Предельная функции распределения сумматорной ариф. функции

[arseniiv]

vicvolf в сообщении #1344181 писал(а):

взяв в качестве $Q_n=(1,2,...,n)$, $A_n$ - все подмножества $Q_n$, $P_n=N(m \in A)/n$, где $N(m \in A)$ - это количество членов отрезка натурального, удовлетворяющих условию $m \in A$

Корректнее и короче: $Q_n = \{1,\ldots,n\}$ (скобки!), $A_n = 2^{Q_n}$, $P_n(X) = |X|/n$ (потому что $P_n\colon A_n\to\mathbb R$, и $X$ обязательно будет подмножеством $Q_n$).

vicvolf в сообщении #1344181 писал(а):

Тогда произвольную (вещественную) арифметическую функцию $f(k)$ для каждого $k(1 \leq k \leq n)$) можно представить как случайную величину $x_n(k)=f(k)$.

«Тогда $f\colon Q_n\to\mathbb R$ есть случайная величина.» Никаких $x_n$ не нужно. Если $f$ изначально определена на всём $\mathbb N$, просто берите её ограничение $f|_{Q_n}$. Его можно оговорить заранее, подразумевать, обозначать — но уж точно не подписным индексом $n$, это всех запутает.

vicvolf в сообщении #1344181 писал(а):

Характеристическую функцию мы также ищем от от случайной величины, принимающей значения: $S(1),...,S(n)$, для простоты обозначая ее $S(n)$.

Тогда уж $S$ (см. выше). Немой аргумент в обозначении функций часто путает, и когда обозначение для самой функции уже введено, в нём нет нужды.

[g______d]

vicvolf в сообщении #1344181 писал(а):

Характеристическую функцию мы также ищем от случайной величины, принимающей значения: $S(1),...,S(n)$, для простоты обозначая ее $S(n)$.

Это не для простоты, вы только всё усложняете таким обозначением. Придумайте какое-нибудь другое.

И перестаньте уже отождествлять в обозначениях функцию и её значение. Давайте считать, что с настоящего момента писать "функция $f(x)$" считается неграмотным, по крайней мере в этом треде.

[vicvolf]

arseniiv в сообщении #1344188 писал(а):

Никаких $x_n$ не нужно.

Случайные величины: $x_1,...,x_n$ определены на разных вероятностных пространствах, поэтому индекс нужен для их отличия.

g______d в сообщении #1344228 писал(а):

vicvolf в сообщении #1344181 писал(а):

Характеристическую функцию мы также ищем от случайной величины, принимающей значения: $S(1),...,S(n)$, для простоты обозначая ее $S(n)$.

Это не для простоты, вы только всё усложняете таким обозначением. Придумайте какое-нибудь другое.

Согласен с Вами. Лучше данную случайную величину обозначить $S_n$. В нашем случае $S_{10}$.

[vicvolf]

Постараюсь исправить первое сообщение по результатам дискуссии.

В теме "Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)" была показана асимптотическая независимость арифметических функций Мебиуса, Лиувилля и некоторых других арифметических функций. Выделю одно сообщение этой темы, так как буду на него непосредственно ссылаться.

vicvolf в сообщении #1335233 писал(а):

Обозначим арифметическую функцию Мебиуса или Лиувилля $f(k)$.

Под асимптотической независимостью арифметических функций Мебиуса и Лиувилля будем понимать то, что при $n \to \infty$ предел разницы между средним значением произведения арифметической функции $f(k)$ и произведением средних значений той же функции при разных значениях аргумента стремится к нулю.

Теорема 1

Пусть среднее значение произведения арифметической функции $f(k)$ при разных значениях аргумента определяется по формуле:

$\frac {\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1( i \not= j)}^n {f(i)f(j)}} {n(n-1)}$. (1)

Пусть произведение средних значений арифметической функции $f(k)$ при разных значениях аргумента определяется по формуле:

$\frac {(\sum\limits_{k=1}^n {f(k)})^2-\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}}{n^2}$. (2)

Тогда оценка сверху разницы между средним значением произведения арифметической функции $f(k)$ и произведением средних значений той же функции при разных значениях аргумента равна $o(1/n)$.

