Возникает противоречие при определении площади/объема.

[yan01]

Теперь пытаюсь определить и найти угол, при котором площади первой и второй форточки будут равны.
Однако застопорился на решении этого жуткого то ли квадратного, то ли линейного уравнения.
Все попытки привести его к квадратному не приводят к успеху, а решить по-другому у меня не получается.

Уравнение $$a^2 \sqrt{2 t \left(1 - \frac t 2\right)} + a h \sqrt{2 t} = a h,$$ $\text {где } t = 1 - \cos \alpha, a \text { — длина форточки.}$
Нужно найти такой/такие $t$, при котором тождество будет верным. $h$ и $a$ заданы, но неизвестны. $h > a$.

[wrest]

yan01 в сообщении #1328678 писал(а):

Однако застопорился на решении этого жуткого то ли квадратного, то ли линейного уравнения.

Напишите хотя бы как вы его получили (лучше если с картинками).

[yan01]

wrest в сообщении #1328679 писал(а):

yan01 в сообщении #1328678 писал(а):

Однако застопорился на решении этого жуткого то ли квадратного, то ли линейного уравнения.

Напишите хотя бы как вы его получили (лучше если с картинками).

Могу прислать фотку тетради. Подойдёт?

-- 25.07.2018, 14:36 --

Мой вывод и решение:

Найдём площадь призмы (изображение в шапке темы) с вычетом площади двойного прямоугольника.
Скажу сразу, что $a$ и $h$ известно, $a>h$.

По теореме косинусов: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \alpha$$.
Т. к. $a=b, c^2=2a^2(1-\cos\alpha), c = a \sqrt{2(1-\cos \alpha)}$.
$S_\text{призмы} = 2S_\text{осн} + S_\text{бок}$
$$S_\text{осн} = S_\text{тр} \text{ (формула Герона) } = \sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{\left(a^2-\frac{c^2}{4}\right)\frac{c^2}{4}} = \frac{c}{2}\sqrt{\left(a^2-\frac{c^2}{4}\right)}$$.
$S_\text{бок} = Ph\text{; } S_\text{бок1} = c h \text{ (}2ah \text{ вычли)}$.
$\Rightarrow \text{ }S_\text{общ} = c\left(\sqrt{\left(a^2-\frac{c^2}{4}\right)} + h\right).$
Заменим: $$c = a\sqrt{2(1-\cos\alpha)}$$.
$a\sqrt{2(1-\cos \alpha)}\left(\sqrt{1 - \frac{1 - \cos \alpha}{2}}+h\right).$
Получается довольно странное уравнение, поэтому я решил заменить: $1 - \cos\alpha = t$.
Теперь я решил найти такое $t$, при котором площади двух фигур будут равны. Однако замена ни к чем хорошему не привела:

$$a^2 \sqrt{2 t \left(1 - \frac t 2\right)} + a h \sqrt{2 t} = a h,$$

$\text {где } t = 1 - \cos \alpha, a \text { — длина форточки.}$
Получается что-то вроде квадратного или линейного уравнения, но решить не получается...

[wrest]

yan01 в сообщении #1328680 писал(а):

Могу прислать фотку тетради. Подойдёт?

Ну если там аккуратненько все, то пойдет. Присылать не надо, постите картинку сюда.

Ну или вот вам картинка (вроде привел к вашим обозначениям $a,h,t$):


$ABCD$ -- оконный проём.
$AEFD$ -- откинутая форточка
Форточка откидывается вокруг оси $AD$, так что $AB=AE$ и $DC=DF$

Надо посчитать площадь $\triangle ABE$ и четырехугольника $EBCF$
Треугольник $ABE$ равнобедренный.

Вы хотите найти такое $t$ при котором $2 \cdot S_{ABE}+S_{EBCF}=S_{ABCD}=ah$
Когда найдёте, то найдёте и угол $\alpha$

[yan01]

А почему вы хотите найти площадь двух фигур: четырехугольника и треугольника, а не одной призмы? А что с моим уравнением? Почему его сложно решить?

