В защиту Литлвуда

[Someone]

Литлвуд писал(а):

Сколько чисел останется в ящике в полдень?

juna писал(а):

Слово "сколько" относится к сумме.

К какой "сумме"? Где тут "сумма"?

Macavity писал(а):

Одна из аксиом квантовой механики это то, что все элементарные частицы одного вида абсолютно одинаковы. Другая идея, что наблюдая за ансамблем элементарных частиц невозможно с уверенностью сказать не поменялись ли они каким-либо загадочным способом местами в течении некоторого времени...

В теории множеств элементы множеств безусловно считаются различимыми, иначе нельзя будет сформулировать аксиому объёмности. Это означает, что теория иножеств мало подходит для описания совокупностей элементарных частиц. Так давайте и не будем путать теорию множеств с квантовой физикой.

[juna]

Someone писал(а):

К какой "сумме"? Где тут "сумма"?

Когда спрашивают "сколько", хотят узнать количество, количество определяется суммированием.
P.S. Уважаемый Someone, я уже не вижу в этом вопросе ничего дискуссионного, все обсудили, поэтому считаю возможным выйти из дискуссии.

[Someone]

juna писал(а):

количество определяется суммированием

Каким "суммированием"? Что Вы собираетесь "суммировать", если речь идёт о том, "сколько" элементов в каком-либо множестве? Например, в множестве действительных чисел, или в множестве всевозможных действительных функций на множестве действительных чисел.

[Sinus]

В этой задаче вопрос стоит о том, сколько шаров останется после бесконечного числа действий. Причем здесь предельные переходы, мне вообще непонятно. Нам надо найти количество шаров не в моменты времени, близкие к полудню, а именно в полдень. Если перейти к порядковым числам и каждому шагу присвоить его конечный номер, то спрашивается, сколько шаров останется в момент времени $\omega $. Функция, равная количеству шаров в корзине в соответствующие моменты времени, задана на $\omega \cup \left\{ \omega \right\}$. Ясно было показано, что множество шаров корзины в полдень, то есть в момент времени $\omega $ будет пусто.

Более того, в соседней теме PAV писал следующее:

PAV писал(а):

А вот вероятностная модель, которую предложила shwedka, приводит к красивой задаче, которую даже на олимпиадах давать можно. Итак, на каждом шаге у нас добавляется 10 очередных шаров, а один случайным образом извлекается. Поскольку число шаров в урне конечно, то извлекаем просто с равной вероятностью.

Пусть некоторый шар попал в урну на шаге $N$. Вероятность того, что его не извлекут на "первом" (относительно $N$) шаге, равна $1-\frac{1}{10N}$, на втором - $1-\frac{1}{10(N+1)}$ и так далее. Отсюда вероятность того, что его не извлекут никогда, равна произведению

$$ \prod\limits_{k=N}^\infty\left(1-\frac{1}{10k}\right) = 0. $$

Математическое ожидание количества шаров в полдень равно сумме по всем шарам таких вероятностей, т.е. ноль.

Оно может быть ненулевым, если скорость добавления шаров в урне будет больше, так что произведение сойдется к положительному числу.

То есть даже если не нумеровать шары, то с вероятностью 1 можно утверждать, что множество шаров в корзине в момент времени $\omega $ пусто - хотя это уже другая задача.



В то же время физической интерпретации задача Литлвуда не имеет и не может иметь, так как в реальном мире мы не можем достичь бесконечности, и момента времени спрашивается, сколько шаров останется в момент времени $\omega $.

[AD]

Sinus писал(а):

То есть даже если не нумеровать шары

Че-то я никак не пойму, почему все так активно заявляют, что шары неразличимы. Ведь в задаче прямым текстом сказано: вытаскивает первый шар, вытаскивает второй шар, ...

Добавлено спустя 1 минуту 40 секунд:

juna писал(а):

Когда спрашивают "сколько", хотят узнать количество, количество определяется суммированием.

Перечитайте как-нибудь на досуге ZFC и аксиомы Пеано --- и сообразите, что было раньше -- количество или суммирование.

[Профессор Снэйп]

AD писал(а):

juna писал(а):

Когда спрашивают "сколько", хотят узнать количество, количество определяется суммированием.

Перечитайте как-нибудь на досуге ZFC и аксиомы Пеано --- и сообразите, что было раньше -- количество или суммирование.

Для него суммирование --- это то же самое, что подсчёт количества. Ну не видит человек разницы между суммой и количеством, что теперь? Я ему уже писал: не надо пытаться говорить на языках, которые не знаешь.

