Никому не охота посмотреть на креатиффчеГ?

[madschumacher]

Munin в сообщении #1349151 писал(а):

У вас есть версия с выделенными исправлениями, чтобы не читать по второму разу всё целиком? Там достаточно много.

Да там фактически только описание принципа Гамильтона изменилось. Остальные вещи всё ещё правлю.

[Munin]

§ 2.4, что ли?

[madschumacher]

Не, 2.2.1. Там правда есть косяк: я при наборе формул забыл производную по времени. Но это я исправлю.

[pogulyat_vyshel]

Цитата:

Базисом же пространства будет называться максимальный набор линейно независимых
векторов,

путать базис гильбертова пространства с базисом Гамеля таки не надо

-- 27.10.2018, 18:07 --

Цитата:

эль два”, прям как испанское
прозвище какое-то) – пространстве функций, интегрируемых со своим квадратом.

в смысле $L^1\cap L^2$?

-- 27.10.2018, 18:09 --

Цитата:

Если координаты функции комплексные, и сам
результат отображения комплексный, то такая функция исследуется в разделе теории функ-
ции комплексных переменных (ТФКП),

про координаты функции я как-то не слыхал, но в ТФКП исследуются аналитические функции

-- 27.10.2018, 18:10 --

Цитата:

Офигительной фиш-
кой L 2 является то, что это т.н. гильбертово пространство. По-сути, это линейное пространство
бесконечного размера. О как!

это ни в какие ворота не лезет

-- 27.10.2018, 18:16 --

Цитата:

Пример #2: оператор домножения на функцию y ( A ˆ = y). Тот же закон дистрибутивности.

только это уже не оператор из $L^2$ в $L^2$, вообще говоря

-- 27.10.2018, 18:17 --

Цитата:

Пример #3: оператор дифференцирования.

тоже самое

-- 27.10.2018, 18:19 --

Цитата:

Естественно, если операторы можно перемножать, то кроме единичного оператора у каждо-
го оператора A ˆ должен водиться злой “брат-близнец”: оператор, обратный ему,

не у каждого

-- 27.10.2018, 18:25 --

Цитата:

У каждого оператора существует такая штука как спектр собственных значений – собствен-
ных функций (СЗ-СФ), которые представляют собой решение следующего уравнения:
ˆ = Af ,
Af

спектр со множеством собственных значений путать не надо

-- 27.10.2018, 19:00 --

Цитата:

А, да, у сопряжённых операторов имеется свойство, похожее на то, что было у обратных
ˆ

ну прямо:)

[madschumacher]

pogulyat_vyshel в сообщении #1349514 писал(а):

путать базис гильбертова пространства с базисом Гамеля таки не надо

Я не путаю, а намеренно упрощаю, сводя всё к конечномерным аналогиям. Данный некрасивый подход с точки зрения, имхо, полезен потом и точки зрения вычислительной физики полезно думать в контексте больших конечных базисов, аппроксимирующих полный базис в соответствующем гильбертовом пространстве.

pogulyat_vyshel в сообщении #1349514 писал(а):

в смысле $L^1\cap L^2$?

разве? там же ничего про интегрируемость самой функции не говорилось вроде? я думал это не важное требование.

pogulyat_vyshel в сообщении #1349514 писал(а):

про координаты функции я как-то не слыхал, но в ТФКП исследуются аналитические функции

"Координаты" вылезли из-за того, что переменными для волновой функции в координатном представлении являются координаты. Вы правы, фраза до жути некрасивая, перепишу.

pogulyat_vyshel в сообщении #1349514 писал(а):

тоже самое

блин, а во всяких учебниках по КМ об этом ни слова.

pogulyat_vyshel в сообщении #1349514 писал(а):

не у каждого

а разве у физически-значимых не у каждого?

pogulyat_vyshel в сообщении #1349514 писал(а):

спектр со множеством собственных значений путать не надо

А в чём разница?

[pogulyat_vyshel]

madschumacher в сообщении #1350059 писал(а):

Я не путаю, а намеренно упрощаю, сводя всё к конечномерным аналогиям.

не все имеет конечномерные аналогии. Счетный базис бесконечномерного гильбертова пространства не является максимальной линейно независимой системой векторов

madschumacher в сообщении #1350059 писал(а):

разве? там же ничего про интегрируемость самой функции не говорилось вроде?

Вы написали, что функция интегрируема со своим квадратом. $L^2$ состоит из измеримых функций, квадрат которых интегрируем. На самом деле $L^2$ состоит из классов эквивалентности, но это уже действительно нюансы, которые в вашем тексте можно пропустить

madschumacher в сообщении #1350059 писал(а):

лин, а во всяких учебниках по КМ об этом ни слова.

функция $\mathrm{sgn}\,x$ принадлежит $L^2(-1,1)$, а ее производная -- $\delta-$функция не принадлежит $L^2(-1,1)$

madschumacher в сообщении #1350059 писал(а):

А в чём разница?

В квантовой механике, вы за редким исключением имеете дело с неограниченными операторами, определенными на плотном подмножестве гильбертова пространства, например это дифференцирование. Собственными числами обычно называют элементы точечной части спектра, им соответствуют собственные векторы (собственные функции). А еще есть непрерывная и остаточная части спектра, элементам оттуда собственные векторы не соответствуют (для замкнутых операторов это так во всяком случае)

[Munin]

В физике значения из непрерывной части спектра для единообразия тоже называют собственными значениями (eigenvalues). Словом "спектр" в математическом смысле никто не пользуется, потому что есть физический смысл этого слова, с ним не нужна путаница.