[wrest]

yan01 в сообщении #1328692 писал(а):

А почему вы хотите найти площадь двух фигур: четырехугольника и треугольника, а не одной призмы?

Потому что я из площади призмы сразу вычитаю площади
$ABCD$ -- оконный проём
$AEFD$ -- откинутая форточка
Так что остается только два боковых треугольника (основания призмы $\triangle ABC$ и $\triangle DCF$) и одна боковая грань ($EBCF$).

[yan01]

А что можно сказать по поводу моего решения? Где в нём ошибка?

[wrest]

yan01 в сообщении #1328695 писал(а):

А что можно сказать по поводу моего решения? Где в нём ошибка?

По поводу решения пока могу только сказать что оно есть.
Ошибка -- где-то есть, у меня получилось другое. Но я не понял какими буквами что у вас обозначено -- обозначения $a,h,t$ совпадают с моей картинкой?

[EUgeneUS]

wrest
Если из точек $B$ и $C$ опускать перпендикуляры на $EA$ и $FD$, то площадь пленки будет меньше, и считать удобнее.

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1328698 писал(а):

Если из точек $B$ и $C$ опускать перпендикуляры на $EA$ и $FD$, то площадь пленки будет меньше, и считать удобнее.

Гениально! И даже, по-видимому, это и будет минимум по площади плёнки.

[yan01]

Что-то не получается....

Используя ваше изображение, я пытаюсь найти площадь.
$P_{ABE} = 2h+x$
по теореме косинусов:
$ c^2 = 2a^2-2a^2\cos\alpha = 2a^2(1-\cos\alpha)$
$c=a\sqrt{2(1-\cos\alpha)}.$
1) найдём $S_{ABE}$:

$$ S_{ABE} \text { имеет 2 стороны } a \text{ и две равные стороны } c.$$

$p=a+c \text { } S=\sqrt{(p-a)^2(p-c)^2}=(p-a)(p-c)=ac.$
2) найдём $S_{ABCD}$:

$$S_{ABCD} = \frac{ah}{2}$$

3) $S_\text {итог} = с\sqrt{a^2-\frac{c^2}{4}}+ac = \frac {ah}{2}.$
4) пытаемся сократить:
$c\sqrt{a^2-\frac{c^2}{4}}=\frac{ah}{2}-ac = a(\frac{h}{2} - c).$
$c\sqrt{a^2-\frac{c^2}{4}} = a(\frac{h}{2} - c).$
$c(a^2-\frac{c^2}{4}) = a\left(\frac{h^2}{4}-hc+c^2\right).$
$a^2 c^2 -\frac{c^4}{4} =\frac{a^2 h^2}{4}-a^2hc+a^2 c^2.$
$-\frac{c^4}{4}=\frac{a^2 h^2}{4}-a^2 hc.$

$$4a^2hc-c^4=a^2 h^2.$$

$$a^2h(4c-h)=c^4.$$

5) проведём замену:
$t=1-\cos\alpha.$
6) продолжаем:
$h(4a\sqrt {2t} - h) = 4a^2t^2.$
В итоге получилось, что с одной стороны $t$ находится под корнем, а с другой стороны — во второй степени. Я застопорился.

[wrest]

yan01 в сообщении #1328705 писал(а):

Что-то не получается....

Не-не-не, формулы на тетрадке нельзя... Только рисунки, если не можете по другому.

[yan01]

wrest в сообщении #1328697 писал(а):

yan01 в сообщении #1328695 писал(а):

А что можно сказать по поводу моего решения? Где в нём ошибка?

По поводу решения пока могу только сказать что оно есть.
Ошибка -- где-то есть, у меня получилось другое. Но я не понял какими буквами что у вас обозначено -- обозначения $a,h,t$ совпадают с моей картинкой?

$a$ — ширина форточки;
$h$ — высота проёма/форточки;
$t = 1 - \cos\alpha$ (специально заменил, чтобы не было громоздко).

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»