Определение предела функции.

[grizzly]

g______d
Да, в прошлом сообщении я Вас не понял.

g______d в сообщении #1356330 писал(а):

и заставляет везде тащить "$x\in \mathrm{dom}(f)$".

Согласен, но это цена его формализма: $E\ni x\to a+0$

g______d в сообщении #1356330 писал(а):

И, по-моему, в дальнейших примерах он этому не следует.

Тоже не буду спорить, я не смотрел дальше, насколько он последователен.

PS. Я учил анализ в универе по нескольким учебникам (с большим удовольствием читал каждую тему в каждом из них), но Зорича особо любил за необычные примеры и упражнения, а теорию я по нему даже не пытался изучать -- слишком отличалось от других курсов.

[g______d]

grizzly в сообщении #1356333 писал(а):

Тоже не буду спорить, я не смотрел дальше, насколько он последователен.

Ну кстати, просто чтобы было: двумя страницами позже он даёт расшифровку $\lim\limits_{x\to a-0}$, и она буквально означает "предел по базе вида $\{(c,a)\colon c_0<c<a\}$ для некоторого $c_0<a$", а не предел по базе $x\to a-0$, который он определил раньше (и которая соответствует $c_0=-\infty$). То есть в конечном итоге у него определение односторонних пределов общепринятое, но оно является не пределом по базе, а пределом по классу баз с квантором $\exists$.

-- Пт, 23 ноя 2018 15:22:04 --

grizzly в сообщении #1356333 писал(а):

Да, в прошлом сообщении я Вас не понял.

Если имеется в виду первое сообщение, то там я был неправ (ну или не полностью прав): если он пишет $f\colon E\to \mathbb R$, то эта запись достаточно жёстко означает $\mathrm{dom}(f)=E$.

[gevaraweb]

arseniiv в сообщении #1356323 писал(а):

А ограничить функцию — почему-то большой грех.

В том-то и дело, к чему фактически, как я разумею, и клонит ТС. Сухой беспристрастный ум нас спросит: Почему, когда приходится рассматривать свойства функции на подмножестве области определения, вы иногда говорите о сужении функции, а иногда говорите о самой функции? Что за бардак? )

[gevaraweb]

Или я могу говорить и так, и так? Возьмем функцию Римана:

$ \displaystyle { f (x) = {\begin {cases} {\frac {1} {q}} & {\text { если }} x = {\tfrac {p} {q}} \quad (x {\text { является рациональным), с }} p \in \mathbb {Z} {\text { и }} q \in \mathbb {N} {\text { ,}} \\0 & {\text { если }} x {\text { является иррациональным. }} \end {cases}}}$

Тогда предложения:

1) Функция Римана $ \displaystyle f(x)$ - непрерывная функция на множестве $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} $;
2) Сужение функции Римана $ \displaystyle f(x)|_{\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}}$ - непрерывная функция на множестве $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} $;

оба верны?

[grizzly]

gevaraweb в сообщении #1356390 писал(а):

Тогда предложения:

1) Функция Римана \displaystyle $f(x)$ - непрерывна на множестве $\mathbb {R} / \mathbb {Q} $;
2) Сужение функции Римана \displaystyle $f(x)|_{\mathbb {R} / \mathbb {Q}}$ - непрерывная функция;

оба верны?

Как вообще этот вопрос относится к данной теме? Задайте его в разделе ПРР(М), приведите определение (по Зоричу) функции, непрерывной на множестве, сделайте собственные попытки исследовать на непрерывность функцию из п.2 и тогда задавайте конкретные вопросы, с которыми не смогли разобраться.

-- 24.11.2018, 11:10 --

PS. Команду \displaystyle вносите внутрь формулы. Множество иррациональных чисел это разность множеств: $\mathbb {I=R\setminus Q}$, используйте команду \setminus.

[VitalyaTaylor]

Считаю такое определение идеально точным и строгим.

Пусть $X$ - некоторое подмножество множества вещественных числел ($X\subset \mathbb{R} $), а $E$, в свою очередь, некоторое подмножество $X$ ($X\supset E$) и точка $a$ - предельная точка множества $E$. Пусть $f:X \to \mathbb{R}$ - вещественнозначная функция, определённая на $X$.

Определение: Число $A$ называется пределом функции $f:X \to \mathbb{R}$ в точке $a$ по множеству $E$, если для любого числа $\varepsilon >0$ существует такое число $\delta>0$, что для всех $x \in E и удолетворяющих условию $0<|x-a|<\delta$ выполняется неравенство $|f(x)-A|<\varepsilon$.

(Далее неформальные выкладки. Строго расписывать научным языком долго.)

Обозначение как у Зорича.

Далее, добавляем.

