2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Ищу книги по истории и мотивации топологии
Сообщение15.11.2018, 20:56 


15/11/18
4
Здравствуйте. Учусь на первом курсе математического факультета, со второго модуля у нас началась топология. Преподавание выглядит примерно так: лектор вводит понятие, доказывает несколько свойств, приводит один-два примера, затем вводит новое понятие и так далее. При этом пока ни разу не было сказано, какие вообще задачи можно с помощью этого аппарата решать, как эти определения появились, почему они такие, а не какие-нибудь еще. Во всем этом можно разобраться, но не очень понятно зачем.

Например, в школе, когда вводилось какое-нибудь новое, неожиданное для нас понятие (предел, производная, интеграл, ряд, комплексные числа), наш преподаватель рассказывал, как и зачем оно появилось. Примерно то же происходит и на остальных предметах в вузе, но не на топологии. Самое обидное, что летом я пытался читать всякие популярные книжки и статьи, в которых вводятся красивые топологические объекты и изящно решались интересные (и довольно живые, не искусственные) задачи.

Наверняка есть книга, в которой бы рассказывалось, как появилась и развивалась топология, в которой объяснялось бы происхождение основных понятий. Я знаю, что есть много учебников, но ни в одном из тех, которые я пытался читать, этого не было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ищу книги по истории и мотивации топологии
Сообщение15.11.2018, 21:19 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
22531
Кронштадт

(Оффтоп)

Rennorb в сообщении #1354326 писал(а):
При этом пока ни разу не было сказано, какие вообще задачи можно с помощью этого аппарата решать, как эти определения появились, почему они такие, а не какие-нибудь еще. Во всем этом можно разобраться, но не очень понятно зачем.
А не пробовали ли вы задавать эти вопросы лектору? Книги, конечно, это тоже хорошо, но вдруг он и сам ответит...

 Профиль  
                  
 
 Re: Ищу книги по истории и мотивации топологии
Сообщение15.11.2018, 21:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
6619
Rennorb в сообщении #1354326 писал(а):
Примерно то же происходит и на остальных предметах в вузе
Вам повезло с преподавателями.

Про историю промолчу, не знаю.

Про мотивацию примерно так. Вам наверняка знакомо понятие непрерывной функции и открытого множества на $\mathbb R$. Так вот оно естественным образом переносится на $\mathbb R^n$. А оттуда - на метрическое пространство. Надеюсь, что такое метрическое пространство, Вы знаете (а если не знаете, узнайте) и отрицать полезность этого понятия не станете.

На метрическом пространстве открытое множество можно определить как объединение (не обязательно конечное) открытых шаров. Затем доказываются следующие утверждения:

1. Любое объединение открытых множеств открыто.
2. Конечное пересечение открытых множеств открыто.

Далее можно ввести понятие непрерывной функции как функции $f: X \to Y$, для которой у каждого открытого множества $A \subset Y$ открытый прообраз в $X$. Или ввести непрерывность в точке, а непрерывную функцию определить как непрерывную в каждой точке.

Далее доказывается куча полезных и красивых теорем.

Замечательный факт состоит в том, что доказательства многих из этих теорем в конечном счёте опираются только на утверждения 1 и 2. То есть, если ввести эти утверждения аксиоматически (назвать открытыми те множества, для которых они справедливы), то все эти теоремы сохраняют силу.

Как это происходит, Вы можете увидеть в книге Колмогоров, Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. Там как раз основные понятия формулируются сначала для метрических пространств, а затем для произвольных топологических.

Таким образом, большое количество теорем, которые первоначально были доказаны только для прямой, а потом только для $\mathbb R^n$, без всяких усилий переносятся на гораздо более общий случай. А обобщение известной теоремы - всегда желанный результат для математика.

Чтобы не быть голословным, открою первый том учебника Ильина и Позняка по матану и пройдусь по списку теорем и определений.

