Предельная функции распределения сумматорной ариф. функции

[vicvolf]

g______d в сообщении #1345467 писал(а):

И перестаньте уже писать "функция $f(n)$"

Это принятое обозначение арифметической функции, как функции натурального аргумента. Почему Вас не удивляет обозначение арифметической функции Мебиуса $\mu(n)$ или Лиувилля $\lambda(n)$. У меня для всех арифметических функций, являющихся слагаемыми сумматорных арифметических функций, обозначение - $f(n)$, а для самих сумматорных арифметических функций, например Мертенса $M(n)$ или Лиувилля $L(n)$, обозначение - $S(n)$.

g______d в сообщении #1345467 писал(а):

Сформулируйте правильно. Арифметическая функция -- это не вероятностный объект.

Утверждение 2

Пусть арифметическая функция $f(n)$ принимает значения: $a_1$ ,..., $a_k$.

Введем вероятностное пространство $\{Q_n,A_n,P_n\}$, где $Q_n=(1,...,n)$, $A_n$ - совокупность всех подмножеств $Q_n$ и $P_n=\{\nu_1(n),...,\nu_k(n)\}$,

где $\nu_1(n)=P(f(i)=a_1)=\{ i \in (1,...,n):f(i)=a_1\}/n$, ...,$\nu_k(n)=P(f(i)=a_k)=\{ i \in (1,...,n):f(i)=a_k\}/n$ и $\nu_1(n)+...+\nu_k(n)=1$.

Тогда, если $\lim_{n \to \infty} {\nu_1(n)}=p_1,...,\lim_{n \to \infty} {\nu_k(n)}=p_k$, то:

$\lim_{n \to \infty} {P(f_n<y)=G(y)$, (10)

где $P(f_n<y)$ - функция распределения случайной величины $f_n(k)=f(k),(1 \leq k \leq n)$ , а $G(y)$ - предельная функция распределения для данной случайной величины, которая равна:

$G(y)=\{0,y<a_1;p_1,a_1 \leq y<a_2;...;p_1+$$...+p_{k-1},a_{k-1} \leq k < a_k;1.a_k \geq 1\}$. (11)

Доказательство

Обозначим функцию распределения случайной величины $f_n - G_n(y)=P(f_n<y)$.

Тогда $G_n(y)=\{0,y<a_1;\nu_1(n),a_1 \leq y<a_2;...;\nu_1(n)+$$...+\nu_{k-1},a_{k-1} \leq k < a_k;1.a_k \geq 1\}$. (12)

На основании (12) и Замечания 4 на стр. 123 Боровков "Теория вероятностей" изд. 3 1999 г. функции распределения $G_n(y)$ сходятся к функции распределения $G(y)$, при $n \to \infty$, как имеющие скачки в одних и тех же точках.

Следовательно, $\lim_{n \to \infty} {P(f_n<y)=G(y)$, что соответствует (10) и (11) .

Обозначим случайную величину, имеющую функцию предельного распределения $G(y)$ - $f$. Это обозначение будет использоваться далее.

К арифметическим функциям с асимптотически независимыми слагаемыми, удовлетворяющим условиям Утверждения 2, относятся: функция Лиувилля с предельным распределением - $\{a_1=-1,p_1=0,5;a_2=1,p_2=0,5\}$, функция Мебиуса с предельным распределением - $\{a_1=-1,p_1=3/\pi^2;a_2=0,p_2=1-6/\pi^2;a_3=1,p_3=3/\pi^2\}$ и другие.

Для сумматорной арифметической функции - количество простых чисел, не превосходящих $n$ - $\pi(n)=\sum\limits_{k=1,k \in p}^n {1}$, слагаемые арифметические функции имеют вырожденное предельное распределение $\{a_1=0,p_1=1\}$.

[g______d]

vicvolf в сообщении #1345487 писал(а):

Это принятое обозначение арифметической функции, как функции натурального аргумента. Почему Вас не удивляет обозначение арифметической функции Мебиуса $\mu(n)$ или Лиувилля $\lambda(n)$. У меня для всех арифметических функций, являющихся слагаемыми сумматорных арифметических функций, обозначение - $f(n)$, а для самих сумматорных арифметических функций, например Мертенса $M(n)$ или Лиувилля $L(n)$, обозначение - $S(n)$.

Ещё раз -- не надо так обозначать. $f(n)$ -- значение функции в точке $n$, а не функция.

