2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50  След.
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение02.06.2018, 09:45 
Аватара пользователя


01/12/11
7570
Ярдена Шуламит, шуламила и будет шуламить!
Потрясло, помимо всего прочего, то, что путём перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить любую наперёд заданную сумму. На мой взгляд, удивительной красотой обладает сей математический факт. В школе нас учили (и даже заставляли несколько раз подряд произнести вслух), что от перестановки слагаемых сумма не изменяется. А теперь вдруг оказывается, что в школе нам промывали мозги.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение02.06.2018, 11:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
23981
Уфа
Ну нет, сумма ряда — это не сумма. Сумма — это функция $\sum$ конечного мультимножества элементов абелевой группы (для каждой группы своя, конечно) такая, что $\sum(A+B) = \sum A + \sum B$ и $\sum\{a\} = a$, где первое вхождение $+$ — сложение мультимножеств (кратности элементов слагаемых складываются). И тут независимость значения от перестановки учтена изначально (из разных перечислений слагаемых получится одно и то же мультимножество). С не сходящимися абсолютно рядами такое проделать (сняв ограничение на конечность) как раз не получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение02.06.2018, 14:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16287
Новомосковск
Ktina в сообщении #1316794 писал(а):
В школе нас учили (и даже заставляли несколько раз подряд произнести вслух), что от перестановки слагаемых сумма не изменяется.
В школе мы изучаем арифметику, а в арифметике это верно. И, заметьте, нет никаких рядов и вообще сумм бесконечного множества чисел.

А числовые ряды далеко выходят за пределы арифметики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение02.06.2018, 18:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
1885
Someone в сообщении #1316823 писал(а):
В школе мы изучаем арифметику, а в арифметике это верно. И, заметьте, нет никаких рядов и вообще сумм бесконечного множества чисел.

За единственным исключением. Формула для суммы всех членов убывающей геометрической прогрессии в школе даётся. Хотя само понятие "ряд" при этом старательно обходится. Правда, убывающая геометрическая прогрессия - абсолютно сходящийся ряд, так что коммутативность сложения сохраняется и здесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение02.06.2018, 19:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16287
Новомосковск
Mihr в сообщении #1316887 писал(а):
Формула для суммы всех членов убывающей геометрической прогрессии в школе даётся.
Вообще-то, я выразился неточно. Речь идёт не об арифметике, а об элементарной алгебре. Определить в ней сумму бесконечного числа слагаемых нельзя. В любом варианте такого определения требуется понятие сходимости. А школьная математика вовсе не ограничивается арифметикой и элементарной алгеброй.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение25.06.2018, 10:06 
Аватара пользователя


01/12/11
7570
Ярдена Шуламит, шуламила и будет шуламить!
Сегодня меня потрясло, что в веб-дизайне, которым я в эти дни интенсивно увлекаюсь, используются кривые Безье. Это так здорово и красиво! И можно "играться" с параметрами, сколько захочешь, создавая удивительные движения. А раньше-то мне казалось, что под кривыми Безье имеются в виду кривые без $e$ :P

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение25.06.2018, 14:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
23981
Уфа
Кривые Безье как раз в основном используются лишь в компьютерной графике (но притом не исключительно они, есть куча других хороших сплайнов). И результаты о них — можно сказать, все вызваны приложениями. (Если кому-то нужно работать с ними много и экстенсивно, вот замечательная страница-книга A Primer on Bézier Curves.) И поведение кривых Безье часто именно что неинтуитивно. Так что, ну, сочувствую: если даже они удивляют… :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение25.06.2018, 19:30 
Аватара пользователя


11/06/12
8392
calm.angel.driven
Пользоваться, например, B-сплайнами не в пример удобнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение09.08.2018, 19:22 


27/04/18
40
То, что для любого нечетного числа выполняется $A^{2^{n-1}}$ $\equiv$ $1$ $\mod 2^n$

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение03.09.2018, 09:16 
Аватара пользователя


01/12/11
7570
Ярдена Шуламит, шуламила и будет шуламить!
Оказывается, если во втором замечательном пределе заменить бесконечность на «минус бесконечность», всё равно получится $e$. Вроде бы ничего особенного, но как-то контринтуитивно, что ли...

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение03.09.2018, 10:43 


01/11/14
288
Ktina в сообщении #1336279 писал(а):
Оказывается, если во втором замечательном пределе заменить бесконечность на «минус бесконечность», всё равно получится $e$
Ktina
Так это ж элементарно. Ещё на первом курсе универа обратил внимание на это:

$\displaystyle \large \lim _{n\to -\infty}\left (1+\frac {1}{n}\right)^n=\lim _{n\to \infty}\left (1+\frac {1}{-n}\right)^{-n}=\lim _{n\to \infty} \frac {1}{\left (1-\frac {1}{n}\right )^n}=\frac{1}{\frac{1}{e}}=e$.

Но да, Вы правы, сначала удивился.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение03.09.2018, 14:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3582
Вообще-то, второй замечательный предел — это $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e}$. Здесь $x\to\infty$ означает $\lvert x\rvert\to+\infty$, то есть случай «минус бесконечность» является частью второго замечательного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение03.09.2018, 14:06 
Заслуженный участник


20/08/14
5195
Россия, Москва
RIP в сообщении #1336350 писал(а):
Здесь $x\to\infty$ означает $\lvert x\rvert\to+\infty$,
Вот уж нет, это только плюс можно опускать и сокращать запись $x \to +\infty$ до $x \to \infty$, минус никогда не подразумевается и сокращать запись $x \to -\infty$ до $x \to \infty$ нельзя, как и любой знак, тогда надо писать прямо $x \to \pm \infty$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение03.09.2018, 14:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3582
Dmitriy40 в сообщении #1336351 писал(а):
Вот уж нет, это только плюс можно опускать и сокращать запись $x \to +\infty$ до $x \to \infty$
Не согласен. По-хорошему, запись $x\to\infty$ — это синоним именно для $x\to\pm\infty$. Использование её в смысле $x\to+\infty$ — это небрежность тех, кто так делает.

На всякий случай открыл док-во второго замечательного предела в Зориче. Там доказываются два равенства: $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\lim_{x\to-\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e}$. Из этого делается вывод, что $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e}$. Думаю, что и в других учебниках так же (но проверять лень).

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение03.09.2018, 14:30 
Аватара пользователя


14/12/17
564
Dmitriy40 в сообщении #1336351 писал(а):
Вот уж нет, это только плюс можно опускать и сокращать запись $x \to +\infty$ до $x \to \infty$, минус никогда не подразумевается и сокращать запись $x \to -\infty$ до $x \to \infty$ нельзя, как и любой знак, тогда надо писать прямо $x \to \pm \infty$.

В моём любимом Зориче это нет так, $x \to \infty$ означает $|x| \to +\infty$ (например Глава 3 § 2 п.3 b) Предел функции по базе)
----
А, уже написали о Зориче, но пусть будет еще одна отсылка.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 746 ]  На страницу Пред.  1 ... 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group