Ищу книги по истории и мотивации топологии

[arseniiv]

BVR в сообщении #1354572 писал(а):

Ну, может, так, попроще (геометрически): топология - это наука, которая изучает свойства фигур, сохраняющиеся при непрерывных отображениях. А как ввести понятие непрерывного отображения чего-то? Ну, вот и потребовались понятия открытого, замкнутого и т. д.
Был кусок проволоки. Вы его согнули как-то. Какие геометрические свойства сохранились, а какие нарушились? А потом концы соединили или восьмерку сделали. Что-то ведь изменилось. А что именно? Потребность описать такие свойства и породила топологию...

Однако нельзя сказать, что эта потребность породила прям сразу общую топологию.

[george66]

По моему впечатлению, общая и алгебраическая топология возникли из существенно разных задач. Алгебраическая топология - из задач комплексного анализа (интеграл по контуру не меняется при непрерывной деформации контура, римановы поверхности и т.п.). А общая - почти непосредственно из теории множеств, слегка мотивированная задачами вещественного анализа (понятие компактности). Сейчас гомотопные математики общую топологию ругают (не то Арнольд, не то Гельфанд говорил, что в ней науки на одну докторскую диссертацию). А, допустим, матлогики охотно используют. Например, обычный трюк при изучении вычислимости - заменять её непрерывностью в подходящей топологии (это приближение, но иногда очень хорошее)

[BVR]

arseniiv в сообщении #1354587 писал(а):

Однако нельзя сказать, что эта потребность породила прям сразу общую топологию.

Понятно, что не сразу. Кстати в википедии наплохо об этом написано, правда, сильно кратко
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0 ... 0%B8%D1%8F
Зато есть список литературы.

[Rennorb]

vpb в сообщении #1354400 писал(а):

Rennorb в сообщении #1354326 писал(а):

летом я пытался читать всякие популярные книжки и статьи, в которых вводятся красивые топологические объекты

Можно узнать, какие ?

Знаете, я, кажется, вас обманул: из книг по топологии я прочитал только "Узлы и косы" Сосинского, которая, кажется,никакого отношения к общей топологии не имеет. Красивые объекты и задачи я увидел в двух видео: про ослабленную гипотезу Теплица (где рассматривается существование вписанного прямоугольника, а не квадрата), и про задачу под названием "Necklace splitting problem" (ссылку потерял, оригинальное видео автор удалил, только что выложил более подробное).

vpb в сообщении #1354400 писал(а):

Есть хорошая книга Г. Фрейденталь, Математика в науке и вокруг нас. Там есть глава "Искусство рисовать плохо".

Спасибо, книжка действительно хорошая.

george66 в сообщении #1354452 писал(а):

Кстати, да, какая топология - общая или алгебраическая?

Общая.

(Оффтоп)

vpb в сообщении #1354438 писал(а):

Многие "педагогические новации" из ВШЭ тут на форуме уже не раз сурово осуждались (причем самыми уважаемыми людьми форума), иногда буквально в той тональности, что "чем скорее она провалится ко всем чертям, тем лучше". Мое мнение такое: педагогика и методика преподавания математики, конечно, не стоят на месте, но что-то во ВШЭ того... загибают слишком.

Любопытно: я намеренно не писал название вуза, но меня моментально рассекретили. Неужели это настолько распространенная проблема?

[Slav-27]

(Оффтоп)

Rennorb в сообщении #1355022 писал(а):

Любопытно: я намеренно не писал название вуза, но меня моментально рассекретили. Неужели это настолько распространенная проблема?

А где ещё модули вместо семестров и топология отдельным предметом на 1-м курсе?

[пианист]

george66 в сообщении #1354606 писал(а):

обычный трюк при изучении вычислимости - заменять её непрерывностью в подходящей топологии (это приближение, но иногда очень хорошее)

Любопытно.
Про это можно где-то почитать?

[george66]

пианист в сообщении #1355375 писал(а):

Любопытно.
Про это можно где-то почитать?

