Производная

[wrest]

upgrade в сообщении #1328931 писал(а):

Нет. Там поведение "не такое", а хоть бы с "таким" определиться. Можно же с ним определиться без сравнения с поведением приращений в нуле?

Ноль тут почти не причем, взят просто для удобства, возьмите $f(x)=\sqrt[3]{x-3}+5x^2-8$ и посмотрите чему равен дифференциал этой функции в точке $f(3)=37$ при каком-нибудь заданном вами приращении аргумента.

[wrest]

Вот даже картинка с графиком, чтобы легче было представить (по осям взят разный масштаб, для удобства).
[/url]

[Munin]

Точка на этом графике такого размера, что всё закрывает :-) И даже толщина линии слишком большая.

[wrest]

(Munin)

Munin в сообщении #1328964 писал(а):

Точка на этом графике такого размера, что всё закрывает

Это специально. "Ничто не предвещало беды". Но график каждый может сделать самостоятельно с любым увеличением.

[upgrade]

$f(x)=\sqrt[3]{x}$
$f(x_0+h)-f(x_0)=\sqrt[3]{x_0+h}-\sqrt[3]{x_0}=\frac{(\sqrt[3]{x_0+h}- \sqrt[3]{x_0})\cdot (\sqrt[3]{(x_0+h)^2}+\sqrt[3]{x_0}\cdot \sqrt[3]{x_0+h}+\sqrt[3]{x_0^2})}{(\sqrt[3]{(x_0+h)^2}+\sqrt[3]{x_0}\cdot \sqrt[3]{x_0+h}+\sqrt[3]{x_0^2})}$
$f(x_0+h)-f(x_0)=\sqrt[3]{x_0+h}-\sqrt[3]{x_0}=\frac{x_0+h- x_0}{\sqrt[3]{(x_0+h)^2}+\sqrt[3]{x_0}\cdot \sqrt[3]{x_0+h}+\sqrt[3]{x_0^2}}$
$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\frac{\sqrt[3]{x_0+h}-\sqrt[3]{x_0}}{h}\rightarrow\frac{1}{3\sqrt[3]{x_0^2}}$ при $h\rightarrow 0$
При $x=0$ и $h\rightarrow0$
$\frac{h}{\sqrt[3]{(x_0+h)^2}+\sqrt[3]{x_0}\cdot \sqrt[3]{x_0+h}+\sqrt[3]{x_0^2}}=\frac{h}{\sqrt[3]{h^2}}=\frac{1}{\sqrt[3]{h}}\rightarrow \infty$

И чего?

[wrest]

upgrade в сообщении #1329083 писал(а):

И чего?

Вопрос был:

wrest в сообщении #1328920 писал(а):

Попробуйте представить приращение функции $f(x)=\sqrt[3]{x}$ в виде $\Delta f(x_0,\Delta x)=A(x_0)\cdot \Delta x + o(\Delta x)$ в точке $x_0=0$.

У вас получилось? Если да, то чему получились равны $A(x_0)$ и $o(\Delta x)$, если нет, то почему не получилось?

-- 27.07.2018, 11:19 --

upgrade в сообщении #1329083 писал(а):

$\frac{h}{\sqrt[3]{h^2}}=\frac{1}{\sqrt[3]{h}}$

Справка: $\frac{h}{\sqrt[3]{h^2}}=\frac{h^1}{h^{2/3}}=h^1 \cdot h^{-2/3}=h^{1-2/3}=h^{1/3}=\sqrt[3]{h}$

[Munin]

upgrade в сообщении #1329083 писал(а):

$f(x)=\sqrt[3]{x}$
$f(x_0+h)-f(x_0)=\sqrt[3]{x_0+h}-\sqrt[3]{x_0}=\frac{(\sqrt[3]{x_0+h}- \sqrt[3]{x_0})\cdot (\sqrt[3]{(x_0+h)^2}+\sqrt[3]{x_0}\cdot \sqrt[3]{x_0+h}+\sqrt[3]{x_0^2})}{(\sqrt[3]{(x_0+h)^2}+\sqrt[3]{x_0}\cdot \sqrt[3]{x_0+h}+\sqrt[3]{x_0^2})}$
$f(x_0+h)-f(x_0)=\sqrt[3]{x_0+h}-\sqrt[3]{x_0}=\frac{x_0+h- x_0}{\sqrt[3]{(x_0+h)^2}+\sqrt[3]{x_0}\cdot \sqrt[3]{x_0+h}+\sqrt[3]{x_0^2}}$
$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\frac{\sqrt[3]{x_0+h}-\sqrt[3]{x_0}}{h}\rightarrow\frac{1}{3\sqrt[3]{x_0^2}}$ при $h\rightarrow 0$

Всё это правильно (фактически вы нашли желанную производную), но нужна не формула, верная в пределе $h\to 0,$ а формула, верная вообще при любых $h$ (по крайней мере, в какой-то окрестности нуля, но в данном случае разницы нет).

