор $v=3e_1+5e_2$. Найдите соответствующий ему ковектор $l_v$ в базисе $(e^1,e^2)$.
(Сейчас решать не обязательно; написано, просто чтоб следующий абзац каким-то абстрактным не казался.)


Теперь, скажем, рассмотрим тензорное произведение $V\otimes V\otimes V$. Поскольку $V$ отождествляется с $V^\ast$, то мы можем рассмотреть тензорное произведение тождественного отображения $V\otimes V\longrightarrow V\otimes V$ и канонического изоморфизма $V\longrightarrow V^\ast$. Получается изоморфизм $V\otimes V\otimes V \longrightarrow V\otimes V\otimes V^\ast$. Это и есть то ли подъем, то ли спуск индексов. Если записать в координатах, то получатся известные формулы типа $t^{ij}_{k}=t^{ijl}g_{kl}$.
(Не ожидайте, что Вы прямо сейчас поймете, что написано в этом абзаце. Это я Вам пишу на будущее, чтоб был мотив Йоконуму читать. Я могу обещать, что если Вы большую часть Йоконумы и Ефимова прочитаете, то написанное тут поймете).

Про Ходжа. Из формы $g$ на $V$ получается форма $\widetilde g$ на $V\otimes \ldots\otimes V$, ($l$ сомножителей), по правилу $\widetilde g(v_1\otimes\ldots\otimes v_l, u_1\otimes\ldots\otimes u_l)=g(v_1,u_1)\ldots g(v_l,u_l)$. Далее, оказывается, что подпространство полностью антисимметричных тензоров, которое мы обозначим $\bigwedge^l V$, невырождено относительно формы. С другой стороны, есть билинейное отображение $\bigwedge^l V\times \bigwedge^{n-l} V\longrightarrow \bigwedge^n V$ (не что иное, как внешнее произведение форм). В силу того, что $\bigwedge^n V$ одномерно, получается билинейное отображение из $\bigwedge^l V\times \bigwedge^{n-l} V$ в ${\mathbb R}$.
Притом оно невырождено, и размерности у $\bigwedge^l V$ и $\bigwedge^{n-l} V$ одинаковы. Таким образом, двойственное пространство к $\bigwedge^l V$ канонически изоморфно $\bigwedge^{n-l} V$. Но оно изоморфно и самому $\bigwedge^l V$, в силу невырожденности ограничения формы $\widetilde g$. Поэтому получается некий канонический изоморфизм между $\bigwedge^{n-l} V$ и $\bigwedge^l V$. Это и есть звезда Ходжа.
(то же самое: поймете с помощью указанных книжек. Не бог весть какая сложная вещь.)

-- 04.12.2018, 04:02 --

Еще одно достоинство обоих книжек --- что там изложение идет сосредоточенно, без всяких уходов в сторону. А, например, "Современная геметрия" очень напоминает сборную солянку, там всё время изложение ветвится то туда, то сюда.

"Теория тензоров" как учебная область состоит, вообще говоря, из нескольких частей. Тут и тензорные произведения, и классическая алгебраическая теория тензоров (когда тензор рассматривается как табличка из $n^{p+q}$ чисел), и
тензоры в криволинейных координатах, тензорные поля на многообразиях, интегрирование и теорема Стокса, и т.д. Поэтому предлагаемые книжки не отменяют других, "Современной геометрии" прежде всего, а служат для облегчения восприятия
их, как предварительное или параллельное чтение.

Другие книжки по тензорам с алгебраической точки зрения: Кострикин 2, Кострикин-Манин, Постников "Линейная алгебра".

Надо также иметь в виду, что в изложении в разных книжках могут быть разными "первичные понятия". В одних первичным понятием является тензор, а потом уже определяются пространства тензоров, тензорные произведения и т.д. В других же первично тензорное произведение пространств. Не удивляйтесь, что в разных книжках по разному. Я лично приверженец второго подхода.

Еще одна вещь. Книга Йоконумы (и вообще учение о тензорных произведениях) требует некоторого "алгебраического" мышления. И одновременно она же его и воспитывает. В частности, читая ее, вы можете познакомиться, неявно, с некоторыми "категорными" понятиями, типа: коммутативная диаграмма, универсальное свойство или объект, каноническое
или естественное отображение, канонический изоморфизм, естественное преобразование (возможно...). Чем это полезно ? Скажем, подъем-опускание индексов, и звезда Ходжа --- это как раз примеры естественных отображений. И имея в виду само это довольно "философское" понятие, легче воспринять данные конструкции. Короче, есть такие понятия, которые полезно иметь в виду.