- понятие последовательности, предела, предельной точки - чисто топологические (имеют смысл для любого топологического пространства);
- понятие непрерывной функции - чисто топологическое;
- теорема о том, что композиция непрерывных функций непрерывна - чисто топологическая (верна для любого топологического пространства);
- теоремы о том, что для $f, g : X \to \mathbb R$:
1) Если $f(x)$ непрерывна, то $|f(x)|$ непрерывна,
2) если, кроме того, $g(x)$ непрерывна, то $f(x) + g(x)$, $f(x) - g(x)$, $f(x) g(x)$, $\max\{f(x), g(x)\}$,$\min\{f(x), g(x)\}$ непрерывны;
3)если, кроме того, $g(x)\ne 0$, то $\frac{f(x)}{g(x)}$ непрерывна - верны для любого топологического пространства $X$ (не только для $X = \mathbb R$);
- теорема о том, что непрерывный образ отрезка есть отрезок - тривиальное следствие чисто топологической теоремы, что непрерывный образ компактного множества компактен.

То есть благодаря топологии изрядный кусок доказанного матана переносится на случай, невероятно более общий, чем $\mathbb R$.

Можно спросить, где используется этот "общий случай". Ответ: везде. Топологические пространства и теоремы о них используются везде от теории чисел до математической логики.

Стало немного понятнее?

-- 15.11.2018, 21:55 --

Рекомендую также прочитать эту тему (особенно сообщения Xaositect):
«Общая топология. Для чего?»

 Профиль  
                  
 
 Re: Ищу книги по истории и мотивации топологии
Сообщение15.11.2018, 22:15 


15/11/18
4
Цитата громадного размера удалена

Благодарю. Вопрос в другом: вот мы ввели какой-то очень простой объект, который волшебным образом позволяет как решать новые сложные задачи, так и обобщать уже известные факты на уйму разных случаев. Но это определение топологического пространства откуда-то взялось, его кто-то ввел именно с этими свойствами, которых почему-то достаточно. Этот кто-то, вероятно, решал какие-то свои задачи, и смог решить их с помощью именно этого аппарата, а не, например, теории чисел или анализа.

Вот анализ, кажется, формировался как инструмент в физике, понятия производная/интеграл очень легко объяснить в терминах координаты, скорости и ускорения.
Комплексные числа появились при решении уравнений высоких степеней, и нужны были для того, чтобы объяснить, как очевидно правильный ответ получается с помощью неправильных (в действительных числах) действий.

Мне кажется, что должно быть сравнимое объяснение, почему топология именно такая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ищу книги по истории и мотивации топологии
Сообщение15.11.2018, 22:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
6619
Rennorb

По форме. Не надо полностью цитировать длинное сообщение, на которое отвечаете. Получаются трудно читаемые простыни.
Часто (как в данном случае) и без цитаты понятно, кому и на что Вы отвечаете. Если нужно уточнить, можно упомянуть ник участника, как я только что упомянул Ваш (для этого достаточно нажать на него мышкой). Или процитировать фрагмент сообщения.

Чтобы процитировать фрагмент сообщения, выделите нужный фрагмент и нажмите на этом сообщении кнопку "Вставка".

По сути. Запрос Ваш понимаю, но ничего полезного, увы, ответить на него не могу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ищу книги по истории и мотивации топологии
Сообщение16.11.2018, 00:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
872
матмех спбгу
Rennorb, топология - это язык, на котором говорят почти что во всех областях математики. Так что ответ на вопрос
Rennorb в сообщении #1354326 писал(а):
какие вообще задачи можно с помощью этого аппарата решать

- почти что любые. Если Вы не заметили, то математический анализ, там где рассуждает о непрерывности, в сущности говорит на языке топологии. В дальнейшем он уходит в этакий микс.

Rennorb в сообщении #1354326 писал(а):
как эти определения появились, почему они такие, а не какие-нибудь еще

Появились именно эти определения и формулировки в результате столетнего развития топологии величайшими математиками. Т. е. все именно так потому что удобно. Нужно ли пытаться именно сейчас понять это удобство? Я бы не советовал - все равно это понимание придет со временем. Сейчас же Вам нужно довериться преподавателю и просто учить этот язык. Это, к слову, относится и к остальным общим учебным разделам математики.

Rennorb в сообщении #1354326 писал(а):
Во всем этом можно разобраться, но не очень понятно зачем

Математика не любит вопросов "Зачем?", она любит вопросы "Почему?".