[Sinus]

AD писал(а):

Sinus писал(а):

То есть даже если не нумеровать шары

Че-то я никак не пойму, почему все так активно заявляют, что шары неразличимы. Ведь в задаче прямым текстом сказано: вытаскивает первый шар, вытаскивает второй шар, ...

Далее я указал, что задача, в которой на каждом шаге вынимается случайный шар из десяти положенных, отлична от исходной.

[Sonic86]

Короче, лично я опять понял так: $X_n ={ [n+1, n+2, ... ,10n] }, X_n \subset \mathbb{N}$.
Тогда по последовательности $X_n$ можно определить некое множество $X \subset \mathbb{N},
$\longleftrightarrow$ для любого $a \in \mathbb{N}$ либо
1. $(\exists n_0 )(\forall n)n>n_0 \longrightarrow a \in X_n$
либо
2. $(\exists n_0 )(\forall n)n>n_0 \longrightarrow a \notin X_n$
(Если это не выполняется хотя бы для одного $a$, то $X$ определить нельзя)
Тогда если для $a \in \mathbb{N}$ выполняется условие 1, то $a \in X$, а если условие 2 – то $a \notin X$.
Тогда $\lim\limits_{n \to \infty} |X_n | = \infty$, а $X$ - пустое множество.
Все понятно. Противоречий нет. Обратите внимание, что все формулируется без использования терминов «предел», «время», «мгновение» и т. п..
Парадоксальность (это по определение интуитивное неприятие – не маттермин, то есть парадоксальность не есть противоречивость) возникает при установлении соответствия между элементами $X_n$ и реальными объектами (шарами, пивом, километрами). Но это соответствие абсурдно, парадоксально. Но реальные объекты не являются математическими, так что противоречия нет. Просто соответствие неадекватно и задача Литлвуда описывает нечто другое (в частности, не шары, не пиво и не километры). Соответственно время, мгновение и прочее здесь тоже излишни.
З. Ы. Про Ахилла и черепаху долго смеялся.

Уважаемый профессор Снэйп. Я не заметил в условии требование бесконечности для множества черта и потому, видимо, ошибся. Я имел ввиду следующее.
Пусть $X_0$ - пустое, $Y_0 = \mathbb{N}$. Потом $X_{n+1} = X_n \cup {[x_{2n+2}, x_{2n+1}] }$ и $Y_{n+1} = Y_n \setminus [y_{n+1} ]$ . Надо $Y \sub X$.
Для черта выигрышная стратегия такая: он перебирает числа от 1 до максимального числа, написанного ангелом - $N$. Если у него есть такое число, которого нет у ангела (возможно, что еще нет, но потом будет), то он его вычеркивает. Если такого числа нет, то он вычеркивает, например, следующее за наибольшим числом ангела - $N+1$. Ввиду того, что ангел кладет по 2 числа, а черт – по одному, то у черта после $n$-ого шага среди всех чисел от первого до $N$ будет не менее $2n-n=n$ чисел. Поэтому в конце у черта останется бесконечное число невычеркнутых чисел. (скорее всего можно как-то проще объяснить)
Во втором случае у ангела стратегия такая: сначала он пишет число 1. Потом на каждом новом шаге он переходит к следующему и рассматривает его. Если его черт уже вычеркнул, то ангел записывает его у себя, если же черт его не вычеркнул, то ангел рассматривает следующее число. Чтобы выполнить условие задачи черту придется вычеркивать все числа, не записанные ангелом, поэтому ему придется вычеркнуть все числа.
(Конечно, очень плохо объяснил, на тройку, но задачи хорошие )

[AD]

Sonic86 писал(а):

Все понятно.

То есть вас убедил подход Профессора Снэйпа

[Sonic86]

Ну, возможно.
Может быть я не могу заметить какие-то тонкие моменты, о которых вы говорите, но в целом мне изначально все представилось именно так,как он говорил
Я, собственно, сам все написал.

[surfer]

А я для себя пришел к выводу о смысле библейского конца света.
Итак внимание задача!
На каждом году рождается десять новых людей, и умирает один родившийся раньше других.
Сколько останется людей после наступления конца света (тоесть после прохождения всего времени)
ответ - НОЛЬ!

ЗЫ. Сорри за оффтоп, не удержался.

