2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 9  След.
 
 Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)
Сообщение31.07.2018, 14:15 


23/02/12
3105
Вопрос об асимптотической независимости слагаемых функции Мертенса (функций Мебиуса) уже на форуме поднимался, но тогда я не смог привести доказательство.

Сейчас, когда доказательство сделано и материалы опубликованы, появилась такая возможность.

Так как ссылки на статью на форуме не приняты, то приведу только выдержки из нее.


Определение. Арифметические функции $f(k),f(k+n)$ являются асимптотически независимыми, если выполняется:

$\lim_{n \to \infty} {M[f(k)f(k+n)]-M[f(k)]M[{f(k+n)])=0$,(1)

где $M[]$ - среднее значение арифметической функции в квадратных скобках.

Теорема 1

Для арифметических функций Лиувилля и Мебиуса $f(k)$ выполняется оценка:

$M[f(i)f(j)]-M[f(i)]M[f(j)]=o(1/n)$, (2)

где $M{f(i)f(j)]=\sum \sum _{i \not=  j }{f(i)f(j)}/n(n-1),M[f(i)]M[f(j)]=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n {f(i)f(j)}/n^2$.

Доказательство

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n {f(i)f(j)}=(\sum_{k=1}^n{f(k)})^2=\sum \sum _{i \not=  j }{f(i)f(j)}+\sum_{k=1}^n {f(k)}$ (3)

Разделим (3) на $n(n-1)$:

$M[f(i)f(j)]+\sum_{k=1}^n {f(k)}/n(n-1)=(\sum_{k=1}^n {f(k)})^2/n(n-1)$. (4)

Учитывая, что $\sum_{k=1}^n {f(k)}=o(n)$ получим:

$\sum_{k=1}^n {f(k)}/n(n-1)=o(1/n)$. (5)

На основании (4) и (5) получим:
$M[f(i)f(j)]-M[f(i)]M[f(j)]=(\sum_{k=1}^n {f(k})^2/n(n-1)+o(1/n)- (\sum_{k=1}^n{f(k)})^2/n^2$. (6)

На основании (6) получим:
$M[f(i)f(j)]-M[f(i)]M[f(j)]=(\sum_{k=1}^n{f(k)})^2/n^2(n-1)+o(1/n)=o(1/n)$,

которая соответствует формуле (2).

Из формулы (2) следует асимптотическая независимость (1).

Асимптотическая независимость слагаемых функций Мертенса и Лиувилля (Теорема 1) дает возможность найти порядок стандартного отклонения указанных арифметических функций.

Теорема 2

Порядок стандартного отклонения сумматорных арифметических функций Мертенса и Лиувилля равен:
$O(n^{1/2})$. (7)

Доказательство

Рассмотрим отклонение сумматорной арифметической функции $S(n)$ от своего среднего значения:

$F(n)=\sum_{k=1}^n {f(k) -M[\sum_{k=1}^n {f(k)]}=\sum_{k=1}^n (f(k)-M[f(k)])=\sum_{k=1}^n {a(k)}$, (8)

где $a(k)=f(k)-M[f(k)]$.

На основании (8) определим арифметическую функцию $F^2(n)$:

$F^2(n)=(\sum_{k=1}^n {a(k))^2=\sum_{k=1}^n {a^2(k)}+\sum \sum _{i \not=  j }{a(i)a(j)}$. (9)

Учитывая (9) найдем среднее значение арифметической функции $F^2(n)$:

$M[F^2(n)]=M[\sum_{k=1}^n {a^2(k)}]+M[\sum \sum _{i \not=  j }{a(i)a(j)}]$. (10)

Сделаем оценку первого слагаемого (10):

$M[\sum_{k=1}^n {a^2(k)}]=\sum_{k=1}^n {M[a^2(k)}] \leq \sum_{k=1}^n {M[f^2(k)}]$. (11)

Учитывая, что для арифметических функций Мебиусса и Лиувилля выполняется $|f(k)| \leq 1$, то:

$M[f^2(k)}]=\sum_{k=1}^n {f^2(k)/n} \leq 1$. (12)

На основании (11) и (12) получаем оценку первого слагаемого:

$M[\sum_{k=1}^n {a^2(k)}]  \leq \sum_{k=1}^n {M[f^2(k)}] \leq n$, (13)

т.е. $M[\sum_{k=1}^n {a^2(k)}]  = O(n)$.