 Профиль  
                  
 
 Re: Ищу книги по истории и мотивации топологии
Сообщение16.11.2018, 01:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27663
Да нет, почему, нормально она относится к вопросам «зачем», просто иногда они в разной степени метаматематические и часто нужно знать намного больше, чем изучаемое сейчас, чтобы ответить. Кто-то сказал, что mathematics is only learned in hindsight, вот для таких вопросов это да и да.

Кстати, может быть ТС станет намного лучше, если сказать, что можно определить топологию как множество всех замкнутых, а не открытых множеств. Тогда аксиомы топологического пространства и некоторые низкоуровневые определения станут «двойственными» обычно используемым (ведь замкнутые и открытые множества идут парами—дополнениями друг друга), но всё остальное никак не изменится. Ну и ещё были какие-то другие альтернативные определения — но суть-то в том, что почти в каждой теории на изначальные определения опирается только чуточка их непосредственных следствий, а хитрые, глубокие результаты уже почти в явном виде не пользуются этим ядром. Обычно.

Так что важен не конкретный до запятой вид определений, важно что они позволяют в конечном итоге и как просто, а это как раз сначала надо вывести и прочитать и подумать. Топология тут будет ничем не хуже теории категорий, теории групп и подобных. (И хм, наверно это всё есть в той теме, на которую сослался Anton_Peplov.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Ищу книги по истории и мотивации топологии
Сообщение16.11.2018, 01:26 
Заслуженный участник


31/12/15

895
Понятия "открытое множество" и "замкнутое множество" ввёл Кантор, изучая, на каких множествах может сходиться тригонометрический ряд. Абстрактную сходимость первым изучал Фреше, он брал за основу отношение "последовательность сходится к точке" и описывал его аксиоматически (типа, если последовательность сходится к точке, то и любая её подпоследовательность сходится к этой точке). Определение топологии как семейства (открытых) множеств с некоторыми свойствами дали Александров и Урысон. Оказалось, что это не совсем то же самое, что пространства Фреше, поэтому ввели "обобщённые последовательности" (направленности, фильтры), которые могут иметь любую мощность. Содержательно, основным отношением является "точка близко к множеству" (например, точки окружности лежат близко к открытому кругу), а непрерывные функции сохраняют эту "близость".

 Профиль  
                  
 
 Re: Ищу книги по истории и мотивации топологии
Сообщение16.11.2018, 01:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27663
Кстати в продолжение эквивалентных аксиоматизаций: в той теме Xaositect как раз упоминает задание топологического пространства оператором замыкания. Спасибо Anton_Peplov за хорошую ссылку. Хотя там есть интересный вопрос про то, что топология обобщает не любую сходимость и не сказано, где посмотреть, что же обобщает любую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ищу книги по истории и мотивации топологии
Сообщение16.11.2018, 02:09 
Заслуженный участник


31/12/15

895
arseniiv в сообщении #1354375 писал(а):
Кстати в продолжение эквивалентных аксиоматизаций: в той теме Xaositect как раз упоминает задание топологического пространства оператором замыкания. Спасибо Anton_Peplov за хорошую ссылку. Хотя там есть интересный вопрос про то, что топология обобщает не любую сходимость и не сказано, где посмотреть, что же обобщает любую.

Есть обобщения топологических пространств. Например, можно брать за основу отношение "ультрафильтр сходится к точке", тогда нужна единственная аксиома "главный ультрафильтр сходится к своей точке" (немного потрудившись, можно задать и через фильтры)
https://ncatlab.org/nlab/show/convergence+space
Оператор замыкания в таких пространствах не идемпотентный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ищу книги по истории и мотивации топологии
Сообщение16.11.2018, 04:34 
Заслуженный участник


18/01/15
2371
Rennorb в сообщении #1354326 писал(а):
летом я пытался читать всякие популярные книжки и статьи, в которых вводятся красивые топологические объекты

Можно узнать, какие ?

Есть хорошая книга Г. Фрейденталь, Математика в науке и вокруг нас. Там есть глава "Искусство рисовать плохо".