[Лукомор]

На самом деле, конечно, Литтлвуд и иже с ним, неправы.
Интуитивно понятно, что укладывать в корзинку на каждом шаге
10-1=9 шаров это не лучший способ опустошить ее. :)
Также понятно, что бесконечное количество раз повторив эту операцию в итоге получим бесконечное число шаров в корзинке ровно в полдень.
Уяснив таким образом существо вопроса, несложно найти ошибку в рассуждениях мистера Литтлвуда.
Ошибка заключается в том, что кроме больших, но конечных, чисел в бесконечном натуральном ряду присутствуют еще Бесконечно Большие Числа (ББЧ).
Дело в том что все рассуждения, приводящие к парадоксальному нулевому ответу, верны для конечных чисел.
Поэтому в полдень в корзине не останется ни одного конечного числа.
С другой стороны, каждое из ББЧ попавших в корзину останется в ней до полудня. :roll:
Понять это не просто, поэтому начну с простых вещей.
Для начала докажем, что в корзине в полдень останется как минимум девять шаров.
Для наглядности я несколько видоизменю начальные условия, не погрешив при этом против истины, а потом вернусь к исходной задаче.
На первом шаге положим в корзину 9 шаров, пометив их номерами с 1 до 9.
Таким образом имеем все однозначные числа, кроме нуля.
На втором шаге вынем шар с номером 1, и вместо него положим десять шаров с номерами от 10 до 19.
Хотя у нас теперь нет в корзине числа 1, зато есть 10 двузначных чисел, начинающихся с этой цифры.
На третьем шаге вместо шара с №2 имеем 10 шаров с двузначными номерами начинающимися на двойку.
Таким образом, на каждом шаге имеем в корзине как минимум одно число, начинающееся с каждой из девяти цифр кроме нуля.
Такое положение не изменится ни на одном шаге, и когда часы пробьют полдень, в корзине будет как минимум девять шаров, номера которых начинаются с каждой из девяти цифр...

[PAV]

Лукомор в сообщении #134685 писал(а):

Также понятно, что бесконечное количество раз повторив эту операцию в итоге получим бесконечное число шаров в корзинке ровно в полдень.
Уяснив таким образом существо вопроса, несложно найти ошибку в рассуждениях мистера Литтлвуда.

"Понятно" не есть математическое доказательство. Поэтому никакого "уяснения существа вопроса" не продемонстрировано.

Лукомор в сообщении #134685 писал(а):

Ошибка заключается в том, что кроме больших, но конечных, чисел в бесконечном натуральном ряду присутствуют еще Бесконечно Большие Числа (ББЧ).

Нет в натуральном ряду никаких ББЧ. Это противоречило бы аксиоматике натурального ряда.

Лукомор в сообщении #134685 писал(а):

Таким образом, на каждом шаге имеем в корзине как минимум одно число, начинающееся с каждой из девяти цифр кроме нуля.

Лукомор в сообщении #134685 писал(а):

Поэтому в полдень в корзине не останется ни одного конечного числа.

Те указанные Вами десять шаров на каждом шаге помечены конечными числами. Вы сами признаете, что конечных чисел в полдень не останется. А никаких других нет и не было. Так что не надо морочить никому голову несуществующими ББЧ.

[Лукомор]

PAV в сообщении #134696 писал(а):

"Понятно" не есть математическое доказательство. Поэтому никакого "уяснения существа вопроса" не продемонстрировано.

То, что интуитивно понятно, не нуждается в доказательстве.
Мы положили десять шаров вынули один шар количество шаров в корзине увеличилось на 9. Это один шаг.
Следующий шаг: вынули один шар, положили 10.
Количество шаров увеличилось на 9.
На каждом шаге количество шаров в корзине увеличивается на 9.
Практически линейная зависимость.
N=9*S.
Стремится к бесконечности при количестве шагов S стремящемся к бесконечности.
Теперь ваша очередь:
Назовите номер шага S, начиная с которого,
количество шаров в корзине начнет убывать до нуля?

Добавлено спустя 11 минут 37 секунд:

PAV в сообщении #134696 писал(а):

Нет в натуральном ряду никаких ББЧ. Это противоречило бы аксиоматике натурального ряда.

Уже есть!
Поскольку в натуральном ряду бесконечно много чисел, а цифр всего десять, должны существовать натуральные числа, для записи которых необходимо бесконечное количество цифр, т.е. "Бесконечно Большие Числа".
Это не противоречит аксиоматике НР.
Наоборот, аксиоматике НР противоречит Ваше утверждение о том, что "никаких других (кроме конечных) нет и не было".
Это утверждение эквивалентно утверждению о конечности натурального ряда.

[TOTAL]

Лукомор писал(а):

Теперь ваша очередь:
Назовите номер шага S, начиная с которого,
количество шаров в корзине начнет убывать до нуля?

На каждом шаге количество шаров увеличивается на 9. (Другого никто и не утверждал.)
Теперь ваша очередь.
Назовите номер шара, оставшегося в корзине в полдень.