Сделаем оценку второго слагаемого (10):

$M[\sum \sum _{i \not=  j }{a(i)a(j)}]=\sum \sum _{i \not=  j }M[{a(i)a(j)}] =\sum \sum _{i \not=  j }{(M[f(i)f(j)]-M[f(i)]M[f(j)])}$. (14)

На основании Теоремы 1 и (14) оценка второго слагаемого:

$M[\sum \sum _{i \not=  j }{a(i)a(j)}]=n(n-1)o(1/n)=o(n)$. (15)

На основании (13) и (15) порядок среднего значения арифметической функции $F^2(n)$ равен:

$M[F^2(n)]=O(n)$. (16)

Из (16) получим искомую оценку для порядка стандартного отклонения для сумматорных арифметических функций Мертенса и Лиувилля:
$O(n^{1/2})$, которая соответствует (7).

Покажем, что формулу (7) нельзя улучшить.

Предположим, что выполняется гипотеза Римана, тогда $\sum_{k=1}^n {f(k) =O(n^{1/2+\epsilon})$, где $\epsilon$ - малое положительное число.

Тогда оценка в Теореме 1 изменилась бы на:
$M[f(i)f(j)]-M[f(i)]M[f(j)]=O(n^{-3/2+\epsilon})$.

Однако, в Теореме 2 оценка первого слагаемого $O(n)$ в формуле (13) не изменилась бы, поэтому не изменилась бы и общая оценка порядка стандартного отклонения для функций Мертенса и Лиувилля - $O(n^{1/2})$ в формуле (7).

Я хотел бы поблагодарить заслуженных участников форума: Руст, ex-math и Drog-Andrey, которые согласились предварительно прочитать данные материалы и дать замечания, которые я по возможности учел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)
Сообщение20.08.2018, 20:27 


20/03/14
12041
vicvolf в сообщении #1329752 писал(а):
где $M[]$ - среднее значение арифметической функции в квадратных скобках.

Это основное определение.
С ним не согласуется
Цитата:
$M[f(i)f(j)]=\sum \sum_{i \neq  j }{f(i)f(j)}/n(n-1),M[f(i)]M[f(j)]=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n {f(i)f(j)}/n^2$.
- ни первое, ни второе.
vicvolf в сообщении #1329752 писал(а):
$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n {f(i)f(j)}=(\sum_{k=1}^n{f(k)})^2=\sum \sum _{i \not=  j }{f(i)f(j)}+\sum_{k=1}^n {f(k)}$ (3)

Последнее слагаемое не такое, дальнейшие рассуждения основаны на этой ошибке.

Пока достаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)
Сообщение21.08.2018, 10:54 


23/02/12
3105
Lia в сообщении #1333608 писал(а):
vicvolf в сообщении #1329752 писал(а):
где $M[]$ - среднее значение арифметической функции в квадратных скобках.

Это основное определение.
С ним не согласуется
Цитата:
$M[f(i)f(j)]=\sum \sum_{i \neq  j }{f(i)f(j)}/n(n-1),M[f(i)]M[f(j)]=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n {f(i)f(j)}/n^2$.
- ни первое, ни второе.

Первая сумма произведений двух арифметических функций берется по $i \neq  j $ слагаемым, поэтому делится на их количество $n(n-1)$. Вторая сумма произведений двух арифметических функций берется по всем слагаемым, поэтому делится на их количество $n^2$. Оценка сверху разности именно этих сумм мне требуется в Теореме 2
vicvolf в сообщении #1329752 писал(а):
$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n {f(i)f(j)}=(\sum_{k=1}^n{f(k)})^2=\sum \sum _{i \not=  j }{f(i)f(j)}+\sum_{k=1}^n {f(k)}$ (3)

Цитата:
Последнее слагаемое не такое, дальнейшие рассуждения основаны на этой ошибке.

Да, здесь я допустил неточность (забыл квадрат). В статье все было правильно, а здесь описался. Надо писать:

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n {f(i)f(j)}=(\sum_{k=1}^n{f(k)})^2=\sum \sum _{i \not=  j }{f(i)f(j)}+\sum_{k=1}^n {f^2(k)}$ (3)

Поэтому оценка в Теореме 1 изменится на $O(1/n)$, но окончательная оценка в Теореме 2 не изменится. Сейчас я сделаю исправление в теме.

-- 21.08.2018, 11:08 --

Вопрос об асимптотической независимости слагаемых функции Мертенса (функций Мебиуса) уже на форуме поднимался, но тогда я не смог привести доказательство.

Сейчас, когда доказательство сделано и материалы опубликованы, появилась такая возможность.

Так как ссылки на статью на форуме не приняты, то приведу только выдержки из нее.


