2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Общая топология. Для чего?
Сообщение27.06.2015, 18:57 


30/11/14
54
Вопрос не технический. Для чего появилась потребность в понятии топологии? Часто говорят "топологическое пространство это обобщение понятия метрическое пространство". Где именно обобщение? Обоснованность заведения понятяи "метрическое пространство" для меня понятно - для обобщения понятия расстояния между точками для любых "типов" расстояний и любых множеств, а не только "стандартного" Евклидова пространства. Так для чего же топология?

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая топология. Для чего?
Сообщение27.06.2015, 19:05 
Аватара пользователя


29/01/15
298
ВШЭ, НМУ
Потому что метрика в случае метрического пространства -- это тоже некоторый объект, не являющийся частью самого исходного пространства, что-то "инородное", если угодно. И при построении некоторых теорий для большей общности хочется от него отказаться. Или наоборот, в некоторых конкретных случах (аффинные пространства допустим) мы в принципе не подразумеваем наличия метрики и должны изучать свойства рассматриваемого пространства и его элементов без нее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая топология. Для чего?
Сообщение27.06.2015, 19:09 


30/11/14
54
Это понятно, это общий принцип. Мне интересен сам процесс перехода к этому обобщению. Никаких ещё теорий, построенных на этих обобщениях, нет. Мы только догадываемся, что они могут быть и обобщение нам пригодится. Так вот в чем это обобщение? Если это обобщение, то должен быть плавный переход, где то, что мы обобщаем - частный случай. Ну и целесообразность - в тот момент, когда мы решили обобщить

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая топология. Для чего?
Сообщение27.06.2015, 19:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5963
greg2 в сообщении #1031616 писал(а):
Так вот в чем это обобщение? Если это обобщение, то должен быть плавный переход, где то, что мы обобщаем - частный случай.

greg2, а дайте-ка определения:
1. Топологического пространства
2. Окрестности точки в метрическом пространстве.
3. Окрестности точки в топологическом пространстве.

Вот Вы сразу и увидите и переход, и частный случай.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая топология. Для чего?
Сообщение27.06.2015, 19:13 


29/08/13
247
Топология нужна для введения понятия непрерывности отображений. Метрика порождает топологию, согласованную с ней, но не наоборот. Для того, чтобы говорить о непрерывности отображений топология (на множестве-образе и множестве-прообразе) необходима и достаточна. Получается, что всякое метрическое пространство и топологическим тоже является, но не всякое топологическое пространство метризуемо. В этом смысле имеется прямое обобщение, когда нам не нужно уметь мерять расстояния, но хочется иметь возможность проверять отображения на непрерывность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая топология. Для чего?
Сообщение27.06.2015, 19:13 


10/02/11
6786
Понятие топологического пространства формализует такие понятия как "близость точек", "непрерывность отображения" и т.п.. Есть много важных топлогических пространств, которые не являются метрическими. Например, в теории обобщенных функций рассматривается простраанство $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ -- пространство основных или пробных функций. Естественная для этого пространства топология неметризуема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая топология. Для чего?
Сообщение27.06.2015, 19:14 
Аватара пользователя


29/01/15
298
ВШЭ, НМУ
Если Вы спрашиваете "Как исторически пришли к понятию топологии?", то мне кажется, что при попытке сказать, что такое непрерывность в том случае, когда нет никаких расстояний (метрик). Но это только лишь мои соображения, как было на самом деле пусть скажет кто-то более компетентный в истории науки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая топология. Для чего?
Сообщение27.06.2015, 19:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5963
Oleg Zubelevich в сообщении #1031619 писал(а):
Понятие топологического пространства формализует такие понятия как "близость точек"

Близость-то как? Сходимость - понятно как, а близость?

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая топология. Для чего?
Сообщение27.06.2015, 19:26 


30/11/14
54
VanD в сообщении #1031618 писал(а):
Для того, чтобы говорить о непрерывности отображений топология (на множестве-образе и множестве-прообразе) необходима и достаточна. Получается, что всякое метрическое пространство и топологическим тоже является, но не всякое топологическое пространство метризуемо.


Имеем отображение $f : (P, \rho) \rightarrow (Q, \sigma)$, оно непрерывно в точке $a$, если существует для каждого $\delta$ такое $\varepsilon$, что $\rho(x,y) < \varepsilon \Rightarrow \sigma(f(x),f(y)) < \delta$. В каком месте мы завели топологию и почему она нам необходима, чтобы констатировать непрерывность этого отображения?

Oleg Zubelevich в сообщении #1031619 писал(а):
Понятие топологического пространства формализует такие понятия как "близость точек", "непрерывность отображения" и т.п.. Есть много важных топлогических пространств, которые не являются метрическими. Например, в теории обобщенных функций рассматривается простраанство $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ -- пространство основных или пробных функций. Естественная для этого пространства топология неметризуема.


