2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Что за число?
Сообщение21.08.2018, 21:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Столкнулся вот с таким рядом
$$
f(x)=\sum_{n\ge 0}\frac{(-1)^nx^{2n}}{4^n(2n+1)n!^2}.
$$
Собственно, меня интересует число $f(1)=\underset{z=0}{\mathop{\operatorname{res}}}\sin\frac{1}{\sin z}\approx 0.91973$.

Единственное, что удалось нарыть, это уравнение $xf'(x)+f(x)=J_0(x)$ но оно тут, видимо, не при чем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что за число?
Сообщение21.08.2018, 22:29 
Заслуженный участник


20/08/14
11172
Россия, Москва
Вольфрам утверждает, что сумма выражается через гипергеометрическую функцию: $f(1)={}_1F_2(0{,}5;\;1,\,1{,}5;\;-0{,}25)\approx 0{,}91973041008976023931442119408061997$. Не знаю чем это поможет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что за число?
Сообщение21.08.2018, 22:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
да ничем... просто странный для учебной задачи ответ)
я думал, может онно чему-то красивому равно, что можно не через ряд Лорана получить, ну или хитро этот ряд свернуть

 Профиль  
                  
 
 Re: Что за число?
Сообщение22.08.2018, 03:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10668
Crna Gora
А такой ответ тоже странный?
$f(1)=\int\limits_0^1 J_0(x)\,dx$

 Профиль  
                  
 
 Re: Что за число?
Сообщение22.08.2018, 04:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
svv в сообщении #1333790 писал(а):
А такой ответ тоже странный?
$f(1)=\int\limits_0^1 J_0(x)\,dx$

Вот да. Откуда это:
$$\underset{z=0}{\mathop{\operatorname{res}}}\sin\frac{1}{\sin z}=\int\limits_0^1 J_0(x)\,dx?$$

-- Ср авг 22, 2018 05:04:19 --

Хотя, если долго медитировать над интегральным представлением
$$J_{0 }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}\!e^{{-ix\sin \tau }}\,d\tau ,$$
то, вероятно, и можно достичь просветления.

-- Ср авг 22, 2018 05:11:23 --

svv
кстати, я сначала ДУ неправильно написал, сейчас переписал правильно и решение ЗК $f(0)=1$ имеет вид
$$
f(x)=\frac{1}{x}\int\limits_0^x J_0(t)\,dt.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Что за число?
Сообщение22.08.2018, 05:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Можно выразить через функции Бесселя и Струве

https://dlmf.nist.gov/10.22

формула 10.22.2 при $\nu=0$, но принципиальной разницы с другими ответами, по-видимому, нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что за число?
Сообщение22.08.2018, 06:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
вопрос как раз как напрямую получить формулу
alcoholist в сообщении #1333791 писал(а):
$$\underset{z=0}{\mathop{\operatorname{res}}}\sin\frac{1}{\sin z}=\int\limits_0^1 J_0(x)\,dx?$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Что за число?
Сообщение22.08.2018, 06:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
alcoholist в сообщении #1333793 писал(а):
вопрос как раз как напрямую получить формулу


alcoholist в сообщении #1333791 писал(а):
отя, если долго медитировать над интегральным представлением
$$J_{0 }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}\!e^{{-ix\sin \tau }}\,d\tau ,$$
то, вероятно, и можно достичь просветления.


А разложить экспоненту в ряд и проинтегрировать почленно? По $x$ интеграл простой, по $\tau$ будут двойные факториалы, но он табличный. Навскидку должен как раз нужный ряд и получиться, но я не проверял до конца.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что за число?
Сообщение22.08.2018, 08:09 
Заблокирован


16/04/18

1129
Если использовать известный ответ, то интегральное представление через экспоненту, двойные интегралы и ряды, мне кажется, не нужны. Берём определение функции Бесселя через ряд, интегрируем, получаем ответ.
Но это ничего не даёт для связи с вычетом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что за число?
Сообщение22.08.2018, 08:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
g______d в сообщении #1333796 писал(а):
А разложить экспоненту в ряд и проинтегрировать почленно?

Этим интегральным представлением пользовался сам Бессель.
Но при чем тут вычет данной функции?

-- Ср авг 22, 2018 08:12:38 --

novichok2018
вычет функции $\sin\frac{1}{\sin z}$ тут при чем? Это ведь вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что за число?
Сообщение22.08.2018, 08:21 
Заблокирован


16/04/18

1129
А полностью ряд Лорана тут совсем нереально выписать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что за число?
Сообщение22.08.2018, 08:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
novichok2018 в сообщении #1333806 писал(а):
А полностью ряд Лорана тут совсем нереально выписать?

можно... обращаете синус, берете от этого синус
А смысл?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что за число?
Сообщение22.08.2018, 08:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
alcoholist в сообщении #1333805 писал(а):
Этим интегральным представлением пользовался сам Бессель.
Но при чем тут вычет данной функции?


Ну Вы же как-то это равенство получили...

alcoholist в сообщении #1333736 писал(а):
$f(1)=\underset{z=0}{\mathop{\operatorname{res}}}\sin\frac{1}{\sin z}\approx 0.91973$.


Или это тоже часть вопроса?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что за число?
Сообщение22.08.2018, 08:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
g______d в сообщении #1333810 писал(а):
Ну Вы же как-то это равенство получили...

я полуэмпирическим путем, с помощью разложения в ряд Лорана и догадок (спасибо OEIS) о форме его членов получил равенство
alcoholist в сообщении #1333791 писал(а):
$$\underset{z=0}{\mathop{\operatorname{res}}}\sin\frac{1}{\sin z}=\int\limits_0^1 J_0(x)\,dx?$$

Теперь мне интересно, можно ли это равенство получить непосредственно, не выписывая явный вид рядов

 Профиль  
                  
 
 Re: Что за число?
Сообщение22.08.2018, 09:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
А, понятно. Я примерно понимаю, как через ряды, но не уверен, что хочу проверять вычисления. В левой части нужно разложить внешний синус в ряд, тогда задача сводится к интегрированию $\frac{1}{\sin^k z}$ по единичному кругу, потом суммированию. Обращать ряд для синуса я не умею, но понятно, что при чётных $k$ получится ноль, а при нечётных можно воспользоваться формулой для первообразной отсюда:

http://functions.wolfram.com/Elementary ... 1/01/0010/

и сосчитать приращение первого слагаемого (с логарифмами) при обходе круга (уже видно, откуда $4^n (n!)^2$ в знаменателе). Ну а потом всё это просуммировать по нечётным $k=2n+1$ с коэффициентами из ряда для внешнего синуса, тогда $(2n)!$ из биномиального коэффициента сократится с $(2n+1)!$ из коэффициентов ряда Тейлора синуса, останется как раз $(2n+1)$, так что скорее всего всё сойдётся.

Но я понимаю, что это не ответ на Ваш вопрос. С другой стороны, можно попробовать вместо $x$ подставить $cx$ (и в вычете, и в аргументе $J_0$) и получить равенство функций, а не чисел, но опять же надо проверить вычисления.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group