Доказательство

Найдем разность:

$\frac {\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1( i \not= j)}^n {f(i)f(j)}} {n(n-1)}- \frac {(\sum\limits_{k=1}^n {f(k)})^2-\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}}{n^2}$. (3)

Учитывая, что $\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1( i \not= j)}^n {f(i)f(j)}=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n {f(i)f(j)}-\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}$ , подставляя это в (3), получим:

$\frac {\sum\limits_{i=1}^n \sum_{j=1}^n {f(i)f(j)}-\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}}{n(n-1)}- \frac {(\sum\limits_{k=1}^n {f(k)})^2-\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}}{n^2}$. (4)

Так как $\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n {f(i)f(j)}=(\sum\limits_{k=1}^n {f(k)})^2$, то на основании (4) получим:

$(\sum\limits_{k=1}^n {f(k)})^2-\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}})(1/n(n-1)-1/n^2)$. (5)

Учитывая, что $(\sum\limits_{k=1}^n {f(k)})^2=o(n^2)$, а $\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}=O(n)$, подставляя это в (5) и получим оценку: $o(1/n)$. ч.т.д.


Следствие 1

Соблюдается асимптотическая независимость арифметических функций Мебиуса и Лиувилля.

Доказательство

На основании Теоремы 1 при $n \to \infty$ предел разницы между средним значением произведения арифметической функции $f(k)$ и произведением средних значений той же функции при разных значениях аргумента стремится к нулю, т.е. выполняется асимптотическая независимость арифметических функций Мебиуса и Лиувилля.

Известно, что любой начальный отрезок натурального ряда $1,2,...,n$ можно естественным образом превратить в вероятностное пространство с равномерной вероятностной мерой $(Q_n,A_n,P_n)$, взяв в качестве $Q_n=(1,2,...,n)$, $A_n$ - все подмножества $Q_n$, $P_n=N(m \in A)/n$, где $N(m \in A)$ - это количество членов отрезка натурального, удовлетворяющих условию $m \in A$.
Тогда произвольную (вещественную) арифметическую функцию $f(k)$ для каждого $k(1 \leq k \leq n)$) можно представить как случайную величину $x_n(k)=f(k)$. Поэтому, можно говорить о математическом ожидании (среднем значении), дисперсии, функции распределения и характеристической функции $f(k)$.


Рассмотрим случайные величины $f_k$, которые в соответствии с определением вероятностных пространств принимают значения равные значениям арифметической функции, т.е. $f_k=f(k),(1 \leq k \leq n)$.

Будем считать случайные величины $f_k$ квази асимптотически независимыми, если для их средних значений выполняется следующее соотношение при $n \to \infty$:

$M_{ij}[f,n] \to M_i[f,n]M_j[f,n]$,

где $M_{ij}[f,n]$ определяется по формуле (1) сообщения, а $M_i[f,n]M_j[f,n]$ определяется по формуле (2) сообщения. Квази, так как случайные величины $f_k$ определены в разных вероятностных пространствах.

Рассмотрим сумматорную арифметическую функцию $S(n)=\sum\limits_{k=1}^n {f(k)}$ и определим случайную величину $S_n(k)=S(k),(1 \leq k \leq n)$.

Поставим целью определение предельной функции распределения для случайной величины $S_n$ при $n \to \infty$. В соответствии с указанным выше определением вероятностного пространства для любой арифметической функции мы можем сказать, что нашей целью является определение предельной функции распределения для сумматорной арифметической функции $S(n)$ при $n \to \infty$.

Естественно не каждая случайная величина $S_n$ имеет предельную функцию распределения при $n \to \infty$. Для того, чтобы существовала такая предельная функция необходимо, чтобы выполнялись условия теоремы о непрерывности характеристической функции.

При условии выполнения данной теоремы для $S_n$ будем искать характеристическую функцию для данной случайной величины - $\varphi_{S_n}(t)=M[e^{itS_n}]$.

Однако, впрямую использовать квази асимптотическую независимость случайных величин $f_k,(1 \leq k \leq n)$ для нахождения характеристической функции $S_n$ мы не можем, так как случайные величины $f_1,...,f_n$ определены в разных вероятностных пространствах. Данную проблему позволяет решить следующее утверждение.

Утверждение 1

В случае, если случайные величины $f_k=f(k),(1 \leq k \leq n)$ квази асимптотически независимы при $n \to \infty$ и при каждом значении $t$ существует предел характеристической функции - $lim_{n \to \infty} {\varphi_{S_n}(t)}$, непрерывный в точке $t=0$, то выполняется:

$\varphi_{S_n(t)=\prod_{k=1}^n {\varphi_{f_k}(t)$ (6)

при $n \to \infty$ и $\varphi_{S_n}(t)$ однозначно определяет предельную функцию распределения для $S_n$.

