Определение предела функции.

[VitalyaTaylor]

Всем привет. Изучая мат. анализ по учебнику Зорича, столкнулся с полным непринятием его определения предела функции. Скриншот его определения прилагаю. Собсвенно он называет это определения пределом в точке по множеству $E$ и обозначает $x\to a, x \in E$ под знаком $\lim$. Зачем он это делает? В англоязычной литературе по анализу такое определение используется для "простого предела". Т.е. Зорич просто так говорит, что $x$ стремится по множеству $E$, причём по другим множествам понятие предела у него не вводится. Т.е. по сути он грузит определение и обозначение ненужными словами и символами соответсвенно, т.к. в его определении область определения и множеству по которому $x$ стремится $a$ всегда совпадают. Далtе он вводит понятие базы и опять-таки вообще непонятно, что он имеет ввиду. Прилагаю скриншот. База $x\to a - это обязательно все окрестности точки в $R$ или же это окрестности точки, например, в интервале $(a,b)$? Где должна быть определена функция. Что за множество $E$(это область определения!?). Кто-нибудь объясните, ибо никак не могу догнать.





-- 22.11.2018, 17:20 --

Считаю, что должно быть нечто такое. Это определение из книги Шабата ТФКП.

[arseniiv]

Ну уж нет, иногда область определения функции шире, чем $E$. Например, односторонний предел $x\to a+0$ — это предел $x\to a, x\in (a;+\infty)$.

Зачем нужен предел по базе: чтобы унифицировать пределы в точке и пределы на бесконечности.

Когда выходим из $\mathbb R$ хотя бы даже в $\mathbb R^n$, интересных случаев становится больше.

[VitalyaTaylor]

arseniiv в сообщении #1355926 писал(а):

Ну уж нет, иногда область определения функции шире, чем $E$. Например, односторонний предел $x\to a+0$ — это предел $x\to a, x\in (a;+\infty)$.

Зачем нужен предел по базе: чтобы унифицировать пределы в точке и пределы на бесконечности.

Когда выходим из $\mathbb R$ хотя бы даже в $\mathbb R^n$, интересных случаев становится больше.

Вот именно, что и я так думал. Но Зорич почему-то этого не упоминает. Ниже на скриншоте(который с базами) даётся определения одностороннего предела, но опять-таки, что такое $E$? Если это область определения, то получается я не могу использовать это понятие, если у функции другая область определния. Если же нет, то тогда база $x \to a, x \in E$ означает иной объект нежели в начале параграфа, где ясно указано, что $E$ есть область определения функции $f$

[arseniiv]

VitalyaTaylor в сообщении #1355935 писал(а):

Но Зорич почему-то этого не упоминает.

Ну а зачем. По-моему, если не оговаривается, что $E$ не есть область определения функции, то она и не есть; единственное требование упомянуто nya в теме про базы.

VitalyaTaylor в сообщении #1355935 писал(а):

Если же нет, то тогда база $x \to a, x \in E$ означает иной объект нежели в начале параграфа, где ясно указано, что $E$ есть область определения функции $f$

Ну вроде там просто разные $E$, надо смотреть. Если складывается впечатление, что одна и та же, возможно, книгу заредактировали.

[VitalyaTaylor]

arseniiv

Ок, тогда зачем в определении сувать по множеству $E$, я бы ещё понял определение как у Шабата, там область определения содержит "множество по которому стремится..". А так по сути он испортил стандартное определние предела, тем самым ещё и запретив этой функции иметь предел по другому множеству, т.к. если мы возьмём "ту же функцию", например sinx, определённую на разных областях, то по Зоричу это буду две абсолютно разные функции. Соответсвенно по этому определению вообще нельзя ввести понятие одностороннего предела...

-- 22.11.2018, 18:05 --

arseniiv



Это слюдующая страница после определения Зорича.

В англоязычной литературе такое обозначение используется, если область [math]$E$[\math] есть подмножество области определения.

[arseniiv]

Если посмотреть пример 6 (надеюсь, он есть в том же виде в изданиях, близких к изданию 2012 года, по которому сейчас смотрю), который говорит об односторонних пределах $\mathrm{sgn}$ в нуле, хоть прямо их так и не называя, можно видеть, что предполагается сужать функции при надобности. То есть не страшно, если функция определена на большем множестве, чем $E$ — сузим её на $E$, если никак.

-- Чт ноя 22, 2018 20:08:28 --

VitalyaTaylor в сообщении #1355938 писал(а):

Соответсвенно по этому определению вообще нельзя ввести понятие одностороннего предела...

Как раз можно, см. выше.

[VitalyaTaylor]

arseniiv


Но в том то и непонимание. Сужение функции - это уже другая функция. И предел находится опять-таки по её области определения. Я видел такое в английских книгах. Но там конкретно введено понятие, что односторонний предел - это предел(обычный) сужения функции. Здесь такого нету!

[arseniiv]

Так под таблицей баз же, как нету?