[vicvolf]

g______d в сообщении #1345511 писал(а):

Ещё раз -- не надо так обозначать. $f(n)$ -- значение функции в точке $n$, а не функция.

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1 ... 0%B8%D1%8F
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1 ... 1%81%D0%B0
Это не значение функции в точке, а аргумент функции. Обозначение $f$ у меня уже занято, а далее об этом пишу.

[vicvolf]

Исправлю обнаруженные ошибки

Утверждение 2

Пусть арифметическая функция $f:N \to R$ принимает значения: $a_1$ ,..., $a_k$. Введем вероятностное пространство $\{Q_n,A_n,P_n\}$, где $Q_n=(1,...,n)$, $A_n$ - совокупность всех подмножеств $Q_n$ и $P_n=\{\nu_1(n),...,\nu_k(n)\}$,

где $\nu_1(n)=P(f(i)=a_1)=\{ i \in (1,...,n):f(i)=a_1\}/n$, ...,$\nu_k(n)=P(f(i)=a_k)=\{ i \in (1,...,n):f(i)=a_k\}/n$ и $\nu_1(n)+...+\nu_k(n)=1$.

Тогда, если $\lim_{n \to \infty} {\nu_1(n)}=p_1,...,\lim_{n \to \infty} {\nu_k(n)}=p_k$, то:

$\lim_{n \to \infty} {P(f_n<y)=G(y)$, (10)

где $P(f_n<y)$ - функция распределения случайной величины $f_n(k)=f(k),(1 \leq k \leq n)$ , а $G(y)$ - предельная функция распределения для данной случайной величины, которая равна:

$G(y)=\{0,y<a_1;p_1,a_1 \leq y<a_2;...;p_1+$$...+p_{k-1},a_{k-1} \leq y < a_k;1,y \geq 1\}$. (11)

Доказательство

Обозначим функцию распределения случайной величины $f_n - G_n(y)=P(f_n<y)$.

Тогда $G_n(y)=\{0,y<a_1;\nu_1(n),a_1 \leq y<a_2;...;\nu_1(n)+$$...+\nu_{k-1},a_{k-1} \leq y < a_k;1,y \geq 1\}$. (12)

На основании (12) и Замечания 4 на стр. 123 Боровков "Теория вероятностей" изд. 3 1999 г. функции распределения $G_n(y)$ сходятся к функции распределения $G(y)$, при $n \to \infty$, как имеющие скачки в одних и тех же точках.

Следовательно, $\lim_{n \to \infty} {P(f_n<y)=G(y)$, что соответствует (10) и (11) ч.т.д.

Обозначим случайную величину, имеющую функцию предельного распределения $G(y)$ - $f$. Это обозначение будет использоваться далее.

К арифметическим функциям с асимптотически независимыми слагаемыми, удовлетворяющим условиям Утверждения 2, относятся: функция Лиувилля с предельной функцией распределения - $G(y)=\{0,y<-1;0,5,-1 \leq y <1;1,y \geq 1\}$, функция Мебиуса с предельной функцией распределения - $G(y)=\{0,y<-1;3/\pi^2,-1 \leq y \leq 0;1-3/\pi^2,0 \leq y <1;1, y \geq 1\}$ и другие.

Для сумматорной арифметической функции - количество простых чисел, не превосходящих $n$ - $\pi(n)=\sum\limits_{k=1,k \in p}^n {1}$, слагаемые арифметические функции имеют вырожденную функцию предельного распределения - $G(y)=\{0,y<0;1,y \geq 0\}$.

[g______d]

Лучше, но всё равно много ошибок. Что такое $P_n$?

vicvolf в сообщении #1345703 писал(а):

$P_n=\{\nu_1(n),...,\nu_k(n)\}$,

В таких обозначениях это множество, а должно быть отображение.

vicvolf в сообщении #1345703 писал(а):

$\nu_1(n)=P(f(i)=a_1)=\{ i \in (1,...,n):f(i)=a_1\}/n$

Запись $i\in (1,\ldots,n)$ неграмотная, в правой части упорядоченная последовательность чисел, а не множество (формально говоря это тоже множество, но совсем не такое), как минимум нужно писать $i\in \{1,\ldots,n\}$.

$P(f(i)=a_1)$ с учётом первого замечания не имеет абсолютно никакого смысла. Кроме того, нужно различать вероятности элементарных событий и вероятности не-элементарных событий (в данном случае $f(i)=a_1$ не элементарное).