Доказательство

Учитывая, что случайные величины $f_k$ квази асимптотически независимы, то для их средних значений выполняется указанное выше соотношение при $n \to \infty$:

$M_{ij}[f,n] \to M_i[f,n]M_j[f,n]$, (7)

где $M_{ij}[f,n]$ определяется по формуле (1) сообщения, а $M_i[f,n]M_j[f,n]$ определяется по формуле (2) сообщения.

На основании Леммы 3 стр. 123 Боровков "Теория вероятностей" можно построить случайные величины: $g_1,...,g_n$, определенные в одном вероятностном пространстве с $S_n$, которые имеют соответственно равные функции распределения с $f_1,...,f_n$, а следовательно и характеристические функции. Так как совпадают функции распределения, то совпадают и средние значения соответственно для $f_k$ и $g_k$, поэтому при выполнении (7) можно записать аналогичное соотношение для средних значений $g_k$ при $n \to \infty$:

$M_{ij}[g,n] \to M_i[g,n]M_j[g,n]$. (8)

На основании (8), не учитывая тривиальные случаи, можно считать $g_1,...,g_n$ уже асимптотически независимыми (без квази), так как они находятся в одном вероятностном пространстве. На основании этого и свойств характеристической функции при $n \to \infty$ получаем:

$\varphi_{\sum\limits_{k=1}^n {g_k}}(t)=\prod_{k=1}^n {\varphi_{g_k}}(t)}=\prod_{k=1}^n {\varphi_{f_k}}(t)}$, (9)

учитывая равенство соответствующих характеристических функций $\varphi_{g_k}}(t)=\varphi_{f_k}}(t)$.

Таким образом, на основании (9) по $\prod_{k=1}^n {\varphi_{f_k}}(t)}$ однозначно определяется предельная функция распределения для $\sum\limits_{k=1}^n {g_k}$ при $n \to \infty$. Назовем ее $G(x)$.

Учитывая, что функции распределения для $f_k,g_k$ соответственно совпадают, совпадают и предельные функции распределения при $n \to \infty$.

Следовательно, случайная величина $S_n$ имеет функцию предельного распределения $G(x)$ при $n \to \infty$, которая однозначно определяется по характеристической функции $\varphi_{\sum\limits_{k=1}^n {g_k}}(t)$, которая в свою очередь, на основании (9), равна $\prod_{k=1}^n {\varphi_{f_k}}(t)}$.

Таким образом, получаем, что при при $n \to \infty$ выполняется $\varphi_{S_n}(t)=\prod_{k=1}^n {\varphi_{f_k}(t)$, что соответствует (6). На основании теоремы о непрерывности, характеристическая функция $\varphi_{S_n}(t)$ однозначно определяет предельную функцию распределения $S_n$ ч.т.д.

[g______d]

vicvolf в сообщении #1344808 писал(а):

нашей целью является определение предельной функции распределения для сумматорной арифметической функции $S(n)$ при $n \to \infty$.

Вы путаете определение и поиск. Сначала дайте математическое определение "предельной функции распределения", а потом докажите, что она существует.

vicvolf в сообщении #1344808 писал(а):

На основании Леммы 3 стр. 123 Боровков "Теория вероятностей"

Я открыл стр. 123 и никакой леммы 3 там не обнаружил. Нужно либо указывать точное издание, либо номер главы и параграфа.

vicvolf в сообщении #1344808 писал(а):

Таким образом, на основании (9) по $\prod_{k=1}^n {\varphi_{f_k}}(t)}$ однозначно определяется предельная функция распределения для $\sum\limits_{k=1}^n {g_k}$ при $n \to \infty$. Назовем ее $G(x)$.

Нет, не определяется. Вы существование предела не доказали.

-- Вт, 09 окт 2018 14:41:15 --

vicvolf в сообщении #1344808 писал(а):

можно построить случайные величины: $g_1,...,g_n$, определенные в одном вероятностном пространстве с $S_n$, которые имеют соответственно равные функции распределения с $f_1,...,f_n$, а следовательно и характеристические функции.

Это просто неверно. Пример: $n=93$.

[vicvolf]

g______d в сообщении #1344971 писал(а):

Вы путаете определение и поиск. Сначала дайте математическое определение "предельной функции распределения", а потом докажите, что она существует.

