2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9  След.
 
 Re: Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)
Сообщение03.09.2018, 12:45 


23/02/12
3112
grizzly Я же пишу, что хочу доказать это. Я пока не доказал. Наверно потребуются некоторые дополнительные условия, например, ограниченность слагаемых функций или что-то другое. Я думаю над этим вопросом, поэтому контрпример пока приводить не к чему. Это очень серьезный вопрос, который потребует значительного времени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)
Сообщение03.09.2018, 12:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
vicvolf в сообщении #1336329 писал(а):
Я же пишу, что хочу доказать это.
Вы просто сформулируйте чётко, что Вы хотите доказать. Со всеми дополнительными условиями. (Я Вас ни в коем случае не тороплю с этой формулировкой -- математика не терпит суеты.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)
Сообщение03.09.2018, 12:56 


23/02/12
3112
grizzly в сообщении #1336331 писал(а):
vicvolf в сообщении #1336329 писал(а):
Я же пишу, что хочу доказать это.
Вы просто сформулируйте чётко, что Вы хотите доказать. Со всеми дополнительными условиями. (Я Вас ни в коем случае не тороплю с этой формулировкой -- математика не терпит суеты.)

Для того, чтобы четко это сформулировать со всеми дополнительными условиями, то это надо доказать. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)
Сообщение05.09.2018, 15:56 


23/02/12
3112
grizzly в сообщении #1335709 писал(а):
Очевидно, что vicvolf не планирует выполнять учебные упражнения. Что ж, раз я обещал дать доказательство, я сделаю это.
Упражнение 2. Существует класс функций, у которых $S[f,n]$ растёт быстрее, чем $O(n)$, но для которых всё ещё выполнено так называемое Условие АН.
Доказательство. Пусть функция $f$ такая, что $S[|f|,n]=o(n\sqrt{n})$.
Рассмотрим в использованных ранее обозначениях $|(1)-(2)|$:
$$
|(1)-(2)|=\frac{\left|\Big(\sum\limits_{k=1}^n {f(k)}\Big)^2-\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}\right|}{n^2(n-1)}\le \frac{1}{(n-1)^3}\Big(\Big(\sum\limits_{k=1}^n |f(k)|\Big)^2+\Big(\sum\limits_{k=1}^n |f(k)|\Big)^2\Big)=\frac{2(S[|f|,n])^2}{(n-1)^3}=o(1).
$$Следовательно, для любой функции $f$, такой что $S[|f|,n]=o(n\sqrt{n})$ выполняется условие АН. Очевидно, что среди таких функций найдётся множество функций (не обязательно знакопостоянных), у которых $S[f,n]$ растёт быстрее, чем $O(n)$.

(Оффтоп)

Ну выполнил я ещё раз вместо ТС упражнение по матанализу для первого курса, а зачем? Как будто бы я в этом нуждаюсь. В этом разделе ТС должен отвечать на вопросы остальных, а не наоборот. А ТС только и делает, что голословно разбрасывается лживыми утверждениями, будто может что-то доказать -- и даже не извиняется, когда его ловят на горячем.

То, что эта тема до сих пор не попала в Пургаторий, вопиющая несправедливость по отношению ко всем честным фрикам, которые были забанены на нашем форуме за агрессивное невежество.

Значит пишите, что упражнение для 1-ого курса. Тем более стыдно - у Вас здесь ошибка. Поэтому у Вас нет морального права давать задания, которые сами решить не можете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)
Сообщение05.09.2018, 16:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
vicvolf в сообщении #1336803 писал(а):
Значит пишите, что упражнение для 1-ого курса. Тем более стыдно - у Вас здесь ошибка. Вот в этом переходе:
$\frac{1}{(n-1)^3}\Big(\Big(\sum\limits_{k=1}^n |f(k)|\Big)^2+\Big(\sum\limits_{k=1}^n |f(k)|\Big)^2\Big)=\frac{2(S[|f|,n])^2}{(n-1)^3}$
Поэтому у Вас нет морального права давать задания, которые сами решить не можете.


В упор не вижу ошибки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)
Сообщение05.09.2018, 16:08 


23/02/12
3112
Вот здесь:
$\frac{\left|\Big(\sum\limits_{k=1}^n {f(k)}\Big)^2-\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}\right|}{n^2(n-1)}\le \frac{1}{(n-1)^3}\Big(\Big(\sum\limits_{k=1}^n |f(k)|\Big)^2+\Big(\sum\limits_{k=1}^n |f(k)|\Big)^2\Big)$
Требуется предположение знакопостоянства функции $f(k)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)
Сообщение05.09.2018, 16:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
vicvolf в сообщении #1336806 писал(а):
Вот здесь:
$\frac{\left|\Big(\sum\limits_{k=1}^n {f(k)}\Big)^2-\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}\right|}{n^2(n-1)}\le \frac{1}{(n-1)^3}\Big(\Big(\sum\limits_{k=1}^n |f(k)|\Big)^2+\Big(\sum\limits_{k=1}^n |f(k)|\Big)^2\Big)$
Требуется предположение знакопостоянства функции $f(k)$.


Не требуется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)
Сообщение05.09.2018, 16:16 


23/02/12
3112
Пожалуйста, поясните?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)
Сообщение05.09.2018, 16:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
А что тут пояснять? Кроме неравенства треугольника, ничего не используется. Цитированная формула даже для комплексных $f$ верна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)
Сообщение05.09.2018, 16:27 


23/02/12
3112
Но тогда:
$\frac{\left|\Big(\sum\limits_{k=1}^n {f(k)}\Big)^2-\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}\right|}{n^2(n-1)}\le \frac{1}{(n-1)^3}\Big(\Big(\sum\limits_{k=1}^n |f(k)|\Big)^2+\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}\right|}})$

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)
Сообщение05.09.2018, 16:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
vicvolf в сообщении #1336813 писал(а):
Но тогда:
$\frac{\left|\Big(\sum\limits_{k=1}^n {f(k)}\Big)^2-\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}\right|}{n^2(n-1)}\le \frac{1}{(n-1)^3}\Big(\Big(\sum\limits_{k=1}^n |f(k)|\Big)^2+\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}\right|}})$


Это тоже верно. И что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)
Сообщение05.09.2018, 16:36 


23/02/12
3112
$\Big(\Big(\sum\limits_{k=1}^n |f(k)|\Big)^2 \geq \sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}\right|}})$ только при условии знакопостоянства $f(k)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)
Сообщение05.09.2018, 16:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
vicvolf в сообщении #1336819 писал(а):
$\Big(\Big(\sum\limits_{k=1}^n |f(k)|\Big)^2 \geq \sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}\right|}})$ только при условии знакопостоянства $f(k)$.


Нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)
Сообщение05.09.2018, 16:52 


23/02/12
3112
$\Big(\Big(\sum\limits_{k=1}^n |f(k)|\Big)^2 =\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}\right|}}+\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1 (i \not=j)}^n {f(i)f(j)}$
Если $f(i)$ и $f(j)$ разных знаков, то $\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}\right|}} > \Big(\Big(\sum\limits_{k=1}^n |f(k)|\Big)^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)
Сообщение05.09.2018, 17:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
vicvolf в сообщении #1336822 писал(а):
$\Big(\Big(\sum\limits_{k=1}^n |f(k)|\Big)^2 =\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}\right|}}+\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1 (i \not=j)}^n {f(i)f(j)}$
Нет. Подставьте $n = 2$, $f(1) = 1$, $f(2) = -1$. Слева $4$, справа $2$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 124 ]  На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group