"Категорный" vs "некатегорный" подход

[GOLOTOPAXPOP]

Red_Herring, я не специалист, но кажется, что самое важное "прикладное" значение в работах по алгебраическому анализу - это то, что они привели к разработке качественной теории D-модулей.

В частности, алгебраический анализ оказался очень полезен в геометрической теории представлений (тоже одна из самых крупных и активных областей математики сейчас).

D-модули также активно используются в комплексной геометрии, которая неотделима от комплексного анализа и PDE (не так уж далеки гомологические и категорные идеи от анализа, как кажется).

Ну и надо учесть, что после того, как область "создана", она получает свою собственную жизнь, являясь неотъемлемой частью математической науки.

-- 29.04.2017, 23:08 --

Brukvalub, вы правы, abstract nonsense - это вовсе не отрицательный "ярлык", просто шуточная характеристика теории категорий. иногда этот термин употребляют и сами категорщики и гомологические алгебраисты.

Но мотивы не являются вещью из области теории категорий, соответственно, к ним abstract nonsense в этом смысле неприменимо. Если вам, или еще кому-то интересно, то вот про мотивы: https://ncatlab.org/nlab/show/motive

Это большая область, появившаяся в качестве мечты решить кучу проблем в алгебраической геометрии, в результате ставшая серьезной и популярной наукой на стыке теории чисел, алгебраической К-теории, алгебраической геометрии и гомологической алгебры.

Воеводский и Морель с помощью мотивных идей также создали мотивную теорию гомотопий - алгебро-геометрическую версию классической теории гомотопий, ставшую важным аппаратом в алгебраической геометрии (https://ncatlab.org/nlab/show/motivic+homotopy+theory)

[mathematics_fan]

Теория множеств - это фундамент математики, а теория категорий - всего лишь очень удобный язык для некоторых разделов математики (а для некоторых разделов - даже необходимый, без которого ничего серьезного сделать нельзя).

GAA:

Если ничего поучительного и интересного сказать нет, то лучше не писать в тему. Не надо доводить тему до закрытия.
Дальнейший разговор ни о чем отделён в «Чулан».

[maximav]

Metford в сообщении #1207286 писал(а):

... нужен пример того, как в терминах теории категорий формулируется нечто физическое. Причём чтобы при этом что-то стало лучше понятно, чем без такого подхода. Есть такой пример? Теория тяжёлая ...

Metford в сообщении #1208140 писал(а):

maximav в сообщении #1208138 писал(а): Кстати, в arXiv'е есть статья с названием (почти точно) "почему теория категорий должна быть рабочим инструментом для теор физики".

Не эта часом? Я сам собрался тут её прочитать

Я тут летом почитал внимательнее этого товарища. Привлек внимание он, конечно, своим кидающимся тайтлом. Оказывается развил большую деятельность, не успокаивается, и на эту тему не побрезговал заразительными детскими рисунками Гротендика (Kindergarten Quantum Mechanics). Но беда в том, что он, как математики по происхождению (Oxford) заявляет (http://arxiv.org/abs/quant-ph/0510032v1) о слишком низкоуровневом языке, которым оперирует квантовая теория. И на этом "обосновании" предлагает не много ни мало "extremely compelling argument why category theory does arise very naturaly in physics". Вывод, по прочтении творчества, не просто неутешительный - для физики - а скорее негативный. Погружаясь в плен "общего", он выплескивает из воды ребенка; да еще и настаивая на "extremely compelling". Для физики - это значит "прибить" анализ. Ясно, что она на это никогда не пойдет, поскольку "ковыряние в деталях" - одна из ее необходимостей. В общем, время, хоть и немного, я потратил, а толк - в его терминологии "for practicing physicist" - просто нулевой. Походив по упомянутому выше "категорному" сайту на эту тему только усиливает такое же впечатление. От таких мотивировочных текстов по категориям ощущение, что физика и математика только еще более отдалятся.

[Metford]

maximav
Я вот так и не сподобился. Прочитал первую страницу и решил, что потом дочитаю. "Потом" не наступило, не привлёк всё же предмет.
Всё больше склоняюсь к тому, что прекрасно обойдусь без категорий. И без них найдётся, чем заняться. Не верю, что в физику это проникнет.

[maximav]

Не могу нагло отговаривать его читать, хотя с удовольствием бы это сделал

-- 04.09.2017, 18:59 --

Посмотрел еще раз ncatlab.org
Mathematically, despite the basic formalism of quantum mechanics which is sound and clear, there are two big areas which are yet not clear. One is to understand quantization, in all cases – of particles, fields, strings and so on. The second and possibly more central to nLab is a problem how to define rigorously a wide range of quantum field theories and some related quantum mechanical systems like the hypothetical superstring theory. Regarding that this is a central goal, we also put emphasis on the interpretation of quantum mechanics via the picture which is a special case of a FQFT, and where the time evolution functorially leads to evolution operators.
Так, что задумка у них не очень то и претендует на фундаментальные переформулировки, в то время как по чистой математики именно на это они, вроде как, и претендуют.

[пианист]

Просто оставлю это здесь, вдруг кто не читал (Тао о элементарном топосе).

[vicvolf]

пианист в сообщении #1349415 писал(а):

Просто оставлю это здесь, вдруг кто не читал (Тао о элементарном топосе).

Очень интересный обобщающий стохастический подход! Наверно обсуждение его заслуживает отдельной темы.

Вот выдержка - "...нужно рассматривать только два типа математических объектов (детерминированных и стохастических), в отличие от множества таких типов, один для каждый потенциальный выбор пространства выборки (с детерминированными объектами, соответствующими случаю, когда пространство выборки сворачивается в точку)."

[arseniiv]

vicvolf в сообщении #1349429 писал(а):

Вот выдержка

Совершенно непонятно к чему. Эта «выдержка» касается конкретно конвенций изложения в том посте, сама по себе она ничего особенного не говорит.

-- Вс окт 28, 2018 00:12:09 --

Кроме того, «пространство выборки», серьёзно??

[vicvolf]

arseniiv в сообщении #1349594 писал(а):

Эта «выдержка» касается конкретно конвенций изложения в том посте, сама по себе она ничего особенного не говорит.

Согдасен с Вами. Это выдержкой я как-раз хотел пояснить о чем этот пост с моей точки зрения.

Цитата:

Кроме того, «пространство выборки», серьёзно??

Это дословный перевод (не редактированный).

[arseniiv]

Редактирование применяется, как правило, уже к более качественным текстам, чем дословный перевод, а до соответствующего состояния их должен довести сам их автор. В частности, переводить тексты по теме, которая неизвестна (раз неизвестно, что такое sample space, притом что по тексту всё же нетрудно понять что это, зная тему), просто-напросто нельзя никому и никогда.