В том случае, когда $E=X$ число $A$ - называют пределом функции $f:X \to \mathbb{R}$ в точке $a$. Обозначение обычное(как в первой базе у Зорича).

При таком определении можно без всяких проблем брать любую функцию и легко определить односторонний предел(для абсолютно любой функции). Я не понимаю как человек всю жизнь, отдавший математике не смог такое придумать...

-- 24.11.2018, 11:23 --

gevaraweb

По Зоричуу только второе утверждение имеет смысл. Для первого он определения не давал.

[grizzly]

VitalyaTaylor в сообщении #1356401 писал(а):

Пусть $f:X \to \mathbb{R}$ - вещественнозначная функция, определённая на $X$.

Непонятно, что у Вас значит обозначение $f:X \to \mathbb{R}$. Если, как обычно, что $X$ -- область определения функции, а $\mathbb{R}$ -- множество допустимых значений, тогда при построении Вашего предложения был использован приём плеоназм, который без особой необходимости лучше не использовать. Лучше сначала расшифровать обозначение, а потом просто сказать: "пусть $f:X \to \mathbb{R}$".

VitalyaTaylor в сообщении #1356401 писал(а):

Я не понимаю как человек всю жизнь, отдавший математике не смог такое придумать...

Никто и не рассчитывает, что Вы за один день обсуждения в этой теме сможете понять. Единственное, на что я надеюсь по результатам этой темы, что Вы смогли разобраться, почему удобно считать, что одна и та же функциональная зависимость (например, $\sin x$), рассматриваемая на разных областях определения, порождает разные функции.

[VitalyaTaylor]

grizzly

Ну уж извините, предложение взял у Зорича. Он так дублирует практически везде, при том что он однозначно определил это обозначение. Т.е. вы тут тоже по сути Зорича критикуете:)

[grizzly]

VitalyaTaylor в сообщении #1356418 писал(а):

Т.е. вы тут тоже по сути Зорича критикуете:)

Да, точно. Уж очень хотелось к чему-то придраться :)

[gevaraweb]

VitalyaTaylor в сообщении #1356401 писал(а):

По Зоричуу только второе утверждение имеет смысл. Для первого он определения не давал.

Да. Второе утверждение верно, но теряется "вкусность" доказательства. Далее, получается некий парадокс, что

1) Функция Римана $ \displaystyle f(x)$ - непрерывная функция на множестве $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}. $
- неверное утверждение, а
1') Функция Римана $ \displaystyle f(x)$ - непрерывная функция в каждой точке множества $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}. $
- верное утверждение.

[grizzly]

gevaraweb в сообщении #1356425 писал(а):

Далее, получается некий парадокс, что

Да, если не отличать некорректные утверждения от ошибочных, тогда поулчается парадокс. При попытке рассмотреть п.1 в соответствии с определением парадокс рассеивается.

[arseniiv]

(Оффтоп)

gevaraweb в сообщении #1356372 писал(а):

Почему, когда приходится рассматривать свойства функции на подмножестве области определения, вы иногда говорите о сужении функции, а иногда говорите о самой функции? Что за бардак? )

Потому что (и я это уже писал выше двумя разными способами) когда нас интересует только то, для чего достаточно подмножества $A$ области определения и больше ничего, $f$ и $f|_A$ одна не лучше другой. Потому что математики используют язык как и другие люди, и когда некоторое соответствие очевидно, вещи через него протаскиваются без явного упоминания. Ещё можете поругать кого-нибудь, что он говорит «синус равен нулю», когда синус — это же вроде функция, а ноль — это же вроде не функция, а число, как они могут быть равны.

Ну или рассмотрим ситуацию формальнее. Вот с этим определением мы не можем говорить о пределе функции $f$ по базе на $E$, если $E$ собственное подмножество $\operatorname{dom}f$. Однако мы можем расширить определение (до того другого, которое упоминали) и не получить проблем. И говорить уже и о таком. Математика не описывается (имеется в виду соглашение) с точностью до деталей единственным образом, так что одним и тем же словом могут называться немного разные понятия; главное чтобы не было путаницы — ну за этим люди обычно следят. Тут путаницы, по-моему, не возникает.

[gefest_md]

VitalyaTaylor в сообщении #1355923 писал(а):

Собсвенно он называет это определения пределом в точке по множеству $E$ и обозначает $x\to a, x \in E$ под знаком $\lim$. Зачем он это делает?

Предел функции всегда "по множеству".

VitalyaTaylor в сообщении #1355923 писал(а):

Что за множество $E$(это область определения!?)

Нигде возле таблицы с базами нет записи $f\colon E\to \mathbb{R}$ или что-то указывающее на то, что это область определения.
В таблице есть выражение "по множеству $E$", но у меня создалось впечатление, что формальным понятием "по множеству" автор пренебрегает.