Что Вас потрясло в математике?

[Ktina]

Потрясло, помимо всего прочего, то, что путём перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить любую наперёд заданную сумму. На мой взгляд, удивительной красотой обладает сей математический факт. В школе нас учили (и даже заставляли несколько раз подряд произнести вслух), что от перестановки слагаемых сумма не изменяется. А теперь вдруг оказывается, что в школе нам промывали мозги.

[arseniiv]

Ну нет, сумма ряда — это не сумма. Сумма — это функция $\sum$ конечного мультимножества элементов абелевой группы (для каждой группы своя, конечно) такая, что $\sum(A+B) = \sum A + \sum B$ и $\sum\{a\} = a$, где первое вхождение $+$ — сложение мультимножеств (кратности элементов слагаемых складываются). И тут независимость значения от перестановки учтена изначально (из разных перечислений слагаемых получится одно и то же мультимножество). С не сходящимися абсолютно рядами такое проделать (сняв ограничение на конечность) как раз не получится.

[Someone]

Ktina в сообщении #1316794 писал(а):

В школе нас учили (и даже заставляли несколько раз подряд произнести вслух), что от перестановки слагаемых сумма не изменяется.

В школе мы изучаем арифметику, а в арифметике это верно. И, заметьте, нет никаких рядов и вообще сумм бесконечного множества чисел.

А числовые ряды далеко выходят за пределы арифметики.

[Mihr]

Someone в сообщении #1316823 писал(а):

В школе мы изучаем арифметику, а в арифметике это верно. И, заметьте, нет никаких рядов и вообще сумм бесконечного множества чисел.

За единственным исключением. Формула для суммы всех членов убывающей геометрической прогрессии в школе даётся. Хотя само понятие "ряд" при этом старательно обходится. Правда, убывающая геометрическая прогрессия - абсолютно сходящийся ряд, так что коммутативность сложения сохраняется и здесь.

[Someone]

Mihr в сообщении #1316887 писал(а):

Формула для суммы всех членов убывающей геометрической прогрессии в школе даётся.

Вообще-то, я выразился неточно. Речь идёт не об арифметике, а об элементарной алгебре. Определить в ней сумму бесконечного числа слагаемых нельзя. В любом варианте такого определения требуется понятие сходимости. А школьная математика вовсе не ограничивается арифметикой и элементарной алгеброй.

[Ktina]

Сегодня меня потрясло, что в веб-дизайне, которым я в эти дни интенсивно увлекаюсь, используются кривые Безье. Это так здорово и красиво! И можно "играться" с параметрами, сколько захочешь, создавая удивительные движения. А раньше-то мне казалось, что под кривыми Безье имеются в виду кривые без $e$

[arseniiv]

Кривые Безье как раз в основном используются лишь в компьютерной графике (но притом не исключительно они, есть куча других хороших сплайнов). И результаты о них — можно сказать, все вызваны приложениями. (Если кому-то нужно работать с ними много и экстенсивно, вот замечательная страница-книга A Primer on Bézier Curves.) И поведение кривых Безье часто именно что неинтуитивно. Так что, ну, сочувствую: если даже они удивляют…

[Aritaborian]

Пользоваться, например, B-сплайнами не в пример удобнее.

[EvgenyNechaev]

То, что для любого нечетного числа выполняется $A^{2^{n-1}}$ $\equiv$ $1$ $\mod 2^n$