Еще. Некоторые вопросы в Йоконуме можно пропустить, Вам они вряд ли нужны. А именно: тензорные произведения модулей над кольцами; расширение скаляров (полей) (часть (b) в пар.8 гл.1); большую часть гл.3.

(вроде всё ...)

[nya]

Тензор Римана это по определению некоторая 2-форма со значениями в эндоморфизмах, её можно пулбэкнуть до формы в ассоциированном расслоении фреймов, тобишь в $\Omega^2(Fr TМ) \otimes \mathfrak{gl_n}$ выражение $\Omega = d\Phi + \Phi \wedge \Phi$ это выражение этой 2-формы в терминах формы связности. Все конструкции выше глобальны.

Sicker в сообщении #1358619 писал(а):

Просто вы сами неоднократно писали, что вам больше нравится работать с антисимметричными тензорами, чем с формами, и упрекали одного человека, который начал с форм. Вот мы с nya и пытаемся сказать, что можно и по другому

это да

[Munin]

Slav-27 в сообщении #1358673 писал(а):

Вполне возможно, что и нигде, зачем оно там.

Ну без ОТО.

И если уж совсем напрашиваться, то в какой книге прочитать то, что сказал nya, и ещё - про $\nabla^{2}=\mathrm{d}\delta+\delta\mathrm{d}=(\mathrm{d}+\delta)^2.$

[nya]

Это можно рассматривать как одно из стандартных определений связности или же в контексте науки об интегрировании G-структур и препятствий к этому. Ну много где написано, Ivey Landsberg "Диф.геометрия в терминах фреймов" или как-то так или там Koboyashi-Nomizu тоже должно быть, есть ещё текст который называется "Linear G-structures by examples" без авторства, в гугле найдёте, очень хороший. Про лапласа-бельтрами я бы на вашем вместе ввел бы в гугле "Hodge decomposition theorem pdf" и выбрал бы по вкусу текст, так как основного материала там страниц на 15, если очень размазывать, то на 30.

[misha.physics]

Munin,

Munin в сообщении #1358656 писал(а):

Знак минус - откуда-то из подсознания выполз.

Возможно из того, что

$$\varepsilon^{iklm}\varepsilon_{iklm}=-24$$

Munin в сообщении #1358656 писал(а):

Тут вы поторопились. $A^*_1=-A_2,\quad A^*_2=A_1,$ так будет точнее.

Я догадывался, что здесь у меня проблемы. Думал так: при $n=2$ есть дуальность $A_i\to\varepsilon^{pi}A_i$. Если $\varepsilon^{pi}A_i=x^i$, то имеем два уравнения:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \varepsilon^{01}A_1=x^0 \\ \varepsilon^{10}A_0=x^1 \\ \end{array} \right.$$

А дальше как понимать антисимметричность $A_i$? Здесь же индексы не переставить. Вот я и подумал, что антисимметричность будет означать (но сейчас мне это не нравится) $A_0=-A_1$, тогда $x_0=x_1$.

Munin в сообщении #1358656 писал(а):

$A^*_1=-A_2,\quad A^*_2=A_1,$ так будет точнее.

А как вы это получили? Под $A_1^*$ вы подразумеваете $A_1^*=g_{12}A^{*2}=g_{12}\varepsilon^{21}A_1$? Но что-то я не понимаю, как вы получили те 2 равенства.

Slav-27,

Slav-27 в сообщении #1358661 писал(а):

По квантовой механике ещё есть Hall. Quantum theory for mathematicians

Спасибо. Полистал пару первых страниц, вроде начинают с легкого для меня.

Slav-27 в сообщении #1358661 писал(а):

есть много книг именно как вы хотите, принимают физически разумные аксиомы и пытаются что-то математически разумное построить

Даже не то, чтобы я хотел читать математические книги по физике, мне просто было интересно, существуют ли такие, хотя мне и нравится математическая последовательность, но пока я смотрю в сторону физических книг по физике :)

Slav-27 в сообщении #1358661 писал(а):

Я бы сказал так. Имея дифференциальную $k$-форму $\omega$ (= антисимметрический по всем индексам тензор $\omega_{i_1...i_k}$), можно поднять у ней все индексы с помощью метрики и получить кососимметрический $k$-вектор $\omega^\sharp$ (= контравариантный антисимметрический по всем индексам тензор $g^{i_1j_1}...g^{i_kj_k}\omega_{j_1...j_k}$), а потом подставить его в $n$-форму объёма в качестве первых $k$ аргументов (свернуть этот вектор с формой объёма $\sqrt{|g|}\varepsilon_{i_1...i_n}$ по первым $k$ индексам). Получится некоторая $(n-k)$-форма $\star \omega$ (останутся $n-k$ несвернутых нижних индексов, по которым тензор антисимметричен). Это и будет то, что вы называете "дуальный тензор", а nya будет называть звёздочкой Ходжа от формы $\omega$ -- с точностью до знака, за которым надо было внимательно следить.

