2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Предельная функции распределения сумматорной ариф. функции
Сообщение11.10.2018, 16:14 


23/02/12
1698
g______d в сообщении #1345467 писал(а):
И перестаньте уже писать "функция $f(n)$"

Это принятое обозначение арифметической функции, как функции натурального аргумента. Почему Вас не удивляет обозначение арифметической функции Мебиуса $\mu(n)$ или Лиувилля $\lambda(n)$. У меня для всех арифметических функций, являющихся слагаемыми сумматорных арифметических функций, обозначение - $f(n)$, а для самих сумматорных арифметических функций, например Мертенса $M(n)$ или Лиувилля $L(n)$, обозначение - $S(n)$.

g______d в сообщении #1345467 писал(а):
Сформулируйте правильно. Арифметическая функция -- это не вероятностный объект.


Утверждение 2

Пусть арифметическая функция $f(n)$ принимает значения: $a_1$ ,..., $a_k$.

Введем вероятностное пространство $\{Q_n,A_n,P_n\}$, где $Q_n=(1,...,n)$, $A_n$ - совокупность всех подмножеств $Q_n$ и $P_n=\{\nu_1(n),...,\nu_k(n)\}$,

где $\nu_1(n)=P(f(i)=a_1)=\{ i \in (1,...,n):f(i)=a_1\}/n$, ...,$\nu_k(n)=P(f(i)=a_k)=\{ i \in (1,...,n):f(i)=a_k\}/n$ и $\nu_1(n)+...+\nu_k(n)=1$.

Тогда, если $\lim_{n \to \infty} {\nu_1(n)}=p_1,...,\lim_{n \to \infty} {\nu_k(n)}=p_k$, то:

$\lim_{n \to \infty} {P(f_n<y)=G(y)$, (10)

где $P(f_n<y)$ - функция распределения случайной величины $f_n(k)=f(k),(1 \leq k \leq n)$ , а $G(y)$ - предельная функция распределения для данной случайной величины, которая равна:

$G(y)=\{0,y<a_1;p_1,a_1 \leq y<a_2;...;p_1+$$...+p_{k-1},a_{k-1} \leq k < a_k;1.a_k \geq 1\}$. (11)

Доказательство

Обозначим функцию распределения случайной величины $f_n - G_n(y)=P(f_n<y)$.

Тогда $G_n(y)=\{0,y<a_1;\nu_1(n),a_1 \leq y<a_2;...;\nu_1(n)+$$...+\nu_{k-1},a_{k-1} \leq k < a_k;1.a_k \geq 1\}$. (12)

На основании (12) и Замечания 4 на стр. 123 Боровков "Теория вероятностей" изд. 3 1999 г. функции распределения $G_n(y)$ сходятся к функции распределения $G(y)$, при $n \to \infty$, как имеющие скачки в одних и тех же точках.

Следовательно, $\lim_{n \to \infty} {P(f_n<y)=G(y)$, что соответствует (10) и (11) .

Обозначим случайную величину, имеющую функцию предельного распределения $G(y)$ - $f$. Это обозначение будет использоваться далее.

К арифметическим функциям с асимптотически независимыми слагаемыми, удовлетворяющим условиям Утверждения 2, относятся: функция Лиувилля с предельным распределением - $\{a_1=-1,p_1=0,5;a_2=1,p_2=0,5\}$, функция Мебиуса с предельным распределением - $\{a_1=-1,p_1=3/\pi^2;a_2=0,p_2=1-6/\pi^2;a_3=1,p_3=3/\pi^2\}$ и другие.

Для сумматорной арифметической функции - количество простых чисел, не превосходящих $n$ - $\pi(n)=\sum\limits_{k=1,k \in p}^n {1}$, слагаемые арифметические функции имеют вырожденное предельное распределение $\{a_1=0,p_1=1\}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная функции распределения сумматорной ариф. функции
Сообщение11.10.2018, 17:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5203
vicvolf в сообщении #1345487 писал(а):
Это принятое обозначение арифметической функции, как функции натурального аргумента. Почему Вас не удивляет обозначение арифметической функции Мебиуса $\mu(n)$ или Лиувилля $\lambda(n)$. У меня для всех арифметических функций, являющихся слагаемыми сумматорных арифметических функций, обозначение - $f(n)$, а для самих сумматорных арифметических функций, например Мертенса $M(n)$ или Лиувилля $L(n)$, обозначение - $S(n)$.


