2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5
 
 Re: Определение предела функции.
Сообщение24.11.2018, 00:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6104
g______d
Да, в прошлом сообщении я Вас не понял.
g______d в сообщении #1356330 писал(а):
и заставляет везде тащить "$x\in \mathrm{dom}(f)$".
Согласен, но это цена его формализма: $E\ni x\to a+0$
g______d в сообщении #1356330 писал(а):
И, по-моему, в дальнейших примерах он этому не следует.
Тоже не буду спорить, я не смотрел дальше, насколько он последователен.

PS. Я учил анализ в универе по нескольким учебникам (с большим удовольствием читал каждую тему в каждом из них), но Зорича особо любил за необычные примеры и упражнения, а теорию я по нему даже не пытался изучать -- слишком отличалось от других курсов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела функции.
Сообщение24.11.2018, 01:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5595
grizzly в сообщении #1356333 писал(а):
Тоже не буду спорить, я не смотрел дальше, насколько он последователен.


Ну кстати, просто чтобы было: двумя страницами позже он даёт расшифровку $\lim\limits_{x\to a-0}$, и она буквально означает "предел по базе вида $\{(c,a)\colon c_0<c<a\}$ для некоторого $c_0<a$", а не предел по базе $x\to a-0$, который он определил раньше (и которая соответствует $c_0=-\infty$). То есть в конечном итоге у него определение односторонних пределов общепринятое, но оно является не пределом по базе, а пределом по классу баз с квантором $\exists$.

-- Пт, 23 ноя 2018 15:22:04 --

grizzly в сообщении #1356333 писал(а):
Да, в прошлом сообщении я Вас не понял.


Если имеется в виду первое сообщение, то там я был неправ (ну или не полностью прав): если он пишет $f\colon E\to \mathbb R$, то эта запись достаточно жёстко означает $\mathrm{dom}(f)=E$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела функции.
Сообщение24.11.2018, 09:34 


15/11/15
469
arseniiv в сообщении #1356323 писал(а):
А ограничить функцию — почему-то большой грех.

В том-то и дело, к чему фактически, как я разумею, и клонит ТС. Сухой беспристрастный ум нас спросит: Почему, когда приходится рассматривать свойства функции на подмножестве области определения, вы иногда говорите о сужении функции, а иногда говорите о самой функции? Что за бардак? )

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела функции.
Сообщение24.11.2018, 10:48 


15/11/15
469
Или я могу говорить и так, и так? Возьмем функцию Римана:

$ \displaystyle { f (x) = {\begin {cases} {\frac {1} {q}} & {\text { если }}  x = {\tfrac {p} {q}} \quad (x {\text { является рациональным), с }} p \in \mathbb {Z} {\text { и }} q \in \mathbb {N} {\text { ,}} \\0 & {\text { если }} x {\text { является иррациональным. }} \end {cases}}}$

Тогда предложения:

1) Функция Римана $ \displaystyle f(x)$ - непрерывная функция на множестве $\mathbb {R}  \setminus \mathbb {Q} $;
2) Сужение функции Римана $ \displaystyle f(x)|_{\mathbb {R}  \setminus \mathbb {Q}}$ - непрерывная функция на множестве $\mathbb {R}  \setminus \mathbb {Q} $;

оба верны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела функции.
Сообщение24.11.2018, 11:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6104
gevaraweb в сообщении #1356390 писал(а):
Тогда предложения:

1) Функция Римана \displaystyle $f(x)$ - непрерывна на множестве $\mathbb {R} / \mathbb {Q} $;
2) Сужение функции Римана \displaystyle $f(x)|_{\mathbb {R} / \mathbb {Q}}$ - непрерывная функция;

оба верны?
Как вообще этот вопрос относится к данной теме? Задайте его в разделе ПРР(М), приведите определение (по Зоричу) функции, непрерывной на множестве, сделайте собственные попытки исследовать на непрерывность функцию из п.2 и тогда задавайте конкретные вопросы, с которыми не смогли разобраться.

-- 24.11.2018, 11:10 --

PS. Команду \displaystyle вносите внутрь формулы. Множество иррациональных чисел это разность множеств: $\mathbb {I=R\setminus Q}$, используйте команду \setminus.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела функции.
Сообщение24.11.2018, 11:19 


22/10/17
19
Считаю такое определение идеально точным и строгим.

Пусть $X$ - некоторое подмножество множества вещественных числел ($X\subset \mathbb{R} $), а $E$, в свою очередь, некоторое подмножество $X$ ($X\supset E$) и точка $a$ - предельная точка множества $E$. Пусть $f:X \to \mathbb{R}$ - вещественнозначная функция, определённая на $X$.

Определение: Число $A$ называется пределом функции $f:X \to \mathbb{R}$ в точке $a$ по множеству $E$, если для любого числа $\varepsilon >0$ существует такое число $\delta>0$, что для всех $x \in E и удолетворяющих условию $0<|x-a|<\delta$ выполняется неравенство $|f(x)-A|<\varepsilon$.

(Далее неформальные выкладки. Строго расписывать научным языком долго.)

Обозначение как у Зорича.

Далее, добавляем.