-- Чт ноя 22, 2018 20:19:05 --

Ну да, явно не говорится, что эти пределы можно звать односторонними. Ну и велика потеря. Плюс, в принципе, если у вас такой арсенал учебников накоплен, то можно и читать те, которые больше нравятся, а не те, которые нравятся меньше.

[VitalyaTaylor]

arseniiv в сообщении #1355941 писал(а):

Так под таблицей баз же, как нету?

Да, только там если $E$ - область определения. А если нет, как я и говорил база, которая там и определение в начале параграфа определяют разные объекты. Если область определения двухсторонняя от точки, то по определнию в начале параграфа мы не можем ввести односторонний предел, т.к. определению даётся, когда x стремится по области определения.

-- 22.11.2018, 18:22 --

Мне было интересно мнение других людей по этому поводу) Может ещё кто-нибудь подтянется)

[arseniiv]

Надеюсь.

VitalyaTaylor в сообщении #1355942 писал(а):

Если область определения двухсторонняя от точки, то по определнию в начале параграфа мы не можем ввести односторонний предел, т.к. определению даётся, когда x стремится по области определения.

Ну и ограничим функцию. Да, это будет, строго говоря, другая функция. Но получающийся предел будет ровно тот же, что и если взять определение, где функция не ограничивается. Плюс если ввести (весьма естественное) понятие совпадения двух функций $f, g$ на множестве $A\subset\operatorname{dom} f\cap\operatorname{dom} g$ как $\forall x\in A.\, f(x) = g(x)$, то ограничение функции $f|_A$ совпадает с $f$ на $A$ (и для собственных надмножеств $A$ говорить что-то уже бессмысленно) — то есть настолько приближена к $f$, насколько это вообще возможно, так что не понимаю, чем ограничивать функции так плохо, когда это как раз подходящий к случаю инструмент.

[VitalyaTaylor]

arseniiv

Вообщем моё мнение, что это должно было быть определение предела при x стремится к a безо всяких множеств. А вот если по множеству, то нужно было бы ввести определение как в Шабате на скриншоте, например.

-- 22.11.2018, 18:32 --

arseniiv

По поводу ограничений. Получается, что мы додумываем теорию за Зорича, хотя это должна быть строгая однозначная теория "в себе".

[grizzly]

VitalyaTaylor
Не вижу ошибки или несогласованности определений / терминов в этом параграфе у Зорича. Я поддержу arseniiv, но и посочувствовать Вам тоже могу -- Зорич не самая простая книга для самостоятельного изучения и на неё здесь часто жалуются (иногда заслуженно, кстати, но не в этом месте; это место с подобными вопросами тоже обсуждалось уже здесь ранее, между прочим).

Вы говорите, что определения здесь не согласуются с определениями других книг. Такая ситуация в математике не редкость. Важно, чтоб они были внутренне согласованы.

Да, там множество $E$ -- область определения функции. И это множество Зорич иногда обзывает просто "множеством" -- во всех случаях вполне законно. Да, если изменить область определения, то даже при том же "законе соответствия" мы получим другую функцию. Вам это кажется неудобным? Согласен, что это сложно для первого ознакомления. Но иногда это очень важно. Другие учебники откладывают этот момент на потом (или чаще на другие предметы).

Вас не устраивает, что у Зорича нет отдельного определения для предела по подмножеству области определения? Ну, значит оно ему не понадобилось в этом курсе. Зачем же вводить определения, которые не будут востребованы? Тем более, что Зорич показал на примере односторонних пределов, как можно корректно работать с этими вещами.

[VitalyaTaylor]

grizzly

Ок, тогда если на странице с базами E - область определения, то обычная база для функций, определенных на всём R? Хотелось бы узнать, где в книге косяки, не могли бы вы подсказать ссылки обсуждений?

[grizzly]

VitalyaTaylor в сообщении #1355958 писал(а):

Ок, тогда если на странице с базами E - область определения, то обычная база для функций, определенных на всём R?

Не уверен, что понял вопрос. Но в той табличке наиболее часто встречающихся в анализе баз первые две строки относятся к базам по всему $\mathbb R$. Ведь если функция задана на всём $\mathbb R$, то указывать доп.ограничение нет смысла. При желании можно в следующих строках принимать $E=\mathbb R$, ошибкой это не будет, эти определения / обозначения согласованы.

Помню эту ссылку. Там этот же параграф обсуждается, но ТС было что-то другое неясно. Помню, в одной задаче по производным высших порядков было не вполне аккуратное задание, но ссылку искать лень. В любом случае это крохи. Если хотите изучать этот учебник самостоятельно, посоветую смотреть параллельно другие учебники (хотя бы затруднительные места -- это обычно ускоряет, а не наоборот).

[VitalyaTaylor]

grizzly

Хд, но допустим односторонний предел - это разве не ограничение? Я могу задать функцию кусками из элементарных функций и в неких точках функция не будет иметь предел.