В книжке Роджерса "Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость". Разбросано по книжке (но вся книжка хорошая). Идея такая: возьмём функционал $F$, который применяется к функциям $f\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ из натурального ряда в него же и выдаёт натуральные числа в качестве результата
$F(f)=n$
Функция $f$ - это бесконечная последовательность натуральных чисел
$f(0),f(1)\ldots f(n)\ldots$
Будем считать, что значения функции нам сообщает некоторый чёрный ящик (оракул), к которому мы можем обращаться с вопросами типа "чему равно $f(3)$?" Тогда, если функционал вычислимый и выдаёт какой-то результат на функции $f$, результат будет зависеть только от конечного числа значений $f$. Потому что вычисление заканчивается за конечное число шагов и функционал успевает задать оракулу только конечное число вопросов. Например, функционал
$F(f)=f(0)+f(9)+f(25)$
зависит только от трёх значений функции $f$ (в общем случае для разных $f$ нужных значений разное число). Дальше, на множестве бесконечных последовательностей натуральных чисел можно задать топологию поточечной сходимости и получить так называемое пространство Бэра $\mathbb{B}$. Непрерывные отображения
$F\colon\mathbb{B}\to\mathbb{N}$
в точности таковы, что для каждой последовательности $f\in\mathbb{B}$ результат $F(f)$ зависит только от конечного числа значений $f$. Итого, все вычислимые отображения $F\colon\mathbb{B}\to\mathbb{N}$ непрерывны. Это исходная идея Брауэра. Далее он добавил аксиому, что вообще все отображения $F\colon\mathbb{B}\to\mathbb{N}$ неперерывны (принцип непрерывности Брауэра), она оказалась несовместима с законом исключённого третьего, Брауэр предложил отказаться от закона исключённого третьего.

[nya]

Общую топологию не нужно вопринимать как прям такой вот серьезный отдельный раздел, это скорее некоторый алгебраический (ну почти, по модулю операции бесконечного объединения открытых) аппарат для того чтобы:
1) Определять всякие топологические "склейки пространств по подпространствам" и прочие чисто топологические конструкции инвариантно. Скажем, пусть у вас есть тор $T^2$ стандартно вложенный в $R^3$ cтандартной параметризацией и вам хочется определить поверхность, которая получится если стянуть какой-нибудь выбранный меридиан тора в точку, чтобы как-то с ней дальше работать. Понятно, как такая поверхность должна выглядить, но вот написать её явную параметризацию в $R^3$ - это некоторая не очень приятная задача. Общая топология же даёт простое описание такой поверхности в случае если нам интересны чисто топологические свойства полученной поверхности, но не интересен явный вид вложения в $R^3$. Более общо, общая топология даёт язык как работать со всякими поверхностями в $R^n$ - стягивать куски в точку, склеивать по кускам, резать, подкурчиввать, добавлять точки на бесконечности, если нас интересует только топологические их свойства и не интересны явные параметризации или уравнения. Мотивацию изучения поверхностей в $R^n$ думаю объяснять не нужно.

2) Как уже было сказано, на общетопологический случай переносятся некоторые аргументы из анализа, что бывает полезно в рассмотрении всяких там пространств функций: слабокомпактность шара в банаховом пространстве, Арцела-Асколи. Последняя позволяет доказывать что некоторые интегральные операторы компактны, а значит что существуют решения некоторых диф. уравнений. И так же всякие теоремы о продолжении: пучок непрерывных функций на паракомпактном Т2 тонок, и теоремы о вложении: полное метрическое компактное со счётной базой размерности n вкладывается в $R^{2n+1}$ - можно и без слово "метрическое" но лень думать как. То есть иногда из общетопологической теоремы даже что-то содержательное может следовать.

3) Всякие "комбинаторные" топологии которые возникают от того, что открытые множества это, морально "полуразрешимые свойства", то есть такие, что если оно выполняется мы это за конечное число ходов узнаем, а если нет - то можем не узнать никогда. Топология Зарисского на спектре кольца, на котороую, конечно, можно и с т.з. геометрии смотрять, топология на моделях теории первого порядка, топология на t-структурах эллиптической кривой и куча-куча такого рода примеров. Введение структуры топологического пространства на множестве позволяет использовать весь большой общетопологический аппарат для того чтобы говорить о сходимости последовательностей или склейках и мыслить в таких терминах бывает крайне полезно. Также это позволяет подключать топологическую интуицию и думать об элементах множества как о "настоящих точках настоящего геометрического пространства", что приятно. Скажем, я запомнил теорему о компактности из логики только после того как увидел ее в формулировке "пространство структур по модулю элементарной эквивалентности с естественной топологией компактно".

vpb в сообщении #1354438 писал(а):

(причем самыми уважаемыми людьми форума)

[пианист]

(george66)

Спасибо!
Так вот почему, оказывается, Брауэр затеял всю эту интуиционистскую деятельность!
Интересно, насколько такая сходимость является естественной/осмысленной с содержательной т.з..
Ну, будем почитать.