А каким образом задается на пространстве основных функций топология, если вкратце? Извиняюсь за этот вопрос, понимаю, что можно покопаться в литературе и найти, но это было бы долго, потому что не ориентируюсь в литературе по функционалке, потому что не занимался ей дальше самых основ

Hasek в сообщении #1031620 писал(а):
Если Вы спрашиваете "Как исторически пришли к понятию топологии?", то мне кажется, что при попытке сказать, что такое непрерывность в том случае, когда нет никаких расстояний (метрик). Но это только лишь мои соображения, как было на самом деле пусть скажет кто-то более компетентный в истории науки.

Именно, меня интересуют как пришли к этому понятию. Как пример дал свое понимание того, как пришли к метрическому пространству

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая топология. Для чего?
Сообщение27.06.2015, 19:36 


10/02/11
6786
greg2 в сообщении #1031623 писал(а):
А каким образом задается на пространстве основных функций топология, если вкратце?


Пространство основных функций $\mathcal D(\mathbb{R})$ является объединением пространств $\mathcal D_K(\mathbb{R})$ -- это пространства гладких функций на $\mathbb{R}$ у которых носители (и носители всех производных) принадлежат компакту $K$.
Топология в пространстве $\mathcal{D}_K(\mathbb{R})$ задается полунормами $\|f\|_{K,i}=\sup_{x\in K}|f^{(i)}(x)|,\quad i=0,1,2...$.
Топология в $\mathcal D(\mathbb{R})$ это сильнейшая топлогия при которой вложения $\mathcal{D}_K(\mathbb{R})\to \mathcal{D}(\mathbb{R})$ непрерывны для каждого компакта $K$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая топология. Для чего?
Сообщение27.06.2015, 19:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5963
greg2 в сообщении #1031623 писал(а):
Именно, меня интересуют как пришли к этому понятию. Как пример дал свое понимание того, как пришли к метрическому пространству

Как точно пришли - надо книги по истории науки смотреть, но если предполагать, то я бы тоже предположил, что в попытках расширить понятия сходимости/непрерывности на пространства без метрики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая топология. Для чего?
Сообщение27.06.2015, 19:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6104
greg2
Я бы Вам посоветовал прочитать несколько страниц книги Гротендика "Урожаи и посевы" (я говорю о п.9 в разделе "Прогулка по творческому пути"). Он условно (традиционно) выделяет в предмете математического рассуждения три аспекта: число, размер и форму. А потом коротко и интересно поясняет, как в различных направлениях математики сочетаются эти аспекты. Мне это описание понравилось и сильно прояснило понимание некоторых вопросов, которые и без того ранее казались очевидными. (Понятно, что топологии там уделено основное внимание.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая топология. Для чего?
Сообщение27.06.2015, 20:29 


29/08/13
247
greg2 в сообщении #1031623 писал(а):
Имеем отображение $f : (P, \rho) \rightarrow (Q, \sigma)$, оно непрерывно в точке $a$, если существует для каждого $\delta$ такое $\varepsilon$, что $\rho(x,y) < \varepsilon \Rightarrow \sigma(f(x),f(y)) < \delta$. В каком месте мы завели топологию и почему она нам необходима, чтобы констатировать непрерывность этого отображения?

Для метрических пространств отображение непрерывно относительно топологий, в которых открытые множества определяются как всевозможные окрестности точек в виде $U(x_0) = \{x \in P\ | \ \rho(x, x_0) < \varepsilon\}$ и их произвольные объединения, да ещё пустое множество (на $Q$ - аналогично). Может Вы её и не заводили, но определение непрерывности относительно метрик -- в точности "если прообраз открытого открыт" в описанных для соответствующих метрик топологиях -- не зависимо от того, считали ли Вы, что они там есть или нет.

Upd
Хотя Ваше определение не непрерывности, а равномерной непрерывности на $P$, так как точка $a$ таинственно пропадает из рассмотрения и "непрерывность" отображения у Вас есть или на всём $P$ или нигде. Тут нельзя так, в духе назовём отображение непрерывным если ...
Это уже будет совсем другая история/терминология.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая топология. Для чего?
Сообщение27.06.2015, 21:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6119
Если говорить про историю, то термин "топологическое пространство" появляется у Хаусдорфа в "Grundzüge der Mengenlehre". Определение там дается в терминах окрестностей точек и включает аксиому отделимости T2. Это вполне естественное обобщения понятия окрестности в метрическом пространстве. В современных терминах такие пространства называются хаусдорфовыми.

Более общее понятие топологического пространства идет из работ Куратовского - он исследовал оператор замыкания, и соответственно у него рассматриваются множества, на которых задан оператор со свойствами такими же, как оператор замыкания в обычных евклидовых пространствах. Задание топологии с помощью оператора замыкания эквивалентно заданию с помощью открытых множеств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая топология. Для чего?
Сообщение27.06.2015, 22:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5963
Xaositect в сообщении #1031663 писал(а):
Если говорить про историю, то термин "топологическое пространство" появляется у Хаусдорфа в "Grundzüge der Mengenlehre".

А что он там исследовал, в этой работе? Он топологическое пространство ввел, чтобы какую-то задачу решить, или просто по принципу "смотрите, какая классная штука!"?
Тот же вопрос про Куратовского и оператор замыкания.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group