2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Определение предела функции.
Сообщение23.11.2018, 23:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
VitalyaTaylor в сообщении #1356271 писал(а):
Не глупо ли
Похоже, что корневая причина Вашего неприятия лежит в определении понятия функция. Но в математике существует несколько традиций относительно того, как давать это определение. Посмотрите (или оставьте себе на будущее в закладках) эту ссылку обсуждения данного вопроса на международном форуме профессиональных математиков (MO). Обратите внимание, сколько участников там поддерживают определение, по которому функции с разными областями определения считаются разными. Там же можете найти, где и почему это бывает важно (кое-что из того упомянуто и у Зорича).

У нас это тоже пару раз обсуждалось в том же духе, но я не смог найти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела функции.
Сообщение23.11.2018, 23:32 


15/11/15
916
Otta в сообщении #1356296 писал(а):
В котороем смысле они пропадают, можно на примере?
Из за слова ЕСЛИ.
Цитата:
Если $E=E^+_a = \{x \in R | x>a \}$ ... то говорят о пределе справа

Значит, если функция определена и слева, и справа от а, то нельзя, вот так сразу, говорить о пределе справа! Условие в ЕСЛИ - не выполнено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела функции.
Сообщение23.11.2018, 23:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
gevaraweb в сообщении #1356286 писал(а):
Ведь в определении на скрине пропадают случаи, когда функция определена и слева, и справа от точки а.


Не пропадают. Во всех этих определениях предполагается, что $f$ определена на $E$. Это означает, что $E\subset \mathrm{dom}{f}$. Предполагать, что эти слова означают "определена только на $E$" ($E=\mathrm{dom}(f)$) абсолютно противоестественно. В конце концов, употребительное выражение "определена и непрерывна в точке $a$", которое во второй интерпретации бессмысленно (функция, определённая в одной точке, автоматически в ней непрерывна).

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела функции.
Сообщение23.11.2018, 23:50 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
gevaraweb в сообщении #1356303 писал(а):
Из за слова ЕСЛИ.

Это слово надо правильно прочитать.
gevaraweb в сообщении #1356303 писал(а):
Значит, если функция определена и слева, и справа от а, то нельзя, вот так сразу, говорить о пределе справа! Условие в ЕСЛИ - не выполнено.

Предел в любом случае локальное понятие. И в данном случае слово "Если" - это выбор базы предельного перехода. При таком выборе база состоит из правых (левых) окрестностей точки $a$. И это, собственно, все, как его ни записывай.
На вторую половину окрестности функции наплевать, вне зависимости, может ли она там быть задана или нет.

-- 24.11.2018, 01:50 --

(Опять буквоедство одно. Ну.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела функции.
Сообщение23.11.2018, 23:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
g______d в сообщении #1356305 писал(а):
Предполагать, что эти слова означают "определена только на $E$" ($E=\mathrm{dom}(f)$) абсолютно противоестественно.
Я продолжаю настаивать, что в формализме Зорича (в данном месте) предполагается именно это. А вопрос gevaraweb решается следующим абзацем (3 строки), которые он, конечно же не дочитал. В Вашей же интерпретации следующий абзац выглядит нелепо избыточным, имхо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела функции.
Сообщение24.11.2018, 00:18 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
grizzly в сообщении #1356317 писал(а):
А вопрос gevaraweb решается следующим абзацем (3 строки), которые он, конечно же не дочитал.

Да нет, он не об этом.
Он вот о чем: как же я буду считать $\lim\limits_{x\to 0+0} \operatorname{sgn} x$, если перед этим мне сказали, что
$$\operatorname{sgn} x=\begin{cases}
1,&\text{если $x>0$;}\\
0,&\text{если $x=0$;}\\
-1,&\text{если $x<0$.}
\end{cases}$$
gevaraweb, я Вас правильно понимаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела функции.
Сообщение24.11.2018, 00:27 


15/11/15
916
grizzly в сообщении #1356317 писал(а):
А вопрос gevaraweb решается следующим абзацем (3 строки)

Хм, отчасти да. Но теперь складывается впечатление, что это определение для $E  \neq  R$. Для $E  =  R$ надо смотреть предыдущий абзац.
Otta в сообщении #1356318 писал(а):
gevaraweb, я Вас правильно понимаю?