Ещё раз -- не надо так обозначать. $f(n)$ -- значение функции в точке $n$, а не функция.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная функции распределения сумматорной ариф. функции
Сообщение11.10.2018, 17:54 


23/02/12
1698
g______d в сообщении #1345511 писал(а):
Ещё раз -- не надо так обозначать. $f(n)$ -- значение функции в точке $n$, а не функция.

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1 ... 0%B8%D1%8F
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1 ... 1%81%D0%B0
Это не значение функции в точке, а аргумент функции. Обозначение $f$ у меня уже занято, а далее об этом пишу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная функции распределения сумматорной ариф. функции
Сообщение12.10.2018, 11:21 


23/02/12
1698
Исправлю обнаруженные ошибки

Утверждение 2

Пусть арифметическая функция $f:N \to R$ принимает значения: $a_1$ ,..., $a_k$. Введем вероятностное пространство $\{Q_n,A_n,P_n\}$, где $Q_n=(1,...,n)$, $A_n$ - совокупность всех подмножеств $Q_n$ и $P_n=\{\nu_1(n),...,\nu_k(n)\}$,

где $\nu_1(n)=P(f(i)=a_1)=\{ i \in (1,...,n):f(i)=a_1\}/n$, ...,$\nu_k(n)=P(f(i)=a_k)=\{ i \in (1,...,n):f(i)=a_k\}/n$ и $\nu_1(n)+...+\nu_k(n)=1$.

Тогда, если $\lim_{n \to \infty} {\nu_1(n)}=p_1,...,\lim_{n \to \infty} {\nu_k(n)}=p_k$, то:

$\lim_{n \to \infty} {P(f_n<y)=G(y)$, (10)

где $P(f_n<y)$ - функция распределения случайной величины $f_n(k)=f(k),(1 \leq k \leq n)$ , а $G(y)$ - предельная функция распределения для данной случайной величины, которая равна:

$G(y)=\{0,y<a_1;p_1,a_1 \leq y<a_2;...;p_1+$$...+p_{k-1},a_{k-1} \leq y < a_k;1,y \geq 1\}$. (11)

Доказательство

Обозначим функцию распределения случайной величины $f_n - G_n(y)=P(f_n<y)$.

Тогда $G_n(y)=\{0,y<a_1;\nu_1(n),a_1 \leq y<a_2;...;\nu_1(n)+$$...+\nu_{k-1},a_{k-1} \leq y < a_k;1,y \geq 1\}$. (12)

На основании (12) и Замечания 4 на стр. 123 Боровков "Теория вероятностей" изд. 3 1999 г. функции распределения $G_n(y)$ сходятся к функции распределения $G(y)$, при $n \to \infty$, как имеющие скачки в одних и тех же точках.

Следовательно, $\lim_{n \to \infty} {P(f_n<y)=G(y)$, что соответствует (10) и (11) ч.т.д.

Обозначим случайную величину, имеющую функцию предельного распределения $G(y)$ - $f$. Это обозначение будет использоваться далее.

К арифметическим функциям с асимптотически независимыми слагаемыми, удовлетворяющим условиям Утверждения 2, относятся: функция Лиувилля с предельной функцией распределения - $G(y)=\{0,y<-1;0,5,-1 \leq y <1;1,y \geq 1\}$, функция Мебиуса с предельной функцией распределения - $G(y)=\{0,y<-1;3/\pi^2,-1 \leq y \leq 0;1-3/\pi^2,0 \leq y <1;1, y \geq 1\}$ и другие.

Для сумматорной арифметической функции - количество простых чисел, не превосходящих $n$ - $\pi(n)=\sum\limits_{k=1,k \in p}^n {1}$, слагаемые арифметические функции имеют вырожденную функцию предельного распределения - $G(y)=\{0,y<0;1,y \geq 0\}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная функции распределения сумматорной ариф. функции
Сообщение12.10.2018, 19:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5203
Лучше, но всё равно много ошибок. Что такое $P_n$?

vicvolf в сообщении #1345703 писал(а):
$P_n=\{\nu_1(n),...,\nu_k(n)\}$,


В таких обозначениях это множество, а должно быть отображение.


vicvolf в сообщении #1345703 писал(а):
$\nu_1(n)=P(f(i)=a_1)=\{ i \in (1,...,n):f(i)=a_1\}/n$


Запись $i\in (1,\ldots,n)$ неграмотная, в правой части упорядоченная последовательность чисел, а не множество (формально говоря это тоже множество, но совсем не такое), как минимум нужно писать $i\in \{1,\ldots,n\}$.

