Что за число?

[alcoholist]

Столкнулся вот с таким рядом

$$ f(x)=\sum_{n\ge 0}\frac{(-1)^nx^{2n}}{4^n(2n+1)n!^2}. $$

Собственно, меня интересует число $f(1)=\underset{z=0}{\mathop{\operatorname{res}}}\sin\frac{1}{\sin z}\approx 0.91973$.

Единственное, что удалось нарыть, это уравнение $xf'(x)+f(x)=J_0(x)$ но оно тут, видимо, не при чем.

[Dmitriy40]

Вольфрам утверждает, что сумма выражается через гипергеометрическую функцию: $f(1)={}_1F_2(0{,}5;\;1,\,1{,}5;\;-0{,}25)\approx 0{,}91973041008976023931442119408061997$. Не знаю чем это поможет.

[alcoholist]

да ничем... просто странный для учебной задачи ответ)
я думал, может онно чему-то красивому равно, что можно не через ряд Лорана получить, ну или хитро этот ряд свернуть

[svv]

А такой ответ тоже странный?
$f(1)=\int\limits_0^1 J_0(x)\,dx$

[alcoholist]

svv в сообщении #1333790 писал(а):

А такой ответ тоже странный?
$f(1)=\int\limits_0^1 J_0(x)\,dx$

Вот да. Откуда это:

$$\underset{z=0}{\mathop{\operatorname{res}}}\sin\frac{1}{\sin z}=\int\limits_0^1 J_0(x)\,dx?$$

-- Ср авг 22, 2018 05:04:19 --

Хотя, если долго медитировать над интегральным представлением

$$J_{0 }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}\!e^{{-ix\sin \tau }}\,d\tau ,$$

то, вероятно, и можно достичь просветления.

-- Ср авг 22, 2018 05:11:23 --

svv
кстати, я сначала ДУ неправильно написал, сейчас переписал правильно и решение ЗК $f(0)=1$ имеет вид

$$ f(x)=\frac{1}{x}\int\limits_0^x J_0(t)\,dt. $$

[g______d]

Можно выразить через функции Бесселя и Струве

https://dlmf.nist.gov/10.22

формула 10.22.2 при $\nu=0$, но принципиальной разницы с другими ответами, по-видимому, нет.

[alcoholist]

вопрос как раз как напрямую получить формулу

alcoholist в сообщении #1333791 писал(а):

$$\underset{z=0}{\mathop{\operatorname{res}}}\sin\frac{1}{\sin z}=\int\limits_0^1 J_0(x)\,dx?$$

[g______d]

alcoholist в сообщении #1333793 писал(а):

вопрос как раз как напрямую получить формулу

alcoholist в сообщении #1333791 писал(а):

отя, если долго медитировать над интегральным представлением

$$J_{0 }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}\!e^{{-ix\sin \tau }}\,d\tau ,$$

то, вероятно, и можно достичь просветления.

А разложить экспоненту в ряд и проинтегрировать почленно? По $x$ интеграл простой, по $\tau$ будут двойные факториалы, но он табличный. Навскидку должен как раз нужный ряд и получиться, но я не проверял до конца.

[novichok2018]

Если использовать известный ответ, то интегральное представление через экспоненту, двойные интегралы и ряды, мне кажется, не нужны. Берём определение функции Бесселя через ряд, интегрируем, получаем ответ.
Но это ничего не даёт для связи с вычетом.

[alcoholist]

g______d в сообщении #1333796 писал(а):

А разложить экспоненту в ряд и проинтегрировать почленно?

Этим интегральным представлением пользовался сам Бессель.
Но при чем тут вычет данной функции?

-- Ср авг 22, 2018 08:12:38 --

novichok2018
вычет функции $\sin\frac{1}{\sin z}$ тут при чем? Это ведь вопрос.

[novichok2018]

А полностью ряд Лорана тут совсем нереально выписать?

[alcoholist]

novichok2018 в сообщении #1333806 писал(а):

А полностью ряд Лорана тут совсем нереально выписать?

можно... обращаете синус, берете от этого синус
А смысл?

[g______d]

alcoholist в сообщении #1333805 писал(а):

Этим интегральным представлением пользовался сам Бессель.
Но при чем тут вычет данной функции?

Ну Вы же как-то это равенство получили...

alcoholist в сообщении #1333736 писал(а):

$f(1)=\underset{z=0}{\mathop{\operatorname{res}}}\sin\frac{1}{\sin z}\approx 0.91973$.

Или это тоже часть вопроса?

[alcoholist]

g______d в сообщении #1333810 писал(а):

Ну Вы же как-то это равенство получили...

я полуэмпирическим путем, с помощью разложения в ряд Лорана и догадок (спасибо OEIS) о форме его членов получил равенство

alcoholist в сообщении #1333791 писал(а):

$$\underset{z=0}{\mathop{\operatorname{res}}}\sin\frac{1}{\sin z}=\int\limits_0^1 J_0(x)\,dx?$$

Теперь мне интересно, можно ли это равенство получить непосредственно, не выписывая явный вид рядов

[g______d]

А, понятно. Я примерно понимаю, как через ряды, но не уверен, что хочу проверять вычисления. В левой части нужно разложить внешний синус в ряд, тогда задача сводится к интегрированию $\frac{1}{\sin^k z}$ по единичному кругу, потом суммированию. Обращать ряд для синуса я не умею, но понятно, что при чётных $k$ получится ноль, а при нечётных можно воспользоваться формулой для первообразной отсюда:

http://functions.wolfram.com/Elementary ... 1/01/0010/

и сосчитать приращение первого слагаемого (с логарифмами) при обходе круга (уже видно, откуда $4^n (n!)^2$ в знаменателе). Ну а потом всё это просуммировать по нечётным $k=2n+1$ с коэффициентами из ряда для внешнего синуса, тогда $(2n)!$ из биномиального коэффициента сократится с $(2n+1)!$ из коэффициентов ряда Тейлора синуса, останется как раз $(2n+1)$, так что скорее всего всё сойдётся.

Но я понимаю, что это не ответ на Ваш вопрос. С другой стороны, можно попробовать вместо $x$ подставить $cx$ (и в вычете, и в аргументе $J_0$) и получить равенство функций, а не чисел, но опять же надо проверить вычисления.