Это, конечно, воспринимать легче. Уже появилось ещё больше заинтересованности к этой теме.

vpb,

vpb в сообщении #1358677 писал(а):

Вы пишете, что хотите что-то читать научное, только не можете собраться. Это, наверное, потому, что у Вас нет в поле зрения хорошей книжки, которая была бы посильной и (тем самым) увлекла бы Вас.

Мне часто кажется, что книги хорошие-то есть, и понять я их могу если приложу больше усилий (или хотя бы открою их и начну читать), просто в данный период (уже продолжительный) не получается выйти на тот темп, на который я хочу. Другого варианта разобраться в математике или физике кроме чтения книг я для себя не вижу (это основа, дополнительно можно видеолекции ещё смотреть и т. д.). Нужно только лень перебороть.

vpb в сообщении #1358677 писал(а):

Найдите соответствующий ему ковектор $l_v$ в базисе $(e^1,e^2)$.

Мне не понятно обозначение

vpb в сообщении #1358677 писал(а):

$l_v(x)=g(v,x)$)

хотя бы потому, что я не понимаю что такое $x$, но я попробовал сделать так (использую свои воспоминания по этой теме, которые вполне возможно неправильны):

$$v^2=g(v,v)=(v^1e_1+v^2e_2)^2=g_{11}v^1v^1+g_{12}v^1v^2+g_{21}v^2v^1+g_{22}v^2v^2)=$$

$$=l(v)=(v^1e_1+v^2e_2)(l_1e^1+l_2e^2)=v^1l_1+v^2l_2=9+30+30+75=144=3l_1+5l_2.$$

Нам нужно найти $l_1$ и $l_2$. Если бы ми ещё могли сказать (так можно сказать?), что $v^2=l^2$ (не путать квадрат вектора и ковектора с 2-й компонентой), то мы би нашли их. Или это все мой бред. Вот поэтому мне и нужно читать книги чтобы у меня не возникало таких дурацких вопросов.

vpb в сообщении #1358677 писал(а):

Это я Вам пишу на будущее, чтоб был мотив Йоконуму читать.

Мотив появляется. Это же так красиво. Кстати, вы встречали в сети книгу Йоконумы?
О формах кроме расплывчатой идеи, что это удобно, когда у нас базис неортогональный, поэтому естественно возникают объекты двойственной природы чтобы мы могли с их помощью просто записывать инварианты (например $x_iy^i$), а потом обобщаем это от векторов к тензорам, пока нет. Вот книги, где объясняются такие вещи и расписывают больше в компонентах, мне было бы легче читать.

vpb в сообщении #1358677 писал(а):

В других же первично тензорное произведение пространств.

Я вижу многим (математикам видимо в первую очередь) удобно мыслить в терминах линейных пространств, мне же пока это не кажется удобным понятием, видимо, я ещё не осознал его смысл.

vpb в сообщении #1358677 писал(а):

требует некоторого "алгебраического" мышления

А в чем смысл алгебраического мышления? У меня есть только догадки о мышлении такими категориями как группами, кольцами и что-то такое. Но в чем смысл алгебраических структур я не знаю.

-- 04 дек 2018, 19:56 --

Munin,

misha.physics в сообщении #1358837 писал(а):

Но что-то я не понимаю, как вы получили те 2 равенства.

Ааа, или там просто где звёздочки должны были быть верхние индексы вместо нижних, да?

[Walker_XXI]

Munin в сообщении #1358680 писал(а):

И если уж совсем напрашиваться, то в какой книге прочитать то, что сказал nya

Во многих книгах по дифф.геометрии. Краткое изложение, например, есть во вводных главах 1 т. А.Бессе "Многообразия Эйнштейна". Без ОТО, но в применении к калибровочным теориям: Кадич, Эделен "Калибровочная теория дислокаций и дисклинаций". Дома могу глянуть, в каких учебниках излагается.

[nya]

+ Многообразия Эйнштейна сама по себе очень хорошая книжка, читать её очень полезно, но с ОТО она не связана почти никак

[Slav-27]

Munin в сообщении #1358671 писал(а):

А где почитать

Есть такая книжка Tu. Differential geometry. Connections, curvature, and characteristic classes. По-моему, это педагогический шедевр. Там одно и то же повторяется по многу раз в разных местах разными словами. А если будет непонятно, то есть ещё An introduction to manifolds того же автора.