Под словом "определение" я, в данном случае понимал "нахождение". Согласен, что слово "Поиск" больше подходит.
Я понимаю понятие "предельная функция распределения" в традиционном смысле. Если функция распределения случайной величины $S_n$ - $F_n(x)$ сходится к функции распределения случайной величины $S$ - $F(x)$ при $n \to \infty$ в каждой точке $x$, где $F(x)$ непрерывна, то $F(x)$ является предельной функцией распределения.
В Утверждении 1 я предполагаю, что "предельная функция распределения" существует, а доказывать ее существование буду далее в частных случаях.

Цитата:

Я открыл стр. 123 и никакой леммы 3 там не обнаружил. Нужно либо указывать точное издание, либо номер главы и параграфа.

Издание 3, 1999 г.

Цитата:

vicvolf в сообщении #1344808 писал(а):

Таким образом, на основании (9) по $\prod_{k=1}^n {\varphi_{f_k}}(t)}$ однозначно определяется предельная функция распределения для $\sum\limits_{k=1}^n {g_k}$ при $n \to \infty$. Назовем ее $G(x)$.

Нет, не определяется. Вы существование предела не доказали.

Я уже говорил, что предполагаю, что он существует.

Цитата:

vicvolf в сообщении #1344808 писал(а):

можно построить случайные величины: $g_1,...,g_n$, определенные в одном вероятностном пространстве с $S_n$, которые имеют соответственно равные функции распределения с $f_1,...,f_n$, а следовательно и характеристические функции.

Это просто неверно. Пример: $n=93$.

Пожалуйста, прочтите Лемму 3.

[vicvolf]

g______d писал(а):

Нужно либо указывать точное издание, либо номер главы и параграфа.

Уточню Глава 6 параграф 2 Сходимость распределений (сразу после Определения 7 следует Лемма 3).

[g______d]

vicvolf в сообщении #1345110 писал(а):

Пожалуйста, прочтите Лемму 3.

Прочитал. По-прежнему неверно. "Можно построить на одном вероятностном пространстве" не означает "на одном вероятностном пространстве с $S_n$".

[vicvolf]

g______d в сообщении #1345176 писал(а):

["Можно построить на одном вероятностном пространстве" не означает "на одном вероятностном пространстве с $S_n$".

Согласен, $S_n$ из этой фразы нужно убрать, но $S_n$ это $n+1$ случайная величина, которая находится в $n+1$ вероятностном пространстве. Можно построить на одном вероятностном пространстве (не с $S_n$) $n+1$ величину соответственно с равными функциями распределения.

[g______d]

vicvolf в сообщении #1345189 писал(а):

Согласен, но $S_n$ это $n+1$ случайная величина, которая находится в $n+1$ вероятностном пространстве. Можно построить на одном вероятностном пространстве $n+1$ величину соответственно с равными функциями распределения.

Непонятно написано.

[vicvolf]

g______d Согласен, $S_n$ из этой фразы нужно убрать.

[g______d]

Ладно, т. е. фактически вы для каждого $n$ выписываете функцию распределения, предполагаете, что у этих функций существует предел при $n\to \infty$, потом берёте предельную функцию и называете распределение, которому она отвечает, предельным.

Это всё отлично, но теперь нужно существование предела доказывать (и желательно, чтобы предел не оказался тривиальным). Для каких арифметических функций вы это можете доказать?

[vicvolf]

g______d в сообщении #1345213 писал(а):

Это всё отлично, но теперь нужно существование предела доказывать (и желательно, чтобы предел не оказался тривиальным). Для каких арифметических функций вы это можете доказать?

Следующее утверждение будет о предельном распределении некоторых слагаемых сумматорных арифметических функций.

Утверждение 2

Пусть арифметическая функция $f(n)$ принимает значения: $a_1$ с вероятностью $\nu_1(n)$ ,..., $a_k$ с вероятностью $\nu_k(n)$.