$P(f(i)=a_1)$ с учётом первого замечания не имеет абсолютно никакого смысла. Кроме того, нужно различать вероятности элементарных событий и вероятности не-элементарных событий (в данном случае $f(i)=a_1$ не элементарное).

Там же

vicvolf в сообщении #1345703 писал(а):
$\nu_1(n)=P(f(i)=a_1)=\{ i \in (1,...,n):f(i)=a_1\}/n$


Вы пишете множество в фигурных скобках, потом делите его на $n$, что это значит? Количество элементов множества? Тогда воспользуйтесь одним из стандартных обозначений количества элементов множества, поищите в википедии или где угодно.

Разумеется, у меня есть замечания "по существу", и много, но они будут только после того, как будет математически компилирующийся текст (и замечаниями в этом посте дело, разумеется, не ограничится).

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная функции распределения сумматорной ариф. функции
Сообщение13.10.2018, 16:58 


23/02/12
1698
g______d Количество элементов множества - это мощность конечного множества. Если конечное множество - $A$, то его мощность (количество его элементов)-$|A|$.

Однако в Утверждении 1 при определении вероятностных пространств я давал другое обозначение - $N\{...\}$ - количество элементов натурального ряда $m \leq n$, удовлетворяющих условию в фигурных скобках. Оно удобнее, так как все равно в первом случае надо описывать условие для $A$. Поэтому буду придерживаться принятых обозначений.

В Утверждении 2 в отличии от Утверждения 1 определяется только одно вероятностное пространство, поэтому индекс $n$ не нужен.
Определим вероятностное пространство - $(Q,A,P)$, где $Q=(1,...,n)$, $A$ - все подмножества $Q$, $P:A \to R$, где вероятность $P$ является совокупностью вероятностей $P=(\nu_1=N\{f(i)=a_1\}/n,...,\nu_k=N\{f(i)=a_k\}/n)$, где $1 \leq i \leq k$ и $\nu_1+...+\nu_k=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная функции распределения сумматорной ариф. функции
Сообщение13.10.2018, 19:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5203
vicvolf в сообщении #1345953 писал(а):
Поэтому буду придерживаться принятых обозначений.


Ну ладно, придерживайтесь. В исходном тексте у вас $\{...\}/n$ без всякого $N$, что уж точно бессмысленно.

vicvolf в сообщении #1345953 писал(а):
$Q=(1,...,n)$,


Что это за объект? В таких скобках обозначается упорядоченный набор, а не множество, поэтому дальше фраза "все подмножества $Q$" бессмысленна.

vicvolf в сообщении #1345953 писал(а):
$P=(\nu_1=N\{f(i)=a_1\}/n,...,\nu_k=N\{f(i)=a_k\}/n)$, где $1 \leq i \leq k$ и $\nu_1+...+\nu_k=1$.


Как минимум двух круглых скобок не хватает.

Пока что количество замечаний превысило критический уровень. Перепишите текст с учётом исправлений и новых замечаний, потом будут ещё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная функции распределения сумматорной ариф. функции
Сообщение13.10.2018, 19:56 


23/02/12
1698
g______d в сообщении #1345972 писал(а):
Как минимум двух круглых скобок не хватает.

Не понял. Каких? Там совокупность, которая содержит только открывающую и закрывающую круглую скобку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная функции распределения сумматорной ариф. функции
Сообщение13.10.2018, 20:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5203
А, тогда я вообще не понимаю, что там написано. Что значит «вероятность является совокупностью вероятностей»? Вероятность — это отображение, а не совокупность. Напишите правильно на математическом языке. И перепишите весь текст с учётом замечаний, тогда я буду читать следующую версию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная функции распределения сумматорной ариф. функции
Сообщение14.10.2018, 16:09 


23/02/12
1698
g______d в сообщении #1345977 писал(а):

И перепишите весь текст с учётом замечаний, тогда я буду читать следующую версию.

