А, понятно. Я примерно понимаю, как через ряды, но не уверен, что хочу проверять вычисления. В левой части нужно разложить внешний синус в ряд, тогда задача сводится к интегрированию
![$\frac{1}{\sin^k z}$ $\frac{1}{\sin^k z}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/4/07494959df9afa90360793e5ed08efba82.png)
по единичному кругу, потом суммированию. Обращать ряд для синуса я не умею, но понятно, что при чётных
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
получится ноль, а при нечётных можно воспользоваться формулой для первообразной отсюда:
http://functions.wolfram.com/Elementary ... 1/01/0010/и сосчитать приращение первого слагаемого (с логарифмами) при обходе круга (уже видно, откуда
![$4^n (n!)^2$ $4^n (n!)^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/0/8a00d646d5f3030d66e8842cfd6211b282.png)
в знаменателе). Ну а потом всё это просуммировать по нечётным
![$k=2n+1$ $k=2n+1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/4/fa4a1926723fa94619eb98609623cedf82.png)
с коэффициентами из ряда для внешнего синуса, тогда
![$(2n)!$ $(2n)!$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/3/d03a86c72104aed2a0622540990b34cb82.png)
из биномиального коэффициента сократится с
![$(2n+1)!$ $(2n+1)!$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/d/d5df87e6414e9d685137e0a56e2e30ae82.png)
из коэффициентов ряда Тейлора синуса, останется как раз
![$(2n+1)$ $(2n+1)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/7/2774d25d3947b378ffbddbd0c8123b9a82.png)
, так что скорее всего всё сойдётся.
Но я понимаю, что это не ответ на Ваш вопрос. С другой стороны, можно попробовать вместо
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
подставить
![$cx$ $cx$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/4/ca43aa2c4b6372f095719b3d1f35c1f482.png)
(и в вычете, и в аргументе
![$J_0$ $J_0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/7/33799619e6a8adb0933941909e268d5082.png)
) и получить равенство функций, а не чисел, но опять же надо проверить вычисления.