2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Что за число?
Сообщение22.08.2018, 09:32 
Аватара пользователя
g______d в сообщении #1333814 писал(а):
Обращать ряд для синуса я не умею

Maxima дает ряд Тейлора через числа Бернулли
$$
\frac{x}{\sin x}=2\,\sum_{i=0}^{\infty }{\left. \frac{{{\left( -1\right) }^{i-1}}\,\left( {{2}^{2i-1}}-1\right) \,B_{2i}\,{{x}^{2i}}}{(2i)!}\right.}
$$
Я тупо возводил начальный отрезок этого ряда в нечетные степени $2k+1$ и смотрел кто там будет при $x^{2k}$. Оказалось, что (OEIS)
$$
\frac{C_{2k}^k}{4^k}.
$$
Теперь подставляем в ряд для синуса и получаем
$$
\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\frac{C_{2n}^n}{4^n}=\frac{(-1)^k}{4^k(2k+1)k!^2}.
$$

 
 
 
 Re: Что за число?
Сообщение22.08.2018, 17:10 
Аватара пользователя
Чтобы получить ряд, я воспользовался формулой $\underset{z=0}{\operatorname{res}}\,u(1/V(z))=\sum\limits_{k=0}^\infty k\, u_k\, v_k\;,$ приведённой здесь:
англовики, статья «Residue (complex analysis)», пункт 3.5 «Series methods», пример 2, читать со слов The next example... (там же см. обозначения и условия применения).

У нас $u(z)=V(z)=\sin z$, поэтому $v(z)=\arcsin z$. Ненулевые коэффициенты разложения этих функций в ряд Тейлора в точке $z=0$ равны
$u_{2n+1}=\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}$
$v_{2n+1}=\frac{\Gamma(n+\frac 1 2)}{\sqrt{\pi}(2n+1)n!}=\frac{(2n)!}{(2n+1)(n!)^2 4^n}$
Подставляем коэффициенты в формулу, получаем
$\underset{z=0}{\operatorname{res}}\,\sin(1/\sin(z))=\sum\limits_{k=0}^\infty k\,u_k\,v_k=\sum\limits_{n=0}^\infty (2n+1)\,u_{2n+1}\,v_{2n+1}=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)(n!)^2 4^n}$

 
 
 
 Re: Что за число?
Сообщение23.08.2018, 04:35 
Аватара пользователя
svv
Спасибо за ссылку. Будет полезно.
И все-таки хотелось бы сразу Бесселя...

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group