Утверждение 2

Пусть арифметическая функция $f:N \to R$ принимает значения: $a_1$ ,..., $a_k$. Определим случайную величину величину $f_n:f_n(m)=f(m),(1 \leq m \leq n)$ в вероятностном пространстве $(Q_n,A_n,P_n)$, где $Q_n=\{1,...,n\}$,$A_n$ - все подмножества $Q_n$ и $P_n=(\nu_1,...,\nu_k)$, где $\nu_l,(1 \leq l\leq k):A_n \to R$. Значения вероятностей при фиксированном $n$ равны: $\nu_1(n)=N(f(i)=a_1)/n$, ...,$\nu_k(n)=N(f(i)=a_k)/n$, где $1 \leq i \leq n$ и $\nu_1(n)+...+\nu_k(n)=1$.

Тогда, если $\lim_{n \to \infty} {\nu_1(n)}=p_1,...,\lim_{n \to \infty} {\nu_k(n)}=p_k$, то:

$\lim_{n \to \infty} {P(f_n<y)=G(y)$, (10)

где $G_n(y)=P(f_n<y)$ - функция распределения случайной величины $f_n$ , а $G(y)$ - предельная функция распределения для $G_n(y)$, которая равна:

$G(y)=\{0,y<a_1;p_1,a_1 \leq y<a_2;...;p_1+$$...+p_{k-1},a_{k-1} \leq y < a_k;1,y \geq 1\}$. (11)

Доказательство

На основании определения случайной величины $f_n$ ее функция распределения равна:

$G_n(y)=\{0,y<a_1;\nu_1(n),a_1 \leq y<a_2;...;\nu_1(n)+$$...+\nu_{k-1},a_{k-1} \leq y < a_k;1,y \geq 1\}$. (12)

На основании (12) и Замечания 4 на стр. 123 Боровков "Теория вероятностей" изд. 3 1999 г. функции распределения $G_n(y)$ сходятся к функции распределения $G(y)$, при $n \to \infty$, как имеющие скачки в одних и тех же точках.

Следовательно, $\lim_{n \to \infty} {P(f_n<y)=G(y)$, что соответствует (10) и (11) ч.т.д.

Обозначим случайную величину, имеющую функцию предельного распределения $G(y)$ - $f$. Это обозначение будет использоваться далее.

К арифметическим функциям с асимптотически независимыми слагаемыми, удовлетворяющим условиям Утверждения 2, относятся: функция Лиувилля с предельной функцией распределения - $G(y)=\{0,y<-1;0,5,-1 \leq y <1;1,y \geq 1\}$, функция Мебиуса с предельной функцией распределения - $G(y)=\{0,y<-1;3/\pi^2,-1 \leq y \leq 0;1-3/\pi^2,0 \leq y <1;1, y \geq 1\}$ и другие.

Для сумматорной арифметической функции - количество простых чисел, не превосходящих $n$ - $\pi(n)=\sum\limits_{k=1,k \in p}^n {1}$, слагаемые арифметические функции имеют вырожденную функцию предельного распределения - $G(y)=\{0,y<0;1,y \geq 0\}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная функции распределения сумматорной ариф. функции
Сообщение14.10.2018, 17:14 


23/02/12
1698
Заменю скобки на фигурные:
Значения вероятностей при фиксированном $n$ равны: $\nu_1(n)=N\{f(i)=a_1\}/n$, ...,$\nu_k(n)=N\{f(i)=a_k\}/n$, где $1 \leq i \leq n$ и $\nu_1(n)+...+\nu_k(n)=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная функции распределения сумматорной ариф. функции
Сообщение14.10.2018, 17:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5780

(Оффтоп)

vicvolf в сообщении #1346217 писал(а):
Заменю скобки на фигурные
Совет на будущее: если нужно сделать правку в последнем сообщении в теме, на которое ещё никто не отвечал, тогда это сообщение можно скопировать, удалить, вставить, внести правку и вновь отправить. Можно сделать в конце сообщения пометку типи: "UPD 17:20 В сообщение была внесена правка." Или даже конкретизировать место и/или суть правки. Думаю, это в любом случае удобнее исправления последующими сообщениями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная функции распределения сумматорной ариф. функции
Сообщение15.10.2018, 15:23 


23/02/12
1698
grizzly Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная функции распределения сумматорной ариф. функции
Сообщение16.10.2018, 01:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5203
vicvolf в сообщении #1346194 писал(а):
и $P_n=(\nu_1,...,\nu_k)$, где $\nu_l,(1 \leq l\leq k):A_n \to R$.


Что это значит? В равенстве слева $P_n$ (отображение), а справа набор то ли чисел, то ли отображений $(\nu_1,\ldots,\nu_k)$. Напишите, на что нужно заменить эту строку, чтобы текст стал математически корректным.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 44 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group