-- 16.11.2018, 03:50 --

Rennorb в сообщении #1354326 писал(а):
Учусь на первом курсе математического факультета, со второго модуля у нас началась топология. Преподавание выглядит примерно так: лектор вводит понятие, доказывает несколько свойств, приводит один-два примера, затем вводит новое понятие и так далее. При этом пока ни разу не было сказано, какие вообще задачи можно с помощью этого аппарата решать, как эти определения появились, почему они такие, а не какие-нибудь еще. Во всем этом можно разобраться, но не очень понятно зачем

Есть такие факультеты, где сначала людей учат классическому матанализу, а потом, скажем уже во второй половине второго семестра, немного топологии. При этом порядке обучения лучше понятно, в чем состоят мотивы введения топологических понятий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ищу книги по истории и мотивации топологии
Сообщение16.11.2018, 13:25 
Заслуженный участник


18/01/15
2371
Еще раз про упомянутую книжку. Я сейчас вновь просмотрел ту главу. Там общих рассуждений о пользе топологии нет, но читая, чувствуешь, что видишь какую-то новую важную истину, за пределами алгебры и школьной геометрии. Вот, собственно, и мотивация. А мотив существования "общей топологии" в том, чтобы в геометрической топологии (которая в книжке) всё было аккуратно, без шероховатостей и прочих косяков. Точнее, один из мотивов. Второй же вероятно такой. В ходе развития матанализа появлялись всякие идеи и рассуждения, связанные с непрерывностью, всякие разные. И в какой-то момент эти идеи отделились от конкретных объектов, типа чисел и функций, и стали относительно самостоятельным предметом. Произошло абстрагирование, с целью экономии мышления. Дело это, в сущности, обычное.

А Ваш дискомфорт, наверное, от того, что вас пытаются сначала топологией кормить, а только потом матаном. Пуанкаре, (отец топологии, между прочим), писал, что есть два способа учить ребенка дробям: первый способ, когда делят яблоко на несколько частей; а второй способ --- когда делят пирог. То есть, попросту говоря, способ один, причем от частного к общему, от примеров к обобщению. А у вас там, наверное, другой подход к преподаванию математики.

(Оффтоп)

Многие "педагогические новации" из ВШЭ тут на форуме уже не раз сурово осуждались (причем самыми уважаемыми людьми форума), иногда буквально в той тональности, что "чем скорее она провалится ко всем чертям, тем лучше". Мое мнение такое: педагогика и методика преподавания математики, конечно, не стоят на месте, но что-то во ВШЭ того... загибают слишком.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ищу книги по истории и мотивации топологии
Сообщение16.11.2018, 14:12 
Заслуженный участник


31/12/15

895
Кстати, да, какая топология - общая или алгебраическая? Это, по сути, разные науки ( в реферативных журналах ВИНИТИ у них разные темы). Если алгебраическая (гомотопии и гомологии), это другое дело, но она гораздо нагляднее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ищу книги по истории и мотивации топологии
Сообщение16.11.2018, 15:50 
Заслуженный участник


14/10/14
902
demolishka в сообщении #1354362 писал(а):
Математика не любит вопросов "Зачем?", она любит вопросы "Почему?".
Это так. (По-моему, это не только хорошо, но и плохо.)

Rennorb
А смотрели Вербицкий. Топология в задачах? Там и про историю написано и вообще много чего хорошего (и много не очень хорошего, в том числе ошибок, не знаю, исправляются они или нет).

 Профиль  
                  
 
 Re: Ищу книги по истории и мотивации топологии
Сообщение16.11.2018, 20:14 


11/03/08
499
Петропавловск, Казахстан
Может так глубоео не надо заходить?
Ну, может, так, попроще (геометрически): топология - это наука, которая изучает свойства фигур, сохраняющиеся при непрерывных отображениях. А как ввести понятие непрерывного отображения чего-то? Ну, вот и потребовались понятия открытого, замкнутого и т. д.
Был кусок проволоки. Вы его согнули как-то. Какие геометрические свойства сохранились, а какие нарушились? А потом концы соединили или восьмерку сделали. Что-то ведь изменилось. А что именно? Потребность описать такие свойства и породила топологию...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group