В том случае, когда $E=X$ число $A$ - называют пределом функции $f:X \to \mathbb{R}$ в точке $a$. Обозначение обычное(как в первой базе у Зорича).

При таком определении можно без всяких проблем брать любую функцию и легко определить односторонний предел(для абсолютно любой функции). Я не понимаю как человек всю жизнь, отдавший математике не смог такое придумать...

-- 24.11.2018, 11:23 --

gevaraweb

По Зоричуу только второе утверждение имеет смысл. Для первого он определения не давал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела функции.
Сообщение24.11.2018, 11:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6104
VitalyaTaylor в сообщении #1356401 писал(а):
Пусть $f:X \to \mathbb{R}$ - вещественнозначная функция, определённая на $X$.
Непонятно, что у Вас значит обозначение $f:X \to \mathbb{R}$. Если, как обычно, что $X$ -- область определения функции, а $\mathbb{R}$ -- множество допустимых значений, тогда при построении Вашего предложения был использован приём плеоназм, который без особой необходимости лучше не использовать. Лучше сначала расшифровать обозначение, а потом просто сказать: "пусть $f:X \to \mathbb{R}$".
VitalyaTaylor в сообщении #1356401 писал(а):
Я не понимаю как человек всю жизнь, отдавший математике не смог такое придумать...
Никто и не рассчитывает, что Вы за один день обсуждения в этой теме сможете понять. Единственное, на что я надеюсь по результатам этой темы, что Вы смогли разобраться, почему удобно считать, что одна и та же функциональная зависимость (например, $\sin x$), рассматриваемая на разных областях определения, порождает разные функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела функции.
Сообщение24.11.2018, 12:26 


22/10/17
19
grizzly

Ну уж извините, предложение взял у Зорича. Он так дублирует практически везде, при том что он однозначно определил это обозначение. Т.е. вы тут тоже по сути Зорича критикуете:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела функции.
Сообщение24.11.2018, 12:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6104
VitalyaTaylor в сообщении #1356418 писал(а):
Т.е. вы тут тоже по сути Зорича критикуете:)
Да, точно. Уж очень хотелось к чему-то придраться :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела функции.
Сообщение24.11.2018, 12:49 


15/11/15
469
VitalyaTaylor в сообщении #1356401 писал(а):
По Зоричуу только второе утверждение имеет смысл. Для первого он определения не давал.

Да. Второе утверждение верно, но теряется "вкусность" доказательства. Далее, получается некий парадокс, что

1) Функция Римана $ \displaystyle f(x)$ - непрерывная функция на множестве $\mathbb {R}  \setminus \mathbb {Q}. $
- неверное утверждение, а
1') Функция Римана $ \displaystyle f(x)$ - непрерывная функция в каждой точке множества $\mathbb {R}  \setminus \mathbb {Q}. $
- верное утверждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела функции.
Сообщение24.11.2018, 13:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6104
gevaraweb в сообщении #1356425 писал(а):
Далее, получается некий парадокс, что
Да, если не отличать некорректные утверждения от ошибочных, тогда поулчается парадокс. При попытке рассмотреть п.1 в соответствии с определением парадокс рассеивается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела функции.
Сообщение24.11.2018, 19:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
25659

(Оффтоп)

gevaraweb в сообщении #1356372 писал(а):
Почему, когда приходится рассматривать свойства функции на подмножестве области определения, вы иногда говорите о сужении функции, а иногда говорите о самой функции? Что за бардак? )
Потому что (и я это уже писал выше двумя разными способами) когда нас интересует только то, для чего достаточно подмножества $A$ области определения и больше ничего, $f$ и $f|_A$ одна не лучше другой. Потому что математики используют язык как и другие люди, и когда некоторое соответствие очевидно, вещи через него протаскиваются без явного упоминания. Ещё можете поругать кого-нибудь, что он говорит «синус равен нулю», когда синус — это же вроде функция, а ноль — это же вроде не функция, а число, как они могут быть равны.

Ну или рассмотрим ситуацию формальнее. Вот с этим определением мы не можем говорить о пределе функции $f$ по базе на $E$, если $E$ собственное подмножество $\operatorname{dom}f$. Однако мы можем расширить определение (до того другого, которое упоминали) и не получить проблем. И говорить уже и о таком. Математика не описывается (имеется в виду соглашение) с точностью до деталей единственным образом, так что одним и тем же словом могут называться немного разные понятия; главное чтобы не было путаницы — ну за этим люди обычно следят. Тут путаницы, по-моему, не возникает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела функции.
Сообщение27.11.2018, 00:31 
Аватара пользователя


01/12/06
567
рм
VitalyaTaylor в сообщении #1355923 писал(а):
Собсвенно он называет это определения пределом в точке по множеству $E$ и обозначает $x\to a, x \in E$ под знаком $\lim$. Зачем он это делает?
Предел функции всегда "по множеству".

VitalyaTaylor в сообщении #1355923 писал(а):
Что за множество $E$(это область определения!?)
Нигде возле таблицы с базами нет записи $f\colon E\to \mathbb{R}$ или что-то указывающее на то, что это область определения.
В таблице есть выражение "по множеству $E$", но у меня создалось впечатление, что формальным понятием "по множеству" автор пренебрегает.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 73 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group