2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Что за число?
Сообщение22.08.2018, 09:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
g______d в сообщении #1333814 писал(а):
Обращать ряд для синуса я не умею

Maxima дает ряд Тейлора через числа Бернулли
$$
\frac{x}{\sin x}=2\,\sum_{i=0}^{\infty }{\left. \frac{{{\left( -1\right) }^{i-1}}\,\left( {{2}^{2i-1}}-1\right) \,B_{2i}\,{{x}^{2i}}}{(2i)!}\right.}
$$
Я тупо возводил начальный отрезок этого ряда в нечетные степени $2k+1$ и смотрел кто там будет при $x^{2k}$. Оказалось, что (OEIS)
$$
\frac{C_{2k}^k}{4^k}.
$$
Теперь подставляем в ряд для синуса и получаем
$$
\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\frac{C_{2n}^n}{4^n}=\frac{(-1)^k}{4^k(2k+1)k!^2}.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Что за число?
Сообщение22.08.2018, 17:10 
Заслуженный участник


23/07/08
10575
Crna Gora
Чтобы получить ряд, я воспользовался формулой $\underset{z=0}{\operatorname{res}}\,u(1/V(z))=\sum\limits_{k=0}^\infty k\, u_k\, v_k\;,$ приведённой здесь:
англовики, статья «Residue (complex analysis)», пункт 3.5 «Series methods», пример 2, читать со слов The next example... (там же см. обозначения и условия применения).

У нас $u(z)=V(z)=\sin z$, поэтому $v(z)=\arcsin z$. Ненулевые коэффициенты разложения этих функций в ряд Тейлора в точке $z=0$ равны
$u_{2n+1}=\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}$
$v_{2n+1}=\frac{\Gamma(n+\frac 1 2)}{\sqrt{\pi}(2n+1)n!}=\frac{(2n)!}{(2n+1)(n!)^2 4^n}$
Подставляем коэффициенты в формулу, получаем
$\underset{z=0}{\operatorname{res}}\,\sin(1/\sin(z))=\sum\limits_{k=0}^\infty k\,u_k\,v_k=\sum\limits_{n=0}^\infty (2n+1)\,u_{2n+1}\,v_{2n+1}=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)(n!)^2 4^n}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Что за число?
Сообщение23.08.2018, 04:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
svv
Спасибо за ссылку. Будет полезно.
И все-таки хотелось бы сразу Бесселя...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group