Тогда, если $\lim_{n \to \infty} {\nu_1(n)}=p_1,...,\lim_{n \to \infty} {\nu_k(n)}=p_k$, то:

$\lim_{n \to \infty} {P(f_n<y)=G(y)$, (10)

где $P(f_n<y)$ - функция распределения случайной величины $f_n(k)=f(k),(1 \leq k \leq n)$ , а $G(y)$ - предельная функция распределения для данной случайной величины, которая равна:

$G(y)=\{0,y<a_1;p_1,a_1 \leq y<a_2;...;p_1+$$...+p_{k-1},a_{k-1} \leq k < a_k;1.a_k \geq 1\}$. (11)

Доказательство

Введем вероятностное пространство $\{Q_n,A_n,P_n\}$, где $Q_n=(1,...,n)$, $A_n$ - совокупность всех подмножеств $Q_n$ и $P_n=\{\nu_1(n),...,\nu_k(n)\}$, где $\nu_1(n)+...+\nu_k(n)=1$ и

$P(f(i)=a_1)=\{ i \in (1,...,n):f(i)=a_1\}/n=\nu_1(n)$,
...,
$P(f(i)=a_k)=\{ i \in (1,...,n):f(i)=a_k\}/n=\nu_k(n)$.

Введем случайную величину $x_n:x_n(i)=f(i),1 \leq i \leq n$ , где вероятности равны $P(f(i)=a_1)=\nu_1(n),...,P(f(i)=a_k)=\nu_k(n)$.

Обозначим функцию распределения случайной величины $x_n(i) - G_n(y)=P(x_n(i)<y)$.

Тогда $x_n(i)$ имеет функцию распределения:

$G_n(y)=\{0,y<a_1;\nu_1(n),a_1 \leq y<a_2;...;\nu_1(n)+$$...+\nu_{k-1},a_{k-1} \leq k < a_k;1.a_k \geq 1\}$. (12)

На основании (12) и Замечания 4 на стр. 123 Боровков "Теория вероятностей" изд. 3 1999 г. функции распределения $G_n(y)$ сходятся к функции распределения $G(y)$, при $n \to \infty$, как имеющие скачки в одних и тех же точках.

Следовательно, $\lim_{n \to \infty} {P(f_n<y)=G(y)$, что соответствует (10) и (11) .

Обозначим случайную величину, имеющую функцию предельного распределения $G(y)$ - $f$.

К арифметическим функциям с асимптотически независимыми слагаемыми, удовлетворяющим условиям Утверждения 2, относятся: функция Лиувилля с предельным распределением - $\{a_1=-1,p_1=0,5;a_2=1,p_2=0,5\}$, функция Мебиуса с предельным распределением - $\{a_1=-1,p_1=3/\pi^2;a_2=0,p_2=1-6/\pi^2;a_3=1,p_3=3/\pi^2\}$ и другие.

Для сумматорной арифметической функции - количество простых чисел, не превосходящих $n$ - $\pi(n)=\sum\limits_{k=1,k \in p}^n {1}$, слагаемые арифметические функции имеют вырожденное предельное распределение $\{a_1=0,p_1=1\}$.

[vicvolf]

Утверждение 3

Пусть случайная величина $f$ принимает значения соответственно с вероятностями: $f(1)=a_1$ c вероятностью $p_1$,..., $f(k)=a_k$ c вероятностью $p_k$. .

Тогда в окрестности $t=0$ справедливо следующее разложение в ряд Тейлора для характеристической функции от $f$:

$\varphi_f(t)=1+\sum\limits_{j=1}^l {(it)^j M[f^j]/j!+o(t^l)}$, (13)

где $M[f^j]$ - $j$ - ый момент от случайной величины $f$.

Доказательство

Среднее значение (математическое ожидание) случайной величины $f$ ограничено $M[f]<\infty$, дисперсия и другие моменты высших порядков случайной величины $f$ также ограничены - $M[f^l]<\infty$.

Поэтому на основании свойства 5 характеристической функции на стр. 131 Боровков "Теория вероятностей" изд. 3 1999 г выполняется:

$\varphi^{(j)}_f(0)=t^{j-1}M[f^{j-1}]$. (14)

Следовательно, так как $M[f^l]<\infty$, то в окрестности $t=0$ справедливо разложение характеристической функции от $f$ в ряд Тейлора:

$\varphi_f(t)=1+\sum\limits_{j=1}^l {(it)^j M[f^j]/j!+o(t^l)}$, ,

что соответствует (13) ч.т.д.

[g______d]

vicvolf в сообщении #1345365 писал(а):

Утверждение 2

Пусть арифметическая функция $f(n)$ принимает значения: $a_1$ с вероятностью $\nu_1(n)$ ,..., $a_k$ с вероятностью $\nu_k(n)$.

Сформулируйте правильно. Арифметическая функция -- это не вероятностный объект. И перестаньте уже писать "функция $f(n)$", последний раз предупреждаю.