[upgrade]

wrest в сообщении #1329089 писал(а):

Справка: $\frac{h}{\sqrt[3]{h^2}}=\frac{h^1}{h^{2/3}}=h^1 \cdot h^{-2/3}=h^{1-2/3}=h^{1/3}=\sqrt[3]{h}$

Ок, $\sqrt[3]{h}\rightarrow 0$ ... и снова - ни грома ни молнии... ну стремится ну к нулю..

-- 27.07.2018, 12:19 --

Munin в сообщении #1329097 писал(а):

но нужна не формула, верная в пределе $h\to 0,$ а формула, верная вообще при любых $h$ (по крайней мере, в какой-то окрестности нуля, но в данном случае разницы нет)

$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\frac{\sqrt[3]{x_0+h}-\sqrt[3]{x_0}}{h}=\frac{1}{\sqrt[3]{(x_0+h)^2}+\sqrt[3]{x_0}\cdot \sqrt[3]{x_0+h}+\sqrt[3]{x_0^2}}$

wrest в сообщении #1329089 писал(а):

Попробуйте представить приращение функции $f(x)=\sqrt[3]{x}$ в виде $\Delta f(x_0,\Delta x)=A(x_0)\cdot \Delta x + o(\Delta x)$ в точке $x_0=0$.

Как его здесь найти то? $f(x_0+h)-f(x_0)=\sqrt[3]{x_0+h}-\sqrt[3]{x_0}=\frac{h}{\sqrt[3]{(x_0+h)^2}+\sqrt[3]{x_0}\cdot \sqrt[3]{x_0+h}+\sqrt[3]{x_0^2}}$
Из знаменателя линейную часть, насколько я понимаю, в вид $Ah+B$ не вытащить так, чтобы ее там вообще не осталось

[wrest]

upgrade в сообщении #1329099 писал(а):

wrest в сообщении #1329089

писал(а):
Справка: $\frac{h}{\sqrt[3]{h^2}}=\frac{h^1}{h^{2/3}}=h^1 \cdot h^{-2/3}=h^{1-2/3}=h^{1/3}=\sqrt[3]{h}$
Ок, $\sqrt[3]{h}\rightarrow 0$ ... и снова - ни грома ни молнии... ну стремится ну к нулю..

Ну... потому что неправильно посчитали:

upgrade в сообщении #1329083 писал(а):

При $x=0$ и $h\rightarrow0$
$\frac{h}{\sqrt[3]{(x_0+h)^2}+\sqrt[3]{x_0}\cdot \sqrt[3]{x_0+h}+\sqrt[3]{x_0^2}}=\frac{h}{\sqrt[3]{h^2}}=\frac{1}{\sqrt[3]{h}}\rightarrow \infty$

Справка: если вы вычисляли в процитированном $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ то вычислили неверно (не поделили на $h$), верно у вас было записано выше, и при $x_0=0$ получается
$\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{h^2}}$

[Munin]

upgrade в сообщении #1329099 писал(а):

Из знаменателя линейную часть, насколько я понимаю, в вид $Ah+B$ не вытащить так, чтобы ее там вообще не осталось

Поэтому не надо её вытаскивать из знаменателя.

Можно сделать таким методом (законным, поскольку предел вы уже нашли):

$\ldots+\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x_0^2}}h-\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x_0^2}}h.$

Но вот в точке $x_0=0$ он не сработает: таких слагаемых писать нельзя.

[wrest]

upgrade в сообщении #1329099 писал(а):

Из знаменателя линейную часть, насколько я понимаю, в вид $Ah+B$ не вытащить так, чтобы ее там вообще не осталось

Тогда, по-вашему, выходит что приращение функции $f(x)=\sqrt[3]{x}$ вообще нельзя "представить в виде" пресловутой суммы $\Delta f(x)=A\cdot \Delta x + o(\Delta x)$, так что ли?

Посмотрите как ловко ув. Munin "расправился" с синусом тут: post1328882.html#p1328882