Определение. Арифметические функции $f(k),f(k+n)$ являются асимптотически независимыми, если выполняется:

$\lim_{n \to \infty} {M[f(k)f(k+n)]-M[f(k)]M[{f(k+n)])=0$,(1)

где $M[]$ - среднее значение арифметической функции в квадратных скобках.

Теорема 1

Для арифметических функций Лиувилля и Мебиуса $f(k)$ выполняется оценка:

$M[f(i)f(j)]-M[f(i)]M[f(j)]=O(1/n)$, (2)

где $M{f(i)f(j)]=\sum \sum _{i \not=  j }{f(i)f(j)}/n(n-1),M[f(i)]M[f(j)]=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n {f(i)f(j)}/n^2$.

Доказательство

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n {f(i)f(j)}=(\sum_{k=1}^n{f(k)})^2=\sum \sum _{i \not=  j }{f(i)f(j)}+\sum_{k=1}^n {f^2(k)}$ (3)

Разделим (3) на $n(n-1)$:

$M[f(i)f(j)]+\sum_{k=1}^n {f(k)}/n(n-1)=(\sum_{k=1}^n {f(k)})^2/n(n-1)$. (4)

Учитывая, что $|f(k)|<1$ получим $\sum_{k=1}^n {f^2(k)}=O(n)$,следовательно:

$\sum_{k=1}^n {f^2(k)}/n(n-1)=O(1/n)$. (5)

На основании (4) и (5) получим:

$M[f(i)f(j)]-M[f(i)]M[f(j)]=(\sum_{k=1}^n {f(k})^2/n(n-1)+O(1/n)- (\sum_{k=1}^n{f(k)})^2/n^2$. (6)

На основании (6) получим:

$M[f(i)f(j)]-M[f(i)]M[f(j)]=(\sum_{k=1}^n{f(k)})^2/n^2(n-1)+O(1/n)=O(1/n)$,

которая соответствует формуле (2).

Из формулы (2) следует асимптотическая независимость (1).

Асимптотическая независимость слагаемых функций Мертенса и Лиувилля (Теорема 1) дает возможность найти порядок стандартного отклонения указанных арифметических функций.

Теорема 2

Порядок стандартного отклонения сумматорных арифметических функций Мертенса и Лиувилля равен:

$O(n^{1/2})$. (7)

Доказательство

Рассмотрим отклонение сумматорной арифметической функции $S(n)$ от своего среднего значения:

$F(n)=\sum_{k=1}^n {f(k) -M[\sum_{k=1}^n {f(k)]}=\sum_{k=1}^n (f(k)-M[f(k)])=\sum_{k=1}^n {a(k)}$, (8)

где $a(k)=f(k)-M[f(k)]$.

На основании (8) определим арифметическую функцию $F^2(n)$:

$F^2(n)=(\sum_{k=1}^n {a(k))^2=\sum_{k=1}^n {a^2(k)}+\sum \sum _{i \not=  j }{a(i)a(j)}$. (9)

Учитывая (9) найдем среднее значение арифметической функции $F^2(n)$:

$M[F^2(n)]=M[\sum_{k=1}^n {a^2(k)}]+M[\sum \sum _{i \not=  j }{a(i)a(j)}]$. (10)

Сделаем оценку первого слагаемого (10):

$M[\sum_{k=1}^n {a^2(k)}]=\sum_{k=1}^n {M[a^2(k)}] \leq \sum_{k=1}^n {M[f^2(k)}]$. (11)

Учитывая, что для арифметических функций Мебиусса и Лиувилля выполняется $|f(k)| \leq 1$, то:

$M[f^2(k)}]=\sum_{k=1}^n {f^2(k)/n} \leq 1$. (12)

На основании (11) и (12) получаем оценку первого слагаемого:

$M[\sum_{k=1}^n {a^2(k)}]  \leq \sum_{k=1}^n {M[f^2(k)}] \leq n$, (13)

т.е. $M[\sum_{k=1}^n {a^2(k)}]  = O(n)$.

Сделаем оценку второго слагаемого (10):

$M[\sum \sum _{i \not=  j }{a(i)a(j)}]=\sum \sum _{i \not=  j }M[{a(i)a(j)}] =\sum \sum _{i \not=  j }{(M[f(i)f(j)]-M[f(i)]M[f(j)])}$. (14)

На основании Теоремы 1 и (14) оценка второго слагаемого:

$M[\sum \sum _{i \not=  j }{a(i)a(j)}]=n(n-1)O(1/n)=O(n)$. (15)

На основании (13) и (15) порядок среднего значения арифметической функции $F^2(n)$ равен:

$M[F^2(n)]=O(n)$. (16)

Из (16) получим искомую оценку для порядка стандартного отклонения для сумматорных арифметических функций Мертенса и Лиувилля:
$O(n^{1/2})$, которая соответствует (7).