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1351614 писал(а):

А еще есть непрерывная и остаточная части спектра, элементам оттуда собственные векторы не соответствуют

У самосопряженных операторов (а они и их родственники физиков интересуют в первую очередь) остаточного спектра нет. Зато имеются абсолютно непрерывные и сингулярно непрерывные спектры, а также определение обобщенной собственной функции, принадлежащей не основному гильбертовому пространству, а некоторому расширению, и соответствующей точке непрерывного спектра. Но это гораздо более деликатное и менее распространенное понятие и объяснять, почему $e^{ikx}$ для оператора дифференцирования в $L^2(\mathbb{R})$ таковой является только при вещественных $k$ довольно затруднительно.

Munin в сообщении #1351620 писал(а):

Словом "спектр" в математическом смысле никто не пользуется, потому что есть физический смысл этого слова, с ним не нужна путаница.

Цитата:

А если найду?

https://arxiv.org/abs/1508.05735
Надо различать спектр оператора и спектр атома (к примеру), которые являются скорее набором разностей собственных значений.

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1351632 писал(а):

некоторому расширению, и соответствующей точке непрерывного спектра. Но это гораздо более деликатное и менее распространенное понятие и объяснять, почему $e^{ikx}$ для оператора дифференцирования в $L^2(\mathbb{R})$ таковой является только при вещественных $k$ довольно затруднительно.

Попробую угадать. Определим оператор дифференцирования на $\mathcal S'(\mathbb{R})$

[pogulyat_vyshel]

pogulyat_vyshel в сообщении #1351614 писал(а):

Счетный базис бесконечномерного гильбертова пространства не является максимальной линейно независимой системой векторов

Или даже так: полная ортогональная система (необязательно счетная) не может быть базисом Гамеля в бесконечномерном гильбертовом пространстве

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1351632 писал(а):

Надо различать спектр оператора и спектр атома (к примеру), которые являются скорее набором разностей собственных значений.

А спектр звезды или экспериментально измеренной звуковой волны вы к чему отнесёте?

Вот почему математиков так тянет поруководить физиками?..

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1351721 писал(а):

А спектр звезды или экспериментально измеренной звуковой волны вы к чему отнесёте?

Вот почему математиков так тянет поруководить физиками?..

Поскольку в приведенных Вами примерах вероятно вряд ли кто операторы пишет и о их спектре говорит, то вероятность спутать мала.... Но, между прочим, я Вам привел статью из архива, из раздела квантовая механика, где пишут о спектре оператора.

(Надоело! Поучают, поучают!
Надоело! Поучают, поучают!
Поучаем, поучаем ...
Поучайте лучше ваших паучат!)

У математиков действительно есть желание поучить всех, кто использует математические методы. А что, у физиков аналогичного желания нет? "Нефиг вас чему-то учить, все равно вы ничего не поймете" вряд ли желательный вариант

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1351725 писал(а):

Поскольку в приведенных Вами примерах вероятно вряд ли кто операторы пишет и о их спектре говорит, то вероятность спутать мала....

Тем не менее, в физике сложилась традиция называть указанные величины eigenvalues, а слово "спектр" употребляется как минимум редко. (И я полагаю, людьми с математическим образованием, даже если они пишут в раздел "квантовая механика".)

Red_Herring в сообщении #1351725 писал(а):

У математиков действительно есть желание поучить всех, кто использует математические методы. А что, у физиков аналогичного желания нет?

Не знаю как кто другой, но я обычно снисходительно отношусь к тому, что кто-то использует собственную терминологию - ведь она же наверняка закреплена традицией в его области, и ему переучиваться на "правильную" будет тоже дорого стоить.

Может быть, физики привыкли, что одно и то же может называться многими разными способами.

[g______d]

Munin в сообщении #1351743 писал(а):

И я полагаю, людьми с математическим образованием, даже если они пишут в раздел "квантовая механика".

"generalized eigenvalues" (у этого слова есть точный математический смысл, и он совпадает с тем, что надо).

Когда говорят о непрерывном спектре, популярно использовать "spectral parameter", это либо $\lambda$, либо $\sqrt{\lambda}$, зависит от уравнения и контекста.

Munin в сообщении #1351743 писал(а):

а слово "спектр" употребляется как минимум редко

Ну оно действительно перегружено, учитывая, что прикладники ещё называют спектром преобразование Фурье функции. "the set of energy levels" лучше, если речь о спектре гамильтониана атома (например). Или зоны проводимости (в случае твёрдого тела).

[madschumacher]

Очередная версия: https://yadi.sk/i/bUUMsV7goZTAHw

У меня есть пара общих вопросов по обозначениям.
Я определился, что вектора будут всегда обозначаться \mathbf-ом, а матрицы \mathcal-ом. В связи с этим возникает тот же насущный вопрос: как обозначить нулевую и единичную матрицу, что будет ближайшим заметным аналогом \mathcal для чисел?

Из нового (в т.ч. и из предыдущей версии):

• закончена глава 8 (вращение молекул + колебания молекул в модели жёсткий ротатор -- гармонический осциллятор),
• начата глава 7 (пока только о методе Хартри-Фока).

P.S. предложенных исправлений по математической части пока не внёс. Надо решить вопрос по обозначениям, чтобы исправлять всё параллельно (смысл+язык+обозначения+переведу все картинки из растра в вектор).

(P.P.S.)

Если кому интересно, публикация на Хабре, которую, возможно, в изменённом виде включу в книгу позже.
https://habr.com/ru/post/431174/