И перестаньте уже писать "функция

"
Это принятое обозначение арифметической функции, как функции натурального аргумента. Почему Вас не удивляет обозначение арифметической функции Мебиуса

или Лиувилля

. У меня для всех арифметических функций, являющихся слагаемыми сумматорных арифметических функций, обозначение -

, а для самих сумматорных арифметических функций, например Мертенса

или Лиувилля

, обозначение -

.
Сформулируйте правильно. Арифметическая функция -- это не вероятностный объект.
Утверждение 2
Пусть арифметическая функция

принимает значения:

,...,

.
Введем вероятностное пространство

, где

,

- совокупность всех подмножеств

и

,
где

, ...,

и

.
Тогда, если

, то:

, (10)
где

- функция распределения случайной величины

, а

- предельная функция распределения для данной случайной величины, которая равна:


. (11)
Доказательство
Обозначим функцию распределения случайной величины

.
Тогда


. (12)
На основании (12) и Замечания 4 на стр. 123 Боровков "Теория вероятностей" изд. 3 1999 г. функции распределения

сходятся к функции распределения

, при

, как имеющие скачки в одних и тех же точках.
Следовательно,

, что соответствует (10) и (11) .
Обозначим случайную величину, имеющую функцию предельного распределения

-

. Это обозначение будет использоваться далее.
К арифметическим функциям с асимптотически независимыми слагаемыми, удовлетворяющим условиям Утверждения 2, относятся: функция Лиувилля с предельным распределением -

, функция Мебиуса с предельным распределением -

и другие.
Для сумматорной арифметической функции - количество простых чисел, не превосходящих

-

, слагаемые арифметические функции имеют вырожденное предельное распределение

.