Да, мы не можем считать такой предел. Сигнум должен быть определен только справа от нуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела функции.
Сообщение24.11.2018, 00:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Otta
Вот те 3 строки, о которых я говорю:
Изображение
$E$ в этом случае всё $\mathbb R$ и никаких проблем с определением односторонних пределов я не вижу. Напомню на всякий случай ещё раз, что во фразе "стремится по множеству" под множеством Зорич понимает область определения функции (см. выражение "стремится по множеству" в пояснении к определению предела функции в точке).

Или я правда потерял нить обсуждения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела функции.
Сообщение24.11.2018, 00:29 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
gevaraweb в сообщении #1356321 писал(а):
Да, мы не можем считать такой предел. Сигнум должен быть определен только справа от нуля.
А ограничить функцию — почему-то большой грех.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела функции.
Сообщение24.11.2018, 00:31 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
grizzly в сообщении #1356322 писал(а):
Вот те 3 строки, о которых я говорю:

Да я-то понимаю Вас. Я Вам обозначила проблему ТС, раз уж он не смог ее вычленить.
gevaraweb в сообщении #1356321 писал(а):
Хм, отчасти да. Но теперь складывается впечатление, что это определение для $E  \neq  R$. Для $E  =  R$ надо смотреть предыдущий абзац.

Посмотрите на тот же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела функции.
Сообщение24.11.2018, 00:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
gevaraweb в сообщении #1356321 писал(а):
Но теперь складывается впечатление
Не смог понять. Может, это просто излишняя впечатлительность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела функции.
Сообщение24.11.2018, 00:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
grizzly в сообщении #1356317 писал(а):
Я продолжаю настаивать, что в формализме Зорича (в данном месте) предполагается именно это.


Похоже, что мне стоило открыть Зорича, прежде чем комментировать :(.

Но теперь мне кажется, что у него не очень хорошо написано. В частности, либо он не может писать
$$
\lim\limits_{x\to -1+0}\sqrt{1-x^2}=0,
$$
либо таблицу с базами нужно уточнить: например, называть базой правосторонних окрестностей точки $a$ любую совокупность вида $\{(a,b)\colon a<b<b_0\}$.

В текущий формулировке $\lim\limits_{x\to a+0}f(x)=b$ означает, что база всех правосторонних окрестностей точки $a$ является базой в $\mathrm{dom}(f)$, что мне кажется излишним (зачем нам требовать, чтобы $(a,+\infty)\subset \mathrm{dom}(f)$?).

Да, я смотрел 6 издание, стр. 149 -- 150.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела функции.
Сообщение24.11.2018, 00:35 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
grizzly
Проблема в том, что в двух соседних абзацах буквой $E$ обозначены разные объекты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела функции.
Сообщение24.11.2018, 00:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
g______d в сообщении #1356326 писал(а):
либо таблицу с базами нужно уточнить
В моём (весьма старом втором издании) та таблица называется примерно так: "Примеры некоторых часто используемых в анализе баз".
Otta в сообщении #1356328 писал(а):
Проблема в том, что в двух соседних абзацах буквой $E$ обозначены разные объекты.
Да в том то и дело, что я этой проблемы не могу увидеть. Для меня и там, и там этой буквой обозначается просто термин "область определения", а не конкретный объект (подмножество прямой).

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела функции.
Сообщение24.11.2018, 00:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
grizzly в сообщении #1356329 писал(а):
В моём (весьма старом втором издании) та таблица называется примерно так: "Примеры некоторых часто используемых в анализе баз".


Во втором точно так же. Страница 125, -5 строчка: "Если $E=E_a^+=\{x\in \mathbb R\mid x>a\}$ ... то вместо $x\to a$, $a\in E$ пишут $x\to a+0$". Это не очень хорошо, потому что запрещает писать
$$
\lim\limits_{x\to -1+0}\sqrt{1-x^2}=0
$$
и заставляет везде тащить "$x\in \mathrm{dom}(f)$".

И, по-моему, в дальнейших примерах он этому не следует.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 73 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group