Покажем, что формулу (7) нельзя улучшить.

Предположим, что выполняется гипотеза Римана, тогда $\sum_{k=1}^n {f(k) =O(n^{1/2+\epsilon})$, где $\epsilon$ - малое положительное число.

Тогда оценка в Теореме 1 изменилась бы на:
$M[f(i)f(j)]-M[f(i)]M[f(j)]=O(n^{-3/2+\epsilon})$.

Однако, в Теореме 2 оценка $O(n)$ в формуле (13) не изменилась бы, поэтому не изменилась бы и общая оценка порядка стандартного отклонения для функций Мертенса и Лиувилля - $O(n^{1/2})$ в формуле (7).

Я хотел бы поблагодарить заслуженных участников форума: Руст, ex-math и Drog-Andrey, которые согласились предварительно прочитать данные материалы и дать замечания, которые я по возможности учел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)
Сообщение21.08.2018, 12:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Я пытаюсь это читать, но с самого начала ничего не могу понять. Буду уточнять по порядку.
vicvolf в сообщении #1333656 писал(а):
Арифметические функции $f(k),f(k+n)$
Правильно ли я понимаю, что это два семейства арифметических функций? Или это две функции? Или это вообще одна функция, а буквой $k$ обозначен аргумент функции, тогда $f(k+n)$ это та же самая функция, но со сдвигом аргумента? Если $k$ это аргумент функции, тогда в следующем определении
vicvolf в сообщении #1333656 писал(а):
где $M{f(i)f(j)]=\sum \sum _{i \not=  j }{f(i)f(j)}/n(n-1),M[f(i)]M[f(j)]=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n {f(i)f(j)}/n^2$.
выражения в левых частях равенств это функции от двух переменных $i$ и $j$, а справа -- функции одной переменной $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)
Сообщение21.08.2018, 12:43 


23/02/12
3105
grizzly в сообщении #1333666 писал(а):
Я пытаюсь это читать, но с самого начала ничего не могу понять. Буду уточнять по порядку.
vicvolf в сообщении #1333656 писал(а):
Арифметические функции $f(k),f(k+n)$
Правильно ли я понимаю, что это два семейства арифметических функций? Или это две функции? Или это вообще одна функция, а буквой $k$ обозначен аргумент функции, тогда $f(k+n)$ это та же самая функция, но со сдвигом аргумента? Если $k$ это аргумент функции, тогда в следующем определении
vicvolf в сообщении #1333656 писал(а):
где $M{f(i)f(j)]=\sum \sum _{i \not=  j }{f(i)f(j)}/n(n-1),M[f(i)]M[f(j)]=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n {f(i)f(j)}/n^2$.
выражения в левых частях равенств это функции от двух переменных $i$ и $j$, а справа -- функции одной переменной $n$.

$f(k)$- это арифметическая функция одного аргумента $k$. В данном случае это либо арифметическая функция Мебиуса - $\mu(k)$, либо арифметическая функция Лиувилля $\lambda(k)$, т.е. соответственно слагаемых сумматорных функции Мертенса $M(n)$ или Лиувилля $L(n)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)
Сообщение21.08.2018, 12:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
А $f(k+n)$ -- это та же самая функция? То есть, если $f(k)$ -- функция Мёбиуса, то $f(k+n)$ -- тоже обязательно функция Мёбиуса или может быть и функцией Лиувилля?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)
Сообщение21.08.2018, 13:28 


23/02/12
3105
grizzly в сообщении #1333675 писал(а):
А $f(k+n)$ -- это та же самая функция? То есть, если $f(k)$ -- функция Мёбиуса, то $f(k+n)$ -- тоже обязательно функция Мёбиуса или может быть и функцией Лиувилля?

Та же самая функция при другом значении аргумента.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)
Сообщение21.08.2018, 13:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Понятно, я так и думал. Только это не одна функция а семейство -- я намекал об этом в прошлом сообщении. Итого имеем.
vicvolf в сообщении #1329752 писал(а):
Определение. Арифметические функции $f(k),f(k+n)$ являются асимптотически независимыми, если выполняется:
Значит, здесь рассматривается одна функция $f(k)$ и одно семейство функций $f(k+n), n\ge 1$. И далее говорится, что данная функция является асимптотически независимой с этим семейством, если выполнено некое предельное отношение при $n\to \infty$.

