Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)

[vicvolf]

grizzly в сообщении #1335244 писал(а):

vicvolf в сообщении #1335242 писал(а):

Так как $\sum\limits_{k=1}^n {f(k)}=o(n)$

Дайте, пожалуйста, доказательство или ссылку на статью.

Г. Диамонд "Распределение простых чисел" стр. 106 http://www.mathnet.ru/links/5f721e554f4 ... rm4716.pdf

[grizzly]

vicvolf в сообщении #1335251 писал(а):

Г. Диамонд "Распределение простых чисел" стр. 106

Да, спасибо. Там есть нужное утверждение и другие глубокие и интересные результаты.

Теперь объясните, пожалуйста, зачем Вам использовать в Теореме 1 какие-то глубокие и неочевидные свойства функций Мёбиуса и Лиувилля. Не проще ли доказать Теорему 1 Следствие для любой ограниченной функции, например? (зачёркнуто при исправлении 17:55)

Упражнение. Доказать, что любая ограниченная функция будет удовлетворять условию, которое Вы называете "асимптотическая независимость".

Я не думаю, что целесообразно обзывать это упражнение громким словом Теорема. Такого типа упражнения есть в любом задачнике (например, в Демидовиче). Обычно, правда, задачи там намного сложнее, но и такие простые тоже бывают, для того, чтобы студенты, начинающие знакомиться с понятиями О-большое и о-малое, набили руку.

Вы сможете доказать это Упражнение?

[ex-math]

grizzly
Ну для ограниченной не получится, нужно чтобы сумма первых $n$ значений была $o(n)$.

-- 29.08.2018, 15:05 --

Хуже другое, я не понимаю смысл понятия "асимптотическая независимость". Статистическое содержание в приведенном определении по-моему отсутствует. Ну пусть вероятностники лучше скажут.

[vicvolf]

ex-math в сообщении #1335264 писал(а):

Хуже другое, я не понимаю смысл понятия "асимптотическая независимость". Статистическое содержание в приведенном определении по-моему отсутствует. Ну пусть вероятностники лучше скажут.

Вы наверно знаете, что для независимых случайных величин справедливо утверждение: среднее от произведения независимых случайных величин равно произведению средних. В данном случае это свойство выполняется при $n$ стремящемся к бесконечности - отсюда термин асимптотическая независимость. Этот термин не мною придуман и существует в теории вероятности.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1335268 писал(а):

среднее от произведения независимых случайных величин равно произведению средних

Непонятно, где тут случайные величины.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1335272 писал(а):

vicvolf в сообщении #1335268 писал(а):

среднее от произведения независимых случайных величин равно произведению средних

Непонятно, где тут случайные величины.

Но понятие среднего для арифметической функции существует. Вот по аналогии и введено понятие.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1335276 писал(а):

Но понятие среднего для арифметической функции существует.

Существует. Можно определить как "для каждого $n$ ввели равномерную вероятностную меру на $1, 2, \ldots, n$, рассмотрели ограничение $f$ на $1, \ldots, n$ как случайную величину, взяли для этой величины среднее, посмотрели на предел этого среднего при $n \to \infty".
Но чтобы говорить о независимости, нужно вводить две величины и их совместное распределение. Чего не прослеживается.

[vicvolf]

Арифметическую функцию действительно можно представить, как последовательность случайных величин $x_n$ на данном вероятностном пространстве: $x_n(k)=f(k)(1 \leq k \leq n)$.
Поэтому можно говорить об асимптотической независимости случайных величин $x_k,x_{k+n}$ и соответственно значений одной арифметической функции при $n$ стремящемся к бесконечности.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1335290 писал(а):

Поэтому можно говорить об асимптотической независимости случайных величин $x_k,x_{k+n}$

Нельзя. Они на разных пространствах определены.

[vicvolf]

Хорошо. Я ввел новое понятие для арифметических функций, а не пользуюсь старым. Я имею право ввести новое понятие?

[mihaild]

Имеете. Правда тогда хорошо бы дать ему название, не похожее на уже имеющиеся, явно выписать его определение (верно ли, что вы формулируете свойство функции "$(1) - (2) = o(\frac{1}{n})$?). Еще желательно сказать, зачем оно нужно.

[grizzly]

vicvolf
Ответьте, пожалуйста, на вопрос, который я задавал:

grizzly в сообщении #1335256 писал(а):

Упражнение. Доказать, что любая ограниченная функция будет удовлетворять условию, которое Вы называете "асимптотическая независимость".

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1335314 писал(а):

Имеете. Правда тогда хорошо бы дать ему название, не похожее на уже имеющиеся, явно выписать его определение (верно ли, что вы формулируете свойство функции "$(1) - (2) = o(\frac{1}{n})$?). Еще желательно сказать, зачем оно нужно.

Пожалуйста. Вы видели где-нибудь понятие асимптотическая независимость слагаемых функций $M(n),L(n)$? Наверно нет. Я дал ему определение. Нужно для оценки сверху стандартного отклонения сумматорных арифметических функций $M(n),L(n)$.

-- 29.08.2018, 17:56 --

grizzly в сообщении #1335323 писал(а):

vicvolf
Ответьте, пожалуйста, на вопрос, который я задавал:

grizzly в сообщении #1335256 писал(а):

Упражнение. Доказать, что любая ограниченная функция будет удовлетворять условию, которое Вы называете "асимптотическая независимость".

Там получается оценка $O(1/n)$, а не $o(1/n)$. По-моему Вам уже ответил ex-math.

[ex-math]

Меня смущает то, что в (1) и (2) в числителе стоит одно и то же. Для независимости нужно наверное вычитать разные выражения, и доказывать что разность мала. А если вычитать одинаковые, то и так ясно что получится. Изначально ведь Вы обещали брать среднее от "сдвинутой" функции, а тут этого нет.

[grizzly]

vicvolf в сообщении #1335326 писал(а):

Там получается оценка $O(1/n)$, а не $o(1/n)$. По-моему Вам уже ответил ex-math.

Я сейчас не про Теорему 1, а про своё Упражнение (у Вас это следствие из Теоремы 1).

Не кажется ли Вам, что это Упражнение / Следствие чересчур уж банально и тривиально? Даже для первокурсника. Ведь оно справедливо для любой ограниченной функции, без всяких там Мёбиусов и Лиувиллей. Неужели Вы с помощью этого Упражнения собираетесь решить проблему тысячелетия?