Там же

vicvolf в сообщении #1345703 писал(а):

$\nu_1(n)=P(f(i)=a_1)=\{ i \in (1,...,n):f(i)=a_1\}/n$

Вы пишете множество в фигурных скобках, потом делите его на $n$, что это значит? Количество элементов множества? Тогда воспользуйтесь одним из стандартных обозначений количества элементов множества, поищите в википедии или где угодно.

Разумеется, у меня есть замечания "по существу", и много, но они будут только после того, как будет математически компилирующийся текст (и замечаниями в этом посте дело, разумеется, не ограничится).

[vicvolf]

g______d Количество элементов множества - это мощность конечного множества. Если конечное множество - $A$, то его мощность (количество его элементов)-$|A|$.

Однако в Утверждении 1 при определении вероятностных пространств я давал другое обозначение - $N\{...\}$ - количество элементов натурального ряда $m \leq n$, удовлетворяющих условию в фигурных скобках. Оно удобнее, так как все равно в первом случае надо описывать условие для $A$. Поэтому буду придерживаться принятых обозначений.

В Утверждении 2 в отличии от Утверждения 1 определяется только одно вероятностное пространство, поэтому индекс $n$ не нужен.
Определим вероятностное пространство - $(Q,A,P)$, где $Q=(1,...,n)$, $A$ - все подмножества $Q$, $P:A \to R$, где вероятность $P$ является совокупностью вероятностей $P=(\nu_1=N\{f(i)=a_1\}/n,...,\nu_k=N\{f(i)=a_k\}/n)$, где $1 \leq i \leq k$ и $\nu_1+...+\nu_k=1$.

[g______d]

vicvolf в сообщении #1345953 писал(а):

Поэтому буду придерживаться принятых обозначений.

Ну ладно, придерживайтесь. В исходном тексте у вас $\{...\}/n$ без всякого $N$, что уж точно бессмысленно.

vicvolf в сообщении #1345953 писал(а):

$Q=(1,...,n)$,

Что это за объект? В таких скобках обозначается упорядоченный набор, а не множество, поэтому дальше фраза "все подмножества $Q$" бессмысленна.

vicvolf в сообщении #1345953 писал(а):

$P=(\nu_1=N\{f(i)=a_1\}/n,...,\nu_k=N\{f(i)=a_k\}/n)$, где $1 \leq i \leq k$ и $\nu_1+...+\nu_k=1$.

Как минимум двух круглых скобок не хватает.

Пока что количество замечаний превысило критический уровень. Перепишите текст с учётом исправлений и новых замечаний, потом будут ещё.

[vicvolf]

g______d в сообщении #1345972 писал(а):

Как минимум двух круглых скобок не хватает.

Не понял. Каких? Там совокупность, которая содержит только открывающую и закрывающую круглую скобку.

[g______d]

А, тогда я вообще не понимаю, что там написано. Что значит «вероятность является совокупностью вероятностей»? Вероятность — это отображение, а не совокупность. Напишите правильно на математическом языке. И перепишите весь текст с учётом замечаний, тогда я буду читать следующую версию.

[vicvolf]

g______d в сообщении #1345977 писал(а):

И перепишите весь текст с учётом замечаний, тогда я буду читать следующую версию.

Утверждение 2

Пусть арифметическая функция $f:N \to R$ принимает значения: $a_1$ ,..., $a_k$. Определим случайную величину величину $f_n:f_n(m)=f(m),(1 \leq m \leq n)$ в вероятностном пространстве $(Q_n,A_n,P_n)$, где $Q_n=\{1,...,n\}$,$A_n$ - все подмножества $Q_n$ и $P_n=(\nu_1,...,\nu_k)$, где $\nu_l,(1 \leq l\leq k):A_n \to R$. Значения вероятностей при фиксированном $n$ равны: $\nu_1(n)=N(f(i)=a_1)/n$, ...,$\nu_k(n)=N(f(i)=a_k)/n$, где $1 \leq i \leq n$ и $\nu_1(n)+...+\nu_k(n)=1$.