Ок, с этим более-менее понятно, хотя звучит несколько коряво. Но всё же лучше, чем было.

Остался без ответа следующий вопрос в моём предыдущем сообщении:
grizzly в сообщении #1333666 писал(а):
Если $k$ это аргумент функции, тогда в следующем определении
vicvolf в сообщении #1333656 писал(а):
где $M{f(i)f(j)]=\sum \sum _{i \not=  j }{f(i)f(j)}/n(n-1),M[f(i)]M[f(j)]=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n {f(i)f(j)}/n^2$.
выражения в левых частях равенств это функции от двух переменных $i$ и $j$, а справа -- функции одной переменной $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)
Сообщение21.08.2018, 14:02 


23/02/12
3105
grizzly в сообщении #1333685 писал(а):
Остался без ответа следующий вопрос в моём предыдущем сообщении:
grizzly в сообщении #1333666 писал(а):
Если $k$ это аргумент функции, тогда в следующем определении
vicvolf в сообщении #1333656 писал(а):
где $M{f(i)f(j)]=\sum \sum _{i \not=  j }{f(i)f(j)}/n(n-1),M[f(i)]M[f(j)]=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n {f(i)f(j)}/n^2$.
выражения в левых частях равенств это функции от двух переменных $i$ и $j$, а справа -- функции одной переменной $n$.

$f(i)f(j)$ - это произведений разных значений одной функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)
Сообщение21.08.2018, 14:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
vicvolf в сообщении #1333690 писал(а):
$f(i)f(j)$ - это произведений разных значений одной функции.
Это я понимаю. Я про другое. Запись $M[f(i)f(j)]$ обозначает некоторую функцию $M$ от двух переменных $i$ и $j$. Откройте любой учебник и убедитесь в этом, пожалуйста. Постарайтесь корректно записать определение среднего, чтобы его можно было понять формально, а не только на жестах.

Кстати, насчёт определения асимптотической независимости. Там же семейство функций $f(k+n)$ полностью определяется функцией $f(k)$. Поэтому нет смысла включать его в область данных этого определения. Тогда нужно давать просто определение асимптотической независимости одной функции (или, для ясности, сказать, что она независима сама от себя).
Правильно ли я понимаю по Вашему определению, что функция $f(x)\equiv 1$ является простым и наглядным примером асимптотически независимой функции? Я всё пытаюсь понять пользу этого определения, до того, как начинать разбираться с дальнейшим жонглированием.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)
Сообщение21.08.2018, 15:33 


20/03/14
12041
vicvolf в сообщении #1333656 писал(а):
$M{f(i)f(j)]=\sum \sum _{i \not=  j }{f(i)f(j)}/n(n-1),M[f(i)]M[f(j)]=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n {f(i)f(j)}/n^2$.

Во-первых, на каком основании Вы выбрасываете слагаемые из первой суммы.
Во-вторых, - произведение сумм и сумма произведений это очень разные вещи.

И grizzly прав, конечно же.
Напишите для определенности сперва, что такое $M[f(i)]$ - Вы говорите, среднее. Среднее из скольких слагаемых?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)
Сообщение21.08.2018, 15:49 


23/02/12
3105
Среднее значение обычно принято обозначать чертой сверху. Так это и надо понимать. Черту сверху писать не хотелось - это бы некрасиво. Поскольку среднее значение это эквивалент математического ожидания в теории вероятности, то я обозначил среднее значение $M[]$ от арифметической функции в квадратных скобках. Просто среднее значение более привычный термин в теории арифметических функций.
Если вспомнить свойство математических ожиданий, что математическое ожидание произведения двух независимых величин равно произведению их математических ожиданий, а в данном случае говорится об асимптотической независимости величин, то станет понятен смысл формулы (1).

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)
Сообщение21.08.2018, 15:56 


20/03/14
12041
Пожалуйста, не надо сюда про случайные величины - их тут нет. Ответьте на остальные вопросы, будьте так добры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)
Сообщение21.08.2018, 16:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Напишите определение среднего в виде формулы: $M[f(k)]=\ldots$

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)
Сообщение21.08.2018, 16:32 


23/02/12
3105
Lia в сообщении #1333704 писал(а):
Во-первых, на каком основании Вы выбрасываете слагаемые из первой суммы.

В Теореме 2 мне именно нужно такое выражение. В обозначении $M[{f(i)f(j)]$ надо было еще написать, что $i \not=  j$.
Цитата:
Во-вторых, - произведение сумм и сумма произведений это очень разные вещи.

Если перемножить, то будут одинаковые.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 124 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 9  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group