Развлечения ради...
Я бы не был столь категоричен по поводу утверждения об отсутствии бесконечно больших натуральных чисел. Есть такая наука -- нестандартный анализ. В ее радикальной версии, изобретенной Э.Нельсоном в 1977 г., бесконечно большие числа (и бесконечно малые тоже) существуют на совершенно законном основании и, кстати, являются обычными числами. Все математические объекты (точнее говоря, множества) подразделяются на те, которые могут быть заданы, и те, которые не могут быть заданы. (Понятие "может быть задано" является первичным, и его свойства регламентируются аксиоматически.) Так вот, по определению
бесконечно большое число -- это число, большее любого числа, могущего быть заданным.
Наличие бесконечно больших натуральных чисел не противоречит ни арифметике, ни традиционной теории множеств (коль скоро последняя непротиворечива, разумеется). Более того, всякое обычное утверждение, доказанное с привлечением объектов, не могущих быть заданными (и соответствующих аксиом), может быть доказано и без их привлечения. (На научном языке последний факт называется "консервативностью расширения теории".)
Еще раз отмечу, что бесконечно большие натуральные числа -- это тоже натуральные числа. В частности, всякое бесконечно большое натуральное число имеет десятичную запись, состоящую из конечного числа цифр. Например, упоминавшееся тут (всуе) бесконечно большое число
составлено хоть и из бесконечно большого, но все же конечного числа единиц.
Возвращаясь к Литлвуду...
Всякое бесконечно большое натуральное число добавляется в ящик в момент времени, бесконечно близкий к полудню. "Беда" в том, что до полудня каждое из них тоже будет вынуто из ящика -- в момент, еще более близкий к полудню. Если же считать, что бесконечно близкие к полудню моменты времени "недостижимы" и рассмотрению не подлежат, то бесконечно большие натуральные числа из ящика выниматься не будут. Впрочем, попадать в него они тоже не будут.
А "парадокс", на мой взгляд, раскрывается очень просто (и подобные соображения были неоднократно высказаны). Если
-- множество чисел, находящихся в ящике в момент
,
-- число элементов множества
,
-- ключевые моменты времени в игре и
-- полдень, то при
мы имеем
,
(здесь имеется в виду традиционный теоретико-множественный предел) и
. "Парадокс" возникает при попытке "адекватного" определения значения
. Поскольку
, естественное желание сделать функцию
непрерывной (на множестве
) побуждает считать, что
. В этом случае
, что приятно. С другой стороны,
, но
, а значит,
не стремится к
, что неприятно. Коль скоро
, естественное желание сделать функцию
непрерывной побуждает считать, что
, но тогда
не будет стремиться к
, что вновь неприятно. Таким образом, зайцы разбегаются: как ни определяй
, одна из функций
или
получается разрывной в
. Таков уж этот жестокий мир, чем-то приходится жертвовать. Если бы меня заставили выбирать, я бы, наверное, пожертвовал непрерывностью
и положил
, но это -- вопрос вкуса.