Тогда, если $\lim_{n \to \infty} {\nu_1(n)}=p_1,...,\lim_{n \to \infty} {\nu_k(n)}=p_k$, то:

$\lim_{n \to \infty} {P(f_n<y)=G(y)$, (10)

где $G_n(y)=P(f_n<y)$ - функция распределения случайной величины $f_n$ , а $G(y)$ - предельная функция распределения для $G_n(y)$, которая равна:

$G(y)=\{0,y<a_1;p_1,a_1 \leq y<a_2;...;p_1+$$...+p_{k-1},a_{k-1} \leq y < a_k;1,y \geq 1\}$. (11)

Доказательство

На основании определения случайной величины $f_n$ ее функция распределения равна:

$G_n(y)=\{0,y<a_1;\nu_1(n),a_1 \leq y<a_2;...;\nu_1(n)+$$...+\nu_{k-1},a_{k-1} \leq y < a_k;1,y \geq 1\}$. (12)

На основании (12) и Замечания 4 на стр. 123 Боровков "Теория вероятностей" изд. 3 1999 г. функции распределения $G_n(y)$ сходятся к функции распределения $G(y)$, при $n \to \infty$, как имеющие скачки в одних и тех же точках.

Следовательно, $\lim_{n \to \infty} {P(f_n<y)=G(y)$, что соответствует (10) и (11) ч.т.д.

Обозначим случайную величину, имеющую функцию предельного распределения $G(y)$ - $f$. Это обозначение будет использоваться далее.

К арифметическим функциям с асимптотически независимыми слагаемыми, удовлетворяющим условиям Утверждения 2, относятся: функция Лиувилля с предельной функцией распределения - $G(y)=\{0,y<-1;0,5,-1 \leq y <1;1,y \geq 1\}$, функция Мебиуса с предельной функцией распределения - $G(y)=\{0,y<-1;3/\pi^2,-1 \leq y \leq 0;1-3/\pi^2,0 \leq y <1;1, y \geq 1\}$ и другие.

Для сумматорной арифметической функции - количество простых чисел, не превосходящих $n$ - $\pi(n)=\sum\limits_{k=1,k \in p}^n {1}$, слагаемые арифметические функции имеют вырожденную функцию предельного распределения - $G(y)=\{0,y<0;1,y \geq 0\}$.

[vicvolf]

Заменю скобки на фигурные:
Значения вероятностей при фиксированном $n$ равны: $\nu_1(n)=N\{f(i)=a_1\}/n$, ...,$\nu_k(n)=N\{f(i)=a_k\}/n$, где $1 \leq i \leq n$ и $\nu_1(n)+...+\nu_k(n)=1$.

[grizzly]

(Оффтоп)

vicvolf в сообщении #1346217 писал(а):

Заменю скобки на фигурные

Совет на будущее: если нужно сделать правку в последнем сообщении в теме, на которое ещё никто не отвечал, тогда это сообщение можно скопировать, удалить, вставить, внести правку и вновь отправить. Можно сделать в конце сообщения пометку типи: "UPD 17:20 В сообщение была внесена правка." Или даже конкретизировать место и/или суть правки. Думаю, это в любом случае удобнее исправления последующими сообщениями.

[vicvolf]

grizzly Спасибо!

[g______d]

vicvolf в сообщении #1346194 писал(а):

и $P_n=(\nu_1,...,\nu_k)$, где $\nu_l,(1 \leq l\leq k):A_n \to R$.

Что это значит? В равенстве слева $P_n$ (отображение), а справа набор то ли чисел, то ли отображений $(\nu_1,\ldots,\nu_k)$. Напишите, на что нужно заменить эту строку, чтобы текст стал математически корректным.

[vicvolf]

g______d в сообщении #1346590 писал(а):

а справа набор то ли чисел, то ли отображений $(\nu_1,\ldots,\nu_k)$.

Поясню. Вероятностное пространство $(Q_n,A_n,P_n)$ зависит от $n$. Если мы зафиксируем $n=10$, то получим $Q_{10}=\{1,...10\}$, $A_{10} - 2^{10}$ подмножеств $Q_{10}$ и $P_{10}=(\nu_1(10),...,\nu_k(10))$, где $\nu_1(10)=N\{f(i)=a_1\}/10,...,\nu_k(10)=N\{f(i)=a_k\}/10$, а $1 \leq i \leq 10$, т.е. при фиксированном $n=10$ - $P_{10}$ - это набор значений вероятностей. Когда $n$ произвольно, то $P_n= (\nu_1,...,\nu_